高等基础与数学 2

积分及应用第4章317目录4.1积分的基本概念4.2积分法4.3定积分的应用4.4广义积分3184.1积分的基本概念319实例考察曲边梯形的面积

设函数y＝f(x)在区间[a，b]（a＜b）上连续，且f(x)≥0．由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴围成的曲边梯形中，曲线弧y＝f(x)为曲边梯形的曲边，在x轴上的直线段ab为曲边梯形的底边（如图所示），下面讨论怎样计算曲边梯形的面积A．320我们知道，矩形的面积公式是矩形面积＝长×宽．现在曲边梯形在底边上各点处的函数值f(x)在区间[a，b]上是变动的，因此，所求面积不能直接按矩形面积公式计算．我们设想:用一组垂直于x轴的直线段把整个曲边梯形分割成许多小曲边梯形．因为函数值f(x)在区间[a，b]上是连续变化的，而每一个小曲边梯形的底边是很窄的，所以，可以用这个小曲边梯形的底边作为宽，以它底边上任意一点所对应的函数值f(x)作为长的小矩形的面积来近似代替这个小曲边梯形的面积．321322进而用所有小矩形面积之和近似代替曲边梯形的面积A，如图所示．显然，分割越细，误差越小，所有小矩形面积之和就越接近曲边梯形的面积A．当分割无限细密时，所有小曲边梯形的面积之和的极限就是曲边梯形的面积A的精确值．323根据上述设想，曲边梯形的面积A可按下列“分割取近似，求和取极限”的步骤来计算．（1）分割（化整为零）．在区间[a，b]内任取分点a＝x0＜x1＜···＜xi－1＜xi＜···＜xn－1＜xn＝b，把曲边梯形的底边[a，b]分成n个小区间[x0，x1]，[x1，x2]，···，[xi－1，xi]，···，[xn－1，xn]，小区间[xi－1，xi]的长度记为Δxi＝xi－xi－1（i＝1，2，···，n）．过每个分点xi作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分割成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为ΔAi（i＝1，2，···，n）．324（2）取近似（以直代曲）．在第i个小曲边梯形的底[xi－1，xi]上任取一点ξi，它所对应的函数值为

f（ξi）．用相应的宽为Δxi、长为f（ξi）的小矩形来近似代替这个小曲边梯形的面积，即ΔAi≈f（ξi）Δxi，i＝1，2，···，n．（3）求和（积零为整）．把n个小矩形的面积相加得和式

，就是整个曲边梯形面积A的近似值，即325（4）取极限．当分割越来越细，即所有小区间长度的最大值λ趋近于零时，和式

的极限就是曲边梯形的面积，即可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限．326变速直线运动的路程

设某物体做变速直线运动，已知速度v＝v(t)是时间间隔[T1，T2]上t的连续函数，且v(t)≥0，计算在这段时间内物体的路程s．我们知道，对于匀速直线运动的物体，有公式路程＝速度×时间．327现在速度不是常量而是随时间变化的变量，因此，所求路程s不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算．然而，由于物体运动的速度函数v＝v(t)是连续变化的，所以在很短一段时间内，速度变化很小，近似于匀速．因此，如果把时间间隔分得很小，那么在一小段时间内，就可以用匀速直线运动的路程作为这一小段时间内变速直线运动路程的近似值．这样，我们可采用与求曲边梯形面积相仿的步骤来计算路程s．328329330定积分的概念及性质定积分的定义从实例考察中的两个例子可以看出，所要计算的量的实际意义不同，但解决的方法是相同的，都归结为求一个和式的极限．在科学技术上有许多实际问题都可以归结为某种特定的和式极限．为此，我们给出如下定积分的定义:331332设函数y＝f(x)在区间[a，b]上有定义，任取分点a＝x0＜x1＜···＜xi－1＜xi＜···＜xn－1＜xn＝b，把区间[a，b]分成n个小区间[xi－1，xi]（i＝1，2，···，n），其长度记为Δxi＝xi－xi－1（i＝1，2，···，n）．在每一个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(xi－1≤ξi≤xi)，作乘积f(ξi)Δxi的和式333记

如果当λ→0时，和式

的极限存在且与小区间取法和点ξi取法都无关，则称函数y＝f(x)在区间[a，b]上可积，并称这个极限值为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作其中“∫”是积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．334利用定积分的定义，实例考察中的两个问题可以表述如下．若f(x)≥0，由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A等于曲边函数f(x)在其底所在的区间[a，b]上的定积分，即变速直线运动的物体从时刻T1到时刻T2这段时间内所经过的路程s等于其速度函数v＝v(t)在时间区间[T1，T2]上的定积分，即335关于定积分的定义，做以下几点说明:（1）当和式

