弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解

弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解引言本章习题旨在加深对平面问题极坐标解答的理解与应用。极坐标系统对于处理具有圆形、环形或楔形等几何特征的弹性力学问题具有天然的便利性，其核心在于掌握极坐标下的平衡微分方程、几何方程、物理方程以及相应的边界条件。通过习题的演练，不仅能够熟悉应力函数解法在极坐标下的具体操作，更能体会到不同坐标系选择对问题求解难易程度的影响。以下将针对本章典型习题进行详细剖析，着重于解题思路的引导与关键步骤的阐释。一、应力函数与应力分量的基本关系及验证（一）已知应力函数求解应力分量习题类型概述：给定一个极坐标形式的应力函数φ(r,θ)，要求计算对应的应力分量σ_r、σ_θ、τ_rθ。核心知识点：极坐标下应力分量与应力函数的关系：σ_r=(1/r)∂φ/∂r+(1/r²)∂²φ/∂θ²σ_θ=∂²φ/∂r²τ_rθ=-∂/(∂r)(1/r∂φ/∂θ)解题步骤与要点：1.明确函数形式：首先确认给定的φ(r,θ)是否仅为r的函数（轴对称情形），或是同时包含r和θ。2.分步求导：根据上述公式，对φ(r,θ)进行必要的偏导数运算。对于仅含r的函数，对θ的偏导数项自然为零，此时τ_rθ=0，问题简化为轴对称问题。3.化简结果：注意在求导过程中，特别是对含有1/r或r次方项的函数求导时，需仔细运用求导法则，避免计算错误。最终应力分量的表达式应尽可能简化。示例解析：设应力函数φ=Ar²lnr+Br²+Clnr+D。（此为轴对称应力函数的常见形式）则：∂φ/∂r=A(2rlnr+r)+2Br+C/r∂²φ/∂r²=A(2lnr+2+1)+2B-C/r²=A(2lnr+3)+2B-C/r²(1/r)∂φ/∂r=A(2lnr+1)+2B+C/r²(1/r²)∂²φ/∂θ²=0（因φ与θ无关）τ_rθ=0（轴对称）故：σ_r=(1/r)∂φ/∂r+(1/r²)∂²φ/∂θ²=A(2lnr+1)+2B+C/r²σ_θ=∂²φ/∂r²=A(2lnr+3)+2B-C/r²（二）验证给定应力函数是否满足相容方程习题类型概述：给定一个极坐标应力函数φ(r,θ)，验证其是否满足极坐标下的相容方程。核心知识点：极坐标下应力函数的相容方程（双调和方程）：(∂²/∂r²+1/r∂/∂r+1/r²∂²/∂θ²)²φ=0解题步骤与要点：1.理解方程结构：极坐标下的双调和算子是一个四阶偏微分算子，需要对φ进行两次二维拉普拉斯算子的运算。2.分步计算：a.首先计算Laplacian∇²φ=∂²φ/∂r²+(1/r)∂φ/∂r+(1/r²)∂²φ/∂θ²。b.然后对∇²φ再次应用Laplacian算子，即计算∇²(∇²φ)，若结果为零，则满足相容方程。3.轴对称情形简化：若φ仅为r的函数，则相容方程简化为：(d²/dr²+1/rd/dr)²φ=0展开后为：r⁴φ''''+2r³φ'''-r²φ''+rφ'=0（或其他等价形式，具体展开过程需仔细）。示例解析：对上述（一）中的示例应力函数φ=Ar²lnr+Br²+Clnr+D进行相容方程验证。首先计算∇²φ：∇²φ=∂²φ/∂r²+(1/r)∂φ/∂r=[A(2lnr+3)+2B-C/r²]+[A(2lnr+1)+2B+C/r²]=A(2lnr+3+2lnr+1)+4B+(-C/r²+C/r²)=A(4lnr+4)+4B=4A(lnr+1)+4B再计算∇²(∇²φ)：令ψ=∇²φ=4A(lnr+1)+4B∇²ψ=d²ψ/dr²+(1/r)dψ/drdψ/dr=4A(1/r)d²ψ/dr²=-4A(1/r²)∇²ψ=-4A/r²+(1/r)(4A/r)=-4A/r²+4A/r²=0故∇²(∇²φ)=0，满足相容方程。