《圆的标准方程》课件

2.4.1圆的标准方程第二章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.(数学抽象)2.能根据所给条件求圆的标准方程.(数学运算)3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为r的圆的方程?2.如果圆心在(a,b),半径为r时又如何呢?[知识点拨]一、圆的标准方程

名师点析

1.当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.2.当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.3.相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.微练习圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是(

)A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析

设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以

1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.答案

A微判断(1)(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圆的方程.(

)(2)函数(r>0)的图象是以(a,b)为圆心,半径为r的位于直线y=b下方的半圆弧.(

)答案

(1)×

(2)√二、点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设位置关系d与r的大小图

示点P的坐标特点点在圆外d>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2点在圆上d=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆内d<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2微练习1点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(

)A.在圆上B.在圆外C.在圆内 D.以上都不对解析

将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.答案

B微练习2已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C的内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则有(

)A.d>2 B.0≤d<2C.d>4 D.0≤d<4答案

D课堂篇探究学习探究一求圆的标准方程例1求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.思路分析解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.解

(方法1)设点C为圆心,∵点C在直线x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.(方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.反思感悟

圆的标准方程的求法(1)直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定,因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程.(2)待定系数法,圆心(a,b)、半径为r,特殊位置标准方程圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2(3)利用圆的性质求方程求圆的方程时,可以利用圆的性质求圆心、半径,如弦的垂直平分线过圆心,过切点垂直于切线的直线过圆心等.变式训练1已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)周长最小的圆的方程;(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.探究二点与圆的位置关系例2(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(

)A.点P在圆内 B.点P在圆外C.点P在圆上 D.不确定(2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是

.

思路分析(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解.答案

(1)B

(2)[0,1)反思感悟

点与圆的位置关系及其应用(1)位置关系的判断:①几何法:判断点到圆心的距离与半径的大小;②代数法:将点的坐标代入圆的方程左边,判断与r2的大小.(2)位置关系的应用:代入点的坐标,利用不等式求参数的取值范围.变式训练2若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a满足的条件是(

)A.a<-1或a>1 B.-1<a<1C.0<a<1 D.a=±1解析

由题意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,故-1<a<1.答案

B

素养形成代入法求解与圆有关的轨迹问题典例已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.【规范答题】解

(1)设AP的中点为M(x0,y0),由中点坐标公式可知点P坐标为(2x0-2,2y0).因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x0-2)2+(2y0)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x',y').在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2.所以x'2+y'2+(x'-1)2+(y'-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.方法总结

求与圆有关的轨迹方程的方法(1)直接法:根据题设条件直接列出方程;(2)定义法:根据圆的定义写出方程;(3)几何法:利用圆的性质列方程;(4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.变式训练设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹(O为坐标原点).

当堂检测1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是(

)A.5 B.3 C.4 D.2解析

圆心坐标为(0,0),所以圆心到直线的距离为答案

A2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为(

)A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=13答案

D3.已知圆C经过A(0,0),B(2,0)两点,且圆心在第一象限,△ABC为直角三角形,则圆C的方程为(

)A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x-)2+(y-)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-2)2=5解析

由题意可知∠ACB为直角,△ABC为等腰直角三角形,圆心C在线段AB的垂直平分线上,且圆心C(1,1),半径为

,故圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案

C4.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是

.

解析

由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范围是(0,10).答案

(0,10)5.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为

.

解析

已知圆的圆心