的极限存在时，其极限值仅与被积函数f(x)及积分区间[a，b]有关，而与区间[a，b]的分法及点ξi的取法无关．（2）定积分的值与积分变量用什么字母无关，即有336（3）在定积分的定义中，要求满足a＜b，为了以后计算方便起见，对于a＞b及a＝b的情形，我们给出如下补充定义337定积分的几何意义我们已经知道，如果函数y＝f(x)在[a，b]上连续，且f(x)≥0，则定积分

在几何上表示由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A，即如果函数y＝f(x)）在[a，b]上连续，且f(x)≤0，此时由曲线y＝f(x)，直线

x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分

在几何上表示曲边梯形面积A的相反数（如图所示），即338339如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)有时为正，有时为负，则定积分在

几何上表示曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的几块曲边梯形中，在x轴上方的各曲边梯形面积之和，减去在x轴下方的各曲边梯形面积之和．总之，定积分

在各种实际问题中所代表的实际意义虽然不同，但它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示，这就是定积分的几何意义．例题解析例1用定积分表示下列图中阴影部分的面积．解（1）在如图a中，被积函数y＝x2在[0，a]上连续，且y≥0，根据定积分的几何意义可得，阴影部分的面积为340341（2）在上图b中，被积函数y＝1在[a，b]上连续，且y≥0，根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为（3）在上图c中，被积函数y＝（x－1）2－1在[－1，2]上连续，且在

[－1，0]上y≥0，在[0，2]上y≤0，根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为342例2

利用定积分的几何意义，计算下列定积分:解（1）在下图a中，被积函数f(x)＝1－x在[0，1]上连续，且f(x)≥0，所以343（2）在下图b中，被积函数f(x)＝a2－x2，x∈[0，a]为以原点为圆心，以a

为半径的第一象限内的四分之一的圆，根据定积分的几何意义，可以知道该积分表示四分之一圆的面积，所以344（3）在上图c中，被积函数f(x)＝sinx在

上连续，且在

上sinx≤0，在

上sinx≥0，并且图像关于原点对称，因而A1＝A2，所以（4）在上图d中，被积函数在[0，3]上连续，且在[0，3]上f(x)＝x-2≥0，所以345定积分的几何意义直观地告诉我们，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，那么，由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的各部分面积的代数和是一定存在的，即f(x)在区间[a，b]上是一定可积的．另一种情形，当函数f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点时，f(x)在区间[a，b]上也一定是可积的．为此，我们有下面两个定积分存在定理:定理1设函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积．定理2设函数f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积．定积分的性质在下面的讨论中，各性质中积分上下限的大小，如无特别说明，均不加限制，并假设各函数在积分区间上都是可积的．性质1

如果在区间[a，b]上，f(x)恒等于1，则性质1的几何解释如图所示．346347性质2

被积函数的常数因子可以提到积分号外，即性质3

两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即348性质4

如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a＜c＜b，则如图所示，性质4说明定积分对积分区间具有可加性．这个性质可以用来求分段函数的定积分．349另外需要说明的是，如果a，b，c是任意三个实数，性质4同样成立．利用性质4和定积分的几何意义，可以看出奇函数和偶函数在对称于原点的区间（简称对称区间）上的定积分有以下计算公式:（1）如果f(x)在[－a，a]上连续且为奇函数，则（2）如果f(x)在[－a，a]上连续且为偶函数，则350性质5

如果在区间[a，b]上，f(x)≤g(x)，则性质5可以用来比较两个定积分的大小．性质6（定积分估值定理）设M与m分别是f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值，则如图所示，性质6可用来估计定积分值的大致范围．351352性质7（定积分中值定理）如果f(x)在[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一点ξ，使下式成立:如图所示，积分中值定理的几何意义是:在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得以区间[a，b]为底边，以曲线y＝f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ξ)的矩形的面积．353354因此，我们把

称为连续曲线f(x)在[a，b]上的平均高度，或称为连续函数f(x)在[a，b]上的平均值．这是有限个数的算数平均值概念的推广，只有应用定积分才有可能求出连续函数在闭区间上的平均值．355例题解析356357例3