二、边界条件的应用与应力分量的确定（一）轴对称问题的边界条件处理习题类型概述：对于受轴对称载荷的圆环、圆筒或无限大平板中有圆孔的问题，已知应力函数形式（如前述的Ar²lnr+...），根据内、外边界上的应力条件（如给定σ_r在r=a和r=b处的值），确定应力函数中的待定系数，并进而得到应力分量表达式。核心知识点：轴对称问题的应力边界条件仅涉及σ_r，且在边界上σ_r应等于给定的面力（若边界为自由面，则σ_r=0）。τ_rθ在边界上通常为零（无切向载荷时）。解题步骤与要点：1.写出应力分量通解：对于轴对称问题，σ_r和σ_θ的表达式通常含有若干待定常数（如A,B,C,D等，其中D对应力无影响，可设为零）。2.列出边界条件方程：根据问题给出的内半径r=a和外半径r=b处的径向应力σ_r的值（例如，内压p_i，外压p_o），代入σ_r的表达式，得到关于待定系数的代数方程组。3.求解方程组：解出待定系数A,B,C等。4.回代得到应力分量：将求得的系数代入σ_r和σ_θ的表达式，得到具体问题的应力分布。示例解析：一厚壁圆筒，内半径为a，外半径为b，内壁受均匀内压p，外壁自由。试求其应力分量。采用上述应力函数φ，对应的σ_r=A(2lnr+1)+2B+C/r²，σ_θ=A(2lnr+3)+2B-C/r²。边界条件：r=a：σ_r=-p(压应力为负，习惯约定)r=b：σ_r=0代入得：A(2lna+1)+2B+C/a²=-p...(1)A(2lnb+1)+2B+C/b²=0...(2)此外，对于无限长圆筒或平面应变问题，还需考虑位移单值条件。当r→0时，位移不应为无穷大；对于圆环，若A≠0，可能导致环向位移w中出现多值项（如Aθ）。为保证位移单值，对于整环（θ可绕一周），通常取A=0。（此点在教材中应有阐述，是重要的补充条件）令A=0，则方程简化为：2B+C/a²=-p...(1a)2B+C/b²=0...(2a)联立(1a)和(2a)解得：C=[-pa²b²]/(b²-a²)2B=pa²/(b²-a²)故：σ_r=pa²/(b²-a²)(1-b²/r²)σ_θ=pa²/(b²-a²)(1+b²/r²)τ_rθ=0此即厚壁圆筒受内压时的拉梅解答。（二）非轴对称问题的边界条件与应力函数选择习题类型概述：如楔形体受集中力、半无限平面受法向集中力等问题，需要根据问题的几何形状和载荷特点，假设合适的应力函数形式（通常与θ有关，如含sinθ、cosθ或幂函数项），再利用边界条件（包括应力边界条件和对称性条件等）确定系数。核心知识点：非轴对称问题的应力函数通常包含r的幂次与θ的三角函数的乘积，如φ=r^nf(θ)。代入相容方程可得到关于f(θ)的常微分方程，求解得到f(θ)的一般形式，再结合边界条件确定具体系数。解题步骤与要点：1.分析问题对称性：判断问题是否关于某一轴对称（如对称于x轴），从而简化应力函数的形式，减少待定系数。例如，若对称于x轴，则应力函数中不应含有θ的奇函数项（如sinθ,sin3θ等）。2.假设应力函数形式：根据载荷和几何的特点，假设φ=r^n(Acosnθ+Bsinnθ+Cθcosnθ+Dθsinnθ)等形式。对于集中力问题，通常n为分数。3.代入相容方程定n：将假设的φ代入极坐标相容方程，通过分析得到满足方程的n值。