2025-2026学年下学期福建厦门高三数学2026年5月模拟考试试卷（含答案）

厦门市2026届高中毕业班适应性练习数学学科(满分:150分，考试时间:120分钟)考生注意:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=21+iA.-2B.-2iC.2D.2i2.已知Sn是等差数列an的前n项和,若S5=5aA.0B.1C.2D.33.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点A4,nA.3B.4C.5D.64.随机变量X的分布列为PX=0=a,PXA.13B.12C.25.已知a=1,−1,b=2,x,bA.-2B.-1C.0D.16.某工厂的产量Q(单位:件)与资本投入K(单位:万元)、劳动投入L(单位:人)满足柯布一道格拉斯生产函数Q=A0⋅K∘⋅Lβ(其中A0,α,β为常数).A.0.3B.0.4C.0.5D.0.67.已知P为椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0上的动点，M，NA.12B.22C.28.已知tanαtanα−A.−13B.−19二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数fx=sinωx+φωA.φB.ωC.x=−π3是D.y=fx的图象向左平移10.某校有学生3000人，其中男生1800人，女生1200人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配,用分层随机抽样的方法抽取学生250人,并统计样本中男生和女生一天的阅读时间(单位:分钟)，绘制成如下两个频率分布直方图，则男生阅读时间女生阅读时间A.aB.样本中男生阅读时间的中位数低于40分钟C.样本中阅读时间在40分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多D.用样本估计总体,全校学生中阅读时间在60分钟以上的约有780人11.已知A1,A2,⋯,An,⋯均为有限实数集,记An中的最大元素为A.A2B.xC.A8中所有元素的平均数为D.A6中所有元素的和为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知2x+1x013.写出一个同时满足下列性质①②③的函数fx①定义域为R;②f2=114.在梯形ABCD中，AB//CD,AD⊥AB，E为CD上一点，AB=BC=CE=2DE=2，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED′四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a(1)求A；(2)若D为BC的中点，AD=3，△ABC的面积为16.(15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥A1C，AB=BC=CA=AA(1)作出α截此三棱柱所得的截面,请写出作图过程并说明理由;(2)已知B1C=10,求BC117.(15分)已知定直线l:x=12，点M在l右侧，且M到F2,0的距离与到(1)求Γ的方程；(2)过F与x轴垂直的直线l1交Γ于A,C两点，过F的直线l2交Γ于B,D两点.若四边形ABCD的面积为1818.(17分)某棋类游戏有不同规格的地图，规格为Xnn∈N∗,n>10 1 2 游戏规则如下:①玩家首先选定地图规格%，并获得2枚金币，棋子位于起点(0号格子)；②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败；③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币.当金币被扣光或棋子落到2n+2号格子时,游戏终止,视为失败,无奖励;当棋子落到2n+1号格子时,游戏终止,视为成功,获得奖励(1)若选定规格为X2(2)若选定规格为X0的地图，求棋子落到2n(3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图？19.(17分)已知函数fx=ex−(1)当a=−1时，求fx在(2)已知fx(i)求a的取值范围;(ii)记fx的极值点为x0,证明:厦门市2026届高中毕业班适应性练习数学试题参考答案与评分标准一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.B3.C4.A5.D6.B7.B8.B8.提示:由tanαtanα−β=2得sinαsinα−β=2cos二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.ABD10.ACD11.ACD11.提示:设An中元素有kn个,所有元素和为Sn,平均数为所以x1=3,S1=12易得xn+1=2xn因为增加的数一定是3的倍数,-2,3被3整除的余数不等,故元素中不会出现重复,所以kn+1=2又Sn+1=Sn+Sn+kn⋅xn=2Sn+3×22n−1,两边除以k三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分，12.2413.x−1(如:x−114.