第三章自考线性代数精讲

第一节n维向量n维向量的概念n维向量的表示方法向量空间小结、思考题定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量二、维向量的表示方法

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：注意

１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系三、向量空间空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应叫做维向量空间．时，维向量没有直观的几何形象．叫做维向量空间中的维超平面．

确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量的实际意义课堂讨论在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述，请同学们举例说明．２．向量的表示方法：行向量与列向量；３．向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；４．向量在生产实践与科学研究中的广泛应用．四、小结１．维向量的概念，实向量、复向量；若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．思考题如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．思考题解答答

36维的．第二节向量组的线性相关性

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如一、向量、向量组与矩阵向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．定义１线性组合

向量能由向量组线性表示．定理1定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．从而注意定义３二、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．定理向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性

设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有三、线性相关性的判定故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数使因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表示.证毕.线性相关性在线性方程组中的应用结论定理2下面举例说明定理的应用.证明（略）解例１解例２分析证定理3证明说明说明１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；

２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）

３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）第三节向量组的秩一.最大线性无关向量组二.矩阵与向量组秩的关系三.向量组秩的重要结论四.小结定义１最大线性无关向量组最大无关组一、最大线性无关向量组定理１二、矩阵与向量组秩的关系结论说明事实上定理２三、向量组秩的重要结论推论1推论2思考证一证二注意１．最大线性无关向量组的概念：

最大性、线性无关性．２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：

矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩３．关于向量组秩的一些结论：

一个定理、三个推论．４．求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．四、小结思考题

比较教材例7的证法一、二、三，并总结这类题的证法．

证法一根据向量组等价的定义，寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵；思考题解答

证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价”这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；

证法三直接计算向量组的秩，利用了向量组的最大线性无关组等价这一结论．第五节向量空间一、向量空间的概念二、子空间三、向量空间的基与维数说明2．维向量的集合是一个向量空间,记作.一、向量空间的概念定义1

设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．1．集合对于加法及乘数两种运算封闭指例4

判别下列集合是否为向量空间.解例5

判别下列集合是否为向量空间.解试判断集合是否为向量空间.一般地，为定义2

设有向量空间及，若向量空间，就说是的子空间．实例二、子空间设是由维向量所组成的向量空间，那末，向量组就称为向量的一个基，称为向量空间的维数，并称为

维向量空间．三、向量空间的基与维数定义3

设是向量空间，如果个向量，且满足(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明(3)若向量组