利用函数在对称区间上的定积分公式计算下列定积分:358359360361微积分学基本定理积分上限函数设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，x为区间[a，b]上任意一点，由于y＝f(x)在[a，b]上连续，因而在[a，x]上也连续，因此，定积分

存在．这个定积分是一个变上限的定积分，对每一个x(x∈[a，b])，都有一个确定的积分值与之相对应，因此，它是上限x的函数．为此，我们给出如下定义:362设函数f(x)在区间[a，b]上可积，对于任意的x∈[a，b]，f(x)在[a，x]上也可积，则把变上限的定积分

称为定义在区间[a，b]上的积分上限函数，记为Φ(x)，即积分上限函数

的几何意义如图所示．它具有下面重要性质．363定理1

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分上限函数在[a，b]上可导，且有证

如图所示．364365366例题解析367原函数的概念若把积分上限函数

记为F(x)，当F(x)可导时，则有F′(x)＝f(x)，我们称F(x)是f(x)的一个原函数，由此给出原函数的定义．设函数f(x)在某一区间I内有定义，如果对于任意的x∈I，都有F′(x)＝f(x)或dF(x)＝f(x)dx，则称函数F(x)是函数f(x)在该区间内的一个原函数．368引入原函数概念后，自然会提出以下问题:对于任意给定的一个函数f(x)，（1）它的原函数是否存在？（2）如果存在原函数，原函数是否唯一？若不唯一，彼此之间有何关系？对于第一个问题，由定理1可知，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则函数f(x)的原函数一定存在，且积分上限函数

就是函数f(x)在区间

[a，b]上的一个原函数．369下面讨论第二个问题．首先看函数

是不是函数f(x)＝cosx的原函数？回答是肯定的．事实上，由于(sinx＋C)′＝cosx，所以F(x)＝sinx＋C都是函数f(x)＝cosx的原函数，这就回答了实例考察中的第一个问题．由上面的讨论可以知道，如果一个函数f(x)的原函数存在，则它的原函数必有无穷多个．由此，我们给出下面的定理．370定理2

如果函数F(x)是f(x)在某一区间内的一个原函数，则可用F(x)＋C表示f(x)在该区间内的全体原函数．定理2包含两层意思：第一，F(x)＋C中的任一个都是f(x)的原函数；第二，f(x)的任一原函数都可以表示成F(x)＋C的形式．371微积分基本定理定理1的重要意义在于，一方面肯定了连续函数的原函数是存在的;另一方面揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系，因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分．事实上，如果F(x)是连续函数f(x)在[a，b]上的一个原函数，而Φ(x)＝也是f(x)在[a，b]上的一个原函数，则有372373微积分基本定理

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，F(x)是f(x)在[a，b]上的一个原函数，则有上式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式．微积分基本公式揭示了定积分与原函数之间的关系．它表明:一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的一个原函数在区间[a，b]上的增量．这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算．为了方便，公式常采用下面的格式:例题解析374375376例2

计算由正弦曲线y＝sinx与直线x＝0，x＝π及x轴所围成的平面图形的面积A．解

如图所示，由定积分的几何意义，得不定积分的概念及性质不定积分的定义我们知道，如果函数F(x)是f(x)在某一区间内的一个原函数，则F(x)＋C可以表示f(x)的全体原函数．由此给出不定积分的定义．如果F(x)是f(x)在某一区间内的一个原函数，则F(x)＋C称为f(x)在该区间内的不定积分，记作其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数．377378求不定积分

就是求被积函数f(x)的全体原函数，为此，只需求得f(x)的一个原函数，然后再加上积分常数C即可．为了方便起见，今后在不致引起混淆的情况下，不定积分就简称为积分，求不定积分的运算和方法分别称为积分运算和积分法．379由不定积分的定义可以看出，导数运算或微分运算与积分运算互为逆运算，它们的关系为:此式表明，若先求积分后求导数（或微分），则两者的作用互相抵消．此式表明，若先求导数（或微分）后求积分，则两者的作用互相抵消后还相差一个常数．例题解析380381382383不定积分的几何意义设函数F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分是函数f(x)的全体原函数．其中C每取一个值C0，就确定f(x)的一个原函数，在直角坐标系中就确定一条曲线y＝F(x)＋C0，这条曲线称为函数f(x)的一条积分曲线．所有这些积分曲线y＝F(x)＋C构成一个曲线族，称为函数f(x)的积分曲线族（如图所示）．这就是不定积分的几何意义．384385如上图所示，积分曲线族y＝F(x)＋C的特点如下:（1）积分曲线中任意一条曲线，可由其中任一条沿y轴平移若干个单位得到，即积分曲线族中任意两条曲线上具有相同的横坐标x的点，它们对应的纵坐标y的差是一个常数．（2）由于[F(x)＋C]′＝F′(x)＝f(x)，即横坐标相同点x处，每条积分曲线上相应点处的切线斜率相等，都等于f(x)，从而使相应点处的切线互相平行．386例4

