人教版数学四年级上册：《优化》例题+习题

人教版数学四年级上册：《优化》例题+习题同学们，在我们的日常生活中，做事情怎样才能更节省时间、更高效呢？这就涉及到了数学中的“优化”思想。优化，简单来说，就是通过合理安排，在最短的时间内完成任务，或者用最少的资源达到目的。这个单元，我们就来学习如何运用优化的思想解决一些实际问题，让我们的生活变得更有条理，效率更高。一、核心思想：运筹帷幄，合理安排“优化”问题的核心在于：1.明确目标：我们要做什么？（比如：沏茶、烙饼、排队等候等）2.找出关键：完成这件事需要做哪些步骤？哪些步骤是必须依次进行的，哪些步骤是可以同时进行的？3.合理安排：如何安排这些步骤的顺序和利用时间，才能达到最节省时间或最高效的目的。二、典型例题精析例题1：沏茶问题（合理安排时间）题目：小明家来客人了，小明要给客人沏茶。已知：洗水壶需要1分钟，烧开水需要8分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要2分钟，拿茶叶需要1分钟。请问，小明最少要花多少分钟才能让客人喝上茶？分析与解答：我们先来梳理一下沏茶需要做的事情以及每件事所需的时间：1.洗水壶：1分钟2.烧开水：8分钟3.洗茶壶：1分钟4.洗茶杯：2分钟5.拿茶叶：1分钟思考：这些事情中，哪些事情必须先做？哪些事情可以在等待的过程中完成？*必须先做的：洗水壶。因为只有先洗好水壶，才能烧开水。*烧开水需要时间最长（8分钟）。在烧开水的这8分钟里，小明是不是只能干等着呢？当然不是！他可以利用这段时间去做其他事情。哪些事情可以在烧开水时同时做呢？洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。这些事情不需要用到正在烧开水的水壶，所以可以并行处理。步骤安排：1.洗水壶：1分钟2.烧开水：8分钟（同时进行：洗茶壶1分钟+洗茶杯2分钟+拿茶叶1分钟，共需1+2+1=4分钟，这4分钟完全包含在烧开水的8分钟内）3.水开后就可以沏茶了（沏茶本身时间忽略不计，或包含在烧开水后）总时间：1分钟（洗水壶）+8分钟（烧开水）=9分钟。答：小明最少要花9分钟才能让客人喝上茶。小结：解决这类“合理安排时间”问题，关键在于找到那个耗时最长的“主线任务”，然后看看在主线任务进行的同时，有哪些“次要任务”可以穿插进行，从而达到节省总时间的目的。例题2：烙饼问题（锅的优化利用）题目：一只平底锅上只能同时煎两张饼，用它煎一张饼需要2分钟（正、反面各1分钟）。问：煎三张饼最少需要多少分钟？分析与解答：这道题的关键在于，如何充分利用平底锅，尽量不让它空着，这样才能最节省时间。我们先想想煎两张饼需要多久：同时煎两张饼的正面1分钟，再同时煎两张饼的反面1分钟，一共2分钟。那煎三张饼呢？如果我们一张一张地煎：第一张：正面1分钟，反面1分钟，共2分钟。第二张：正面1分钟，反面1分钟，共2分钟。第三张：正面1分钟，反面1分钟，共2分钟。总时间：2×3=6分钟。但这样平底锅经常只有一张饼在煎，太浪费了！有没有更优的方法呢？我们试试这样：方案：1.第1分钟：煎第一张饼的正面和第二张饼的正面。2.第2分钟：煎第一张饼的反面和第三张饼的正面。（此时第一张饼已经煎好）3.第3分钟：煎第二张饼的反面和第三张饼的反面。（此时第二张和第三张饼也煎好了）总时间：3分钟。我们来验证一下每一张饼的煎制情况：*第一张饼：第1分钟正面，第2分钟反面，OK。*第二张饼：第1分钟正面，第3分钟反面，OK。*第三张饼：第2分钟正面，第3分钟反面，OK。答：煎三张饼最少需要3分钟。小结：解决“烙饼问题”或类似的“资源（锅）利用”问题，核心是尽量让锅（或其他资源）在单位时间内得到充分利用，不要有空闲。对于煎n张饼（n≥2），如果每次最多煎2张，每面时间相同（设为t），那么最短时间通常是n×t（当n为偶数时，n/2×2t=nt；当n为奇数时，方法类似上面的3张，总时间也是nt）。三、配套习题精练习题1：（合理安排时间）小红每天早上要做这些事：起床穿衣3分钟，整理床铺2分钟，刷牙洗脸3分钟，热牛奶5分钟（用微波炉），吃早餐10分钟。小红最少要用多少分钟才能完成这些事去上学？提示：哪些事情是可以在热牛奶的同时做的？习题2：（烙饼问题变式）一个烤箱每次最多能烤3块面包，烤一块面包需要4分钟（正、反面各需2分钟）。烤4块面包最少需要多少分钟？提示：先烤3块，再烤1块？还是有更节省时间的方法？想想如何让烤箱一直有3块面包在烤。习题3：（排队问题）甲、乙、丙三人同时来到一个水龙头处用水。甲洗拖把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙接水需要1分钟。怎样安排三人的用水顺序，才能使他们所花的总时间（各自等待和用水时间的总和）最少？最少总时间是多少？提示：总时间包括每个人的等待时间和自己用水的时间。让用水时间短的人先用水，可以减少其他人的等待时间。四、参考答案与提示习题1参考答案：关键：热牛奶的5分钟可以同时整理床铺和刷牙洗脸。步骤：1.起床穿衣：3分钟2.热牛奶：5分钟（同时进行：整理床铺2分钟+刷牙洗脸3分钟，共5分钟，刚好完成）3.吃早餐：10分钟总时间：3+5+10=18分钟。答：小红最少要用18分钟。习题2参考答案：方案：1.第1-2分钟：烤面包A正面、B正面、C正面。（2分钟）2.第3-4分钟：烤面包A反面、B反面、D正面。（A、B完成，D正面完成）（2分钟）3.第5-6分钟：烤面包C反面、D反面。（C、D完成）（2分钟）总时间：2+2+2=6分钟。答：烤4块面包最少需要6分钟。习题3参考答案：最优顺序：丙（1分钟）→乙（2分钟）→甲（3分钟）。计算总时间：*丙用水时，甲、乙等待，丙用水1分钟。总等待+用水：1（丙）+1（乙等待）+1（甲等待）=3分钟。*乙用水时，甲等待，乙用水2分钟。总等待+用水：2（乙）+2（甲等待）=4分钟。*甲用水时，无人等待，甲用水3分钟。总等待+用水：3（甲）=3分钟。总时间：3+4+3=10分钟。或者：丙的时间（1）+（丙等乙的时间1+乙的时间2）+（丙等甲的时间1+乙等甲的时间2+甲的时间3）=1+(1+2)+(1+2+3)=1+3+6=10分钟。答：按丙→乙→甲的顺序，最少总时间是10分钟。五、总结与思考“优化”思想在我们生活中的应用非常广泛，从合理安排学习计