提示:易得∠DEA=60∘,AE//BC,所以CM⋅EA=CE⋅EA+EM⋅则EM⋅所以EN=32,过N作NH⊥BC则可证BC⊥平面MNH,则可得∠即为二面角M−BC可求得MN=正弦定理可得sin∠MHNMN=sin∠NMH四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.解:(1)依题意,acosB=c+得sinAcos由A+B+C=代入得sinA即cosAsin由sinB>0,得有2cos2A−1+cosA=0又A∈0,π,所以(2)由D为BC的中点，AD=1所以b2+由△ABC的面积为33，得S△ABC=12bc由余弦定理,a2=所以a2=所以a=216.解:解法一:(1)取AB的中点为O,连接OA1,OC,则平面A1OC因为AB=BC=CA=2因为O为AB的中点，所以AB⊥OC，又AB⊥A1C,OC∩A1C所以AB⊥平面AOC即平面A1OC为平面α(2)在三棱柱ABC−A1B1C8分因为AB⊥AC,所以在Rt△A1B1C中,因为由(1)得AB⊥OA，所以OA所以OC2+OA所以OA1以O为坐标原点,以OC,OB,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴如图建立空间直角坐标系O−xyzAA设平面ACB1的一个法向量为则n⋅AC=0,n⋅AB1=0,12分B13分BC设BC1与平面ACB1所成角为则sinθ所以BC1与平面ACB1所成角的正弦值为22613(2)在三棱柱ABC−A1B1C因为AB⊥AC,所以在Rt△A1B1C中,因为由(1)得AB⊥OA，所以所以OC2+OA又因为OA1⊥AB,OC∩AB=所以OA为三棱锥B1−ABC在Rt△AOA1中,AA所以∠AA1B1=120∘在△ACB1中,cos∠CAB所以S△AC设三棱锥B−ACB1的高为h,因为VB所以h=O在△BCB1中,cos∠CBB在△CC1B1所以BC1设BC1与平面ACB1所成角为θ所以BC1与平面ACB1所成角的正弦值为17.解:(1)设Mx,即x−2化简得x2−故Γ:x5分(2)因为AC⊥x轴,当x=2时,y=±由题意,l2的斜率存在,设l联立x2−y23其中,3−k2≠0Δ=由韦达定理得x1因为x1+x2>由S四边形得x1−因为x1−所以6k2+13解得:k2=133或因为k2>3,所以故l2的方程为:y=393x−18.解法一(1)依题意，向前跳1步的概率为26=13，向前跳21分设ξ=“游戏结束时，余下的金币的数量”，则ξ=0,1,则PM当n=2时,该地图有当且仅当ξ=2时,棋子经过的路径为所以Pξ=当且仅当ξ=1时,棋子经过的路径有3条,分别为或0→2→3→所以Pξ=1=1所以若选定规格为X2的地图,游戏成功的概率为2881(2)在规格为Xn设事件N=“落到编号为2n且游戏成功”则棋子经过的路径为0→P所以若选定规格为Xn的地图,棋子落到2n号格子且游戏成功的概率为2n(3)在规格为Xn当且仅当ξ=2时,棋子经过的路径为所以Pξ=当且仅当ξ=1时,棋子经过的路径有第1种情况，棋子经过的路径为0→1→2→3→⋯→2n−1→2n第2种情况，棋子经过的路径为0→2→3→⋯→2n其概率p2=第3种情况，棋子落到第2k2≤k≤共有n−10→共跳了n+2步,每条路径的概率相等,均为p3=1则PM=记收益为Yn,则YnY010nP1n收益期望EYn令EYn≥EYn−1E所以n=3,有所以n=3时,收益的期望最高,最高期望为200解法二:(1)同解法一;5分(2)同解法一:8分(3)若要获胜，则要跳2n+1格，至少投掷骰子n若落到2kk>1号格,则必落到2k−所以跳1格的次数至多3次(其中有一次可以选择路径0→所以最多掷骰子n+2次,其中跳1格3次,跳两格n−1次.9分设事件C1=“共掷骰子n+1次获胜”,C2=则C=C共掷骰子n+1次获胜即跳1格1次，跳2格n则可能路径仅能为0→或0→2所以PC1共掷骰子n+2次获胜即跳1格3次，跳2格n即路径为0→所以PC2所以PC=以下同解法一:17分19.解法一:(1)a=−1时,f所以f′x又f0=所以fx在0,f0处的切线方程为(2)(i)(j)当a<0时，fx的定义域为x∈−∞,1所以f1+et②当a>0时，fx的定义域为x∈1,+∞设gx=ex−ax−1,ga由零点存在定理,∃x0∈1+则当x∈1,x0当x∈x0,+∞时,所以fxmin所以ax0−1−因为a=ex0x整理得1x0设t=x0−1设mt因为m′t=−1t2−1−2t=−t所以t∈0,1,所以又因为lna=x0+lnx0−1关于x0(ii)由(i)得fx0=ex有t′x设φx因为φx在区间1,2上单调递增,且所以∃x1∈1+1e2,32,使得φx1=0,即x1+1+2lnx1−1=0,当所以t所以xie因为32e32<e12⋅e(2)(i)(j)当a<0时，fx的定义域为x∈−∞,1所以f1+ei②当a>0时，fx的定义域为对于ex−alnax−a>−a,两边同除a即ex−ln设函数hx=ex+x,易知hx所以原式化为hx−lna>h由单调性得x−lna>lnx−1,即lnax∈1,2时,h′x<0,hx单调递减;x∈2,+∞(也可这样同构:e构造hx=x−1ex,若由hx=x−1ex在综上,转化为x(ii)由(i)知a∈当a>0时,fx的定义域为设gx=ex−ax−1,ga由零点存在定理,∃x0∈1+当x∈1,x0当x∈x0,+∞时,所以fx≥所以f2=设nxx∈0,1e时,n′x>0,所以nx≤n1e=1e所以f2所以fx0<f2≤(2)(i)(j)当a<0时，fx的定义域为