已知曲线上任一点的切线斜率为2x，且经过点（1，0），求此曲线方程．解

设所求曲线方程是y＝f(x)．由题意可知，f′(x)＝2x，而x2是2x的一个原函数，于是我们得到斜率为2x的积分曲线族为:又因为曲线经过（1，0）点，从而有0＝1＋C，即C＝－1．因此，所求曲线方程为y＝x2－1．积分的基本公式由于积分运算是导数运算的逆运算，因此，从基本导数公式，可以直接得到相应的基本积分公式．常用的基本积分公式有:387388积分的基本运算法则法则1

两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即法则1对于有限多个函数的代数和也是成立的，即法则2

被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面，即389例题解析390391392393394395396例3

设某汽车以速度v＝3cost做直线运动，开始时汽车的位移为s0，求汽车的运动规律．解

汽车的运动规律是指位移s是时间t的函数s＝s(t)，按题意有由条件，代入上式得C＝s0．因此，汽车的运动规律为s＝3sint＋s0．397例题解析3984.2积分法399实例考察利用基本积分公式和运算法则的直接积分法是否能求所有函数的不定积分？我们先来分析被积函数是复合函数的情形．400401402由实例考察可知，利用基本积分公式和性质的直接积分法，只能计算很有限的简单的不定积分．对于更多的比较复杂的不定积分，还需要建立一些基本的积分的方法．实例考察中积分方法就是一种最基本的方法——第一换元积分法．第一换元积分法第一换元积分法是与微分学中的复合函数求导法则相对应的积分法．在实例考察中，我们先将2x看成一个整体，令u＝2x，从而使积分的形式暂时简单化为一般地，有以下定理．定理

若其中u＝φ(x)是可导函数．403404这个定理表明，在基本积分公式中，把自变量x换成任何一可导函数

u＝φ(x)后公式仍成立．应用定理我们可以得到以下的积分方法．通常把这样的积分方法称为第一换元积分法，也称凑微分法．405例题解析406407408409例题解析410411412413例题解析414415416417第二换元积分法直接积分法和第一换元积分法的使用范围虽然相当广泛，但对于一些不定积分，利用上述方法就不易求出结果．事实上，不定积分

的问题是分母含有根式，我们可以先做变换，将根式去掉．为此，令，则x＝t2，dx＝2tdt，于是418419420421例题解析422423424425426427上面

的求法也可以作辅助直角三角形直接得到（如图所示）．428429作辅助直角三角形，如图所示，可得430431作辅助直角三角形，如图所示，可得432433上面例4、例5、例6都是用三角函数进行变量代换而求得的，因此称它们为三角代换法或三角换元法．一般地说，应用三角换元法计算积分时，一般有如下三种情形:用第二换元法计算定积分时，由于引入了新变量，应相应地变换积分上、下限，即“换元必换限”．434设函数f(x)在积分区间[a，b]上连续，函数x＝φ(t)在区间[α，β]上是单调的，且有连续导数φ′(t)．当t在α和β之间变化时，x＝φ(t)的值在[a，b]上变化，并且φ(α)＝a，φ(β)＝b，则定积分435例题解析436437分部积分法换元积分法是一个很重要的积分方法，但这种方法对

等类型的积分却是无能为力．为此，我们介绍分部积分法．

设函数u＝u(x)，v＝v(x)有连续导数u′＝u′(x)，v′＝v′(x)．根据函数乘积的微分法则(uv)′＝u′v＋uv′或d(uv)＝vdu＋udv，移项后，得uv′＝(uv)′－u′v或udv＝d(uv)－vdu．对上式两边求不定积分，得438439上式称为分部积分公式，利用分部积分公式计算不定积分的方法称为分部积分法．应用分部积分公式的作用在于把不容易求出的积分转化为容易求出的积分运用分部积分法的关键是如何选择u和v′（或dv），一般原则是:（1）使v容易求出；（2）新积分