4.列出边界条件：对于楔形体，两侧面（θ=±α）通常为自由边界，即σ_θ=0，τ_rθ=0。对于无限远处，应力应趋于零。5.求解系数：将应力分量表达式代入边界条件，得到代数方程组，求解待定系数。难点提示：此类问题对数学技巧要求较高，常涉及特殊函数或复杂的三角恒等变换。理解应力函数中各项的物理意义（如含θ的项可能对应弯曲或集中力效应）有助于更合理地假设函数形式。三、典型问题的综合求解与讨论（一）圆孔应力集中问题特点：无限大平板（或半无限大平板）中开有小圆孔，在远处受均匀应力场（如单向拉伸、双向拉伸或纯剪切）作用。这是弹性力学中的经典问题，其核心特征是孔边产生应力集中现象。解题思路：通常采用叠加法。基本解为无限大平板在远处受均匀应力时的应力函数与圆孔引起的扰动应力函数的叠加。扰动应力函数常取为仅与r有关的函数和r的负幂次与cos2θ乘积的组合（对于单向拉伸情形）。关键结论与讨论：*单向拉伸时，圆孔边的最大环向应力σ_θ(max)=3σ（σ为远处均匀拉应力），发生在θ=±90°处，应力集中系数为3。*应力集中仅发生在孔附近区域，随着远离孔，应力迅速衰减至远处的均匀应力值。*圆孔的存在使得原本简单的应力分布发生显著改变，这对于工程设计中构件的强度校核具有重要指导意义，即应避免在高应力区开设圆孔或其他几何缺陷。（二）半无限平面体受法向集中力问题特点：在半无限平面体（y≥0或θ范围为-π/2至π/2）的边界上（通常为原点处）受一垂直于边界的集中力P。解题思路与应力函数：通常采用Flamant解答，其应力函数为φ=-(P/π)rθsinθ。由此可导出应力分量：σ_r=-(2P/π)(cosθ/r)σ_θ=0τ_rθ=0应力分量具有1/r的奇异性，这是集中力作用的典型特征。通过积分可求得位移分量。结果分析：*应力分布与r成反比，与θ有关。在力作用点附近应力极大，远离后迅速减小。*所有径向应力σ_r均为压应力，且其分布具有对称性。*该解答可作为基础，通过叠加法求解半无限平面上受分布力或多个集中力的问题。四、解题方法总结与常见误区（一）解题方法归纳1.选择合适的坐标系：对于圆形、环形、楔形等具有极坐标对称性的问题，优先采用极坐标。2.应力函数法的应用：*对于轴对称问题，应力函数仅为r的函数，可直接代入简化的相容方程求解。*对于非轴对称问题，根据问题特征假设含θ函数的应力函数形式，代入完整相容方程确定函数形式。3.边界条件的准确应用：*明确边界的几何位置（r=常数或θ=常数）。*正确写出应力边界条件，注意应力的正负号约定（通常以拉为正，压为负；切应力方向按右手坐标系判定）。*对于多连通域（如圆环），需考虑位移单值条件，以排除可能导致多值位移的应力函数项。4.叠加原理的灵活运用：对于复杂载荷或复杂几何，可以将其分解为简单情形，分别求解后叠加。（二）常见误区与注意事项1.极坐标与直角坐标的混淆：务必注意极坐标下平衡微分方程、几何方程、物理方程以及应力函数与应力分量关系的独特形式，不可与直角坐标下的公式混淆。2.应力函数的物理意义不清：应力函数本身没有直接的物理意义，但其偏导数组合对应着应力分量。选择应力函数时应使其能满足相容方程和边界条件。3.边界条件遗漏或错误：例如，在处理圆孔问题时，除了内外边界的应力条件，还需考虑无限远处的应力条件。对于楔形体，两侧面的边界条件需完整应用。4.忽略位移单值条件：在多连通域问题中，若应力函数选择不当（如含有Aθ项），可能导致环向位移w出现多值，需通过位移单值条件加以限制。5.数值计算粗心：在进行偏导数运算和代数方程求解时