要比原积分

容易求出．440例题解析441442443444445446447448449用分部积分法计算定积分时，可以由不定积分的分部积分法直接得来，但要先把积出来的那一部分代入上、下限求值，余下的部分继续积分．若同时使用了换元积分法，则要根据引入的变量相应地变换积分上、下限．下面举例说明．450例题解析451452简易积分表的应用通过前面的讨论可以看出，积分计算要比导数计算来得灵活、复杂．为了实用方便，人们已将一些函数的不定积分汇编成表，这种表称为简易积分表．本书附录列出的简易积分表是按照被积函数的类型编排的，其中包括一些常用的积分公式，我们举例说明积分表的查法．453454例题解析455456457458459460例7

查表求解

即就本例而言，利用这个公式并不能求出最后结果，但是可使被积函数中lnx的幂指数减少一次，重复使用这个公式可使lnx的幂指数继续减少，直到求出最后结果，这个公式叫作递推公式．4614.3定积分的应用462定积分的微元法在用定积分方法计算某个量时，关键是如何把所求的量用定积分表示出来，常用的方法就是“微元法”．为了说明这种方法，我们先回顾一下引入定积分概念时讨论的曲边梯形的面积问题．若f(x)≥0，我们把由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A表示成定积分，即463464其基本步骤是:（1）分割用任意一组分点把区间[a，b]分成长度为Δxi（i＝1，2，···，n）的n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，第i个小曲边梯形的面积为ΔAi．（2）取近似得到第i个小曲边梯形的面积ΔAi的近似值（3）求和得到曲边梯形面积A的近似值465（4）取极限得到曲边梯形面积A的精确值466因此，今后我们可以把实际问题中的“待求量”A通过如下步骤表示成定积分:第一步

根据问题的实际情况，选取积分变量x及变化区间[a，b]．在求曲边梯形的面积时，dA＝f(x)dx称为面积微元．第二步

在积分区间[a，b]上任取一个小区间[x，x＋dx]，然后求出这个小区间上所对应的待求量A的部分量ΔA的近似值，记为把它称为待求量A的微元．第三步

将待求量A的微元dA＝f(x)dx在积分区间[a，b]上积分（也就是无限累加），即得467上述这种解决问题的方法称为定积分的微元法．关于微元dA＝f(x)dx，要注意以下两点:（1）f(x)dx作为ΔA的近似表达式，应该足够准确．确切地说，就是要求它们的差ΔA－f(x)dx是比Δx高阶的无穷小，且所有小区间上差的总和还是无穷小．（2）利用微元法解决问题的关键是如何求出微元．我们要分析问题的实际意义及数量关系，一般可在某一小区间[x，x＋dx]上，采用“以常代变”“以匀代变”“以直代曲”等思路，写出小区间上所求量的近似值，即微元dA＝f(x)dx．求平面图形的面积用微元法，我们不难把下列图形的面积表示为定积分．若f(x)≥0，曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的平面图形（如图所示）的面积微元为dA＝f(x)dx，则面积468469一般地，曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的平面图形（如图所示）的面积微元为dA＝f(x)dx，则面积470若g(x)≤f(x)，由上下两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)与直线x＝a，x＝b（a＜b）所围成的平面图形（如图所示）的面积微元为dA＝[f(x)－g(x)]dx，则面积471若ψ(y)≤φ(y)，由左右两条曲线x＝φ(y)，x＝ψ(y)与直线y＝c，y＝d（c＜d）所围成的平面图形（如图所示）的面积微元为dA＝[φ(y)－ψ(y)]dy，则面积472例1求两条抛物线y2＝x，x2＝y所围成图形的面积．解如图所示，选取

x

为积分变量，解方程组

，得两曲线的交点为（0，0）和（1，1），得到积分区间为[0，1]．求得面积微元为所以，所求图形的面积为例题解析473474例2求抛物线y2＝2x与直线2x＋y－2＝0所围成图形的面积．解如图所示，选取y

为积分变量，解方程组

得抛物线与直线交点

和（2，－2），从而得积分区间为[－2，1]．475求得面积微元为所以，所求图形的面积为476例3求椭圆

所围成平面区域的面积．解如图所示，根据椭圆图形的对称性可知，整个椭圆面积等于位于第一象限内部分面积的4倍．477求旋转体的体积如图所示的旋转体是由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a＜b)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的．它的主要特征是用垂直于曲边梯形底边的平面截旋转体所得的截面都是圆．478479下面我们采用定积分的微元法来分析旋转体体积的计算方法．第一步取x

为积分变量，它的变化区间为[a，b]．第二步在区间[a，b]上任取一小区间[x，x＋dx]，设此小区间对应的那部分旋转体的体积为ΔV，则ΔV近似于以f(x)为底，以dx为高的小圆柱体的体积（如图所示），从而得到体积微元为480第三步以π[f(x)]2dx为被积表达式，在区间[a，b]上作定积分，就是所求的旋转体的体积，即类似地，由连续曲线x＝φ(y)，直线y＝c，y＝d（c＜d）及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为481例1求椭圆

绕

x

轴旋转一周所成的旋转体的体积．解如图所示，这个旋转椭球体也可以看作是由上半椭圆

和x轴围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体．取x

为积分变量，得到积分区间为[－a，a]．因此，椭球体的体积为例题解析482483例2验证底面半径为r、高为h的圆锥的体积公式为解8如图所示，设圆锥的旋转轴与x轴重合，即圆锥是由直角三角形ABO绕x轴旋转一周而成，直线A的方程为

484取x

为积分变量，得到积分区间为[0，h]．因此，圆锥的体积为485例3

计算由曲线y＝x3，直线y＝0及x＝2所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积．解如图所示，曲线y＝x3

的方程可写为x＝y，曲线y＝x3

与直线x＝2相交于点（2，8）．486旋转体的体积是由直线x＝φ(x)＝2，曲线x＝ψ(x)＝分别和直线y＝0，y＝8及x＝0所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积之差．选取y为积分变量，得积分区间为[0，8]．所以，所求旋转体的体积为487求平面曲线的弧长设曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有一阶连续导数f′(x)，现在我们用微元法来计算从x＝a到x＝b的一段弧的长度l．第一步取x为积分变量，x∈[a，b]．第二步在区间[a，b]上任取一小区间[x，x＋dx]，则此小区间对应的那段弧长Δl可用相应的切线段近似代替（如图所示），从而得到弧长微元为488489490例求星形线

的周长（如图所示）．例题解析491解由于星形线是中心对称图形，根据对称性，星形线的弧长等于第一象限部分弧长的4倍．因为x′(t)＝3acos2t(－sint)＝－3acos2tsint，y′(t)＝3asin2tcost，得弧长微元为492定积分的其他应用举例变力做功由物理学的知识可知，在一个恒力F

的作用下，物体沿力的方向做直线运动，当物体移动一段距离s时，力F所做的功为W＝Fs．在实际问题中，经常计算变力所做的功．下面我们通过实例来说明变力做功的求法．493例题解析例1由胡克定律可知把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比，现用

1牛顿的力能使一弹簧伸长0.01米，求把这弹簧拉长0.1米所做的功．解设弹簧的一端固定，如图所示，建立坐标系，原点O

为该弹簧不受力时另一端的位置．由胡克定律知F(x)＝kx，其中k为比例常数．494495496现用微元法求解此问题．由题意，将弹簧拉长到位置P，OP＝0.1米．在OP上取Δx，在这一小段上弹力可近似地看作常数，于是把弹簧由x拉长到

x＋Δx所做的功为ΔW＝F（x）Δx＝100xdx．所以，把弹簧拉长0.1米所做的功就是液体的压力由物理学的知识可知，一水平放置在液体中的薄片，若其面积为A，距离液体表面的深度为h，则该薄片一侧所受的压力F等于以A为底，h为高的液体柱的重量，即F＝ρgAh．在实际问题中，往往要计算与液面垂直放置的薄片一侧所受的压力，此时不能直接应用上面的公式．我们用微元法来举例说明这类问题的解决方法．497例题解析例2设一水平放置的水管，其断面是直径为6米的圆，求当水半满时，水管一端的竖立闸门上所受的压力（取g＝9.8N/kg，ρ＝1.0×103kg/m3）．解如图所示，建立坐标系．则圆的方程为x2＋y2＝9．498499取x为积分变量，积分区间为[0，3]．得到压力微元为所以，求得水的压力（以牛顿为单位）为定积分在经济中的应用定积分在经济活动中应用很广泛．例如，已知某经济函数的边际函数的条件下，求原经济函数的改变量时，就需用定积分来解决．500例题解析例3设某工厂生产某产品，边际产量为时间t的函数，已知f(t)＝200＋14t－0.3t2（千件/小时），求从t＝1到t＝3这两个小时的总产量．解因为总产量Q(t)是它的边际产量f(t)的原函数，所以，从t＝1到t＝3这两小时的总产量是501