勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用八年级下册RJ初中数学勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

Rt△ABC，a，b为直角边，c为斜边.

ACBabc知识回顾

ACBabc(1)经测量发现：②5、12、13；③7、24、25;8、15、17.均为直角三角形.④(2)在数量上：52+122=132，72+242=252，82+152=172.a2+b2=c2猜想：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

活动2：找出下面两个命题的题设与结论，说说两个命题之间有什么关系.

命题1：如果一个三角形是直角三角形，两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.（勾股定理）命题2：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就是它的逆命题.

新知生成1.请举出互逆命题的例子.2.如果原命题正确,那么逆命题也正确吗?举例说明.合作交流3.结合你判断直角三角形的经验，尝试说明命题2的真假性.命题2：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.A

B

C

abc探究新知据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距的

13个结，然后以

3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.345上述三角形的三边满足什么数量关系？32+42=52

这种做法真的可以得到一个直角三角形吗？探究新知（1）2.5，6，6.5；（2）

4，7.5，8.5.以下面各组数为边长画三角形，所画三角形是直角三角形吗？(单位：cm)2.566.547.58.5

ab

ACBabc

abACBabc3.A，B，C

三地的两两距离如图所示，A

地在

B

地

的正东方向，C

地在

B

地的什么方向？解：由图知：△ABC中，AB=12，BC=5，AC=13.∵AB2+BC2=122+52=144+25=169，∴AB2+BC2=AC2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，且∠B=90°.∵A

地在

B

地的正东方向，∴C

地在

B

地的正北方向.复习巩固1.判断由线段

a，b，c

组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a=7，b=24，c=25；∵a2+b2=72+242=49+576=625，c2=252=625，∴a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.习题勾股定理是正确的，其逆命题也是正确的，是不是说明原命题成立，其逆命题一定成立呢？有没有反例说明？不一定.比如命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.例1判断由线段

a，b，c

组成的三角形是不是直角三角形：（1）a

=

15，b

=

8，c

=

17；（2）a

=

13，b

=

14，c

=

15.解：（1）因为152+82=225+64=289， 172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.（2）因为132+142=169+196=365， 152=225，所以132+142≠152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.

像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.知识点四

勾股定理及其逆定理的综合应用例3

如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.ADBC341312解：连接AC.在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.针对练习解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.1.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足

，试判断△ABC的形状.当a=b时，△ABC为等腰三角形;当a≠b时，△ABC为直角三角形.5.如图，在四边形

ABCD

中，AB=3，BC=4，CD=12，

AD=13，∠B=90°.求四边形

ABCD

的面积.解：AB=3，BC=4，∠B=90°，∴由勾股定理得

AC2=AB2+BC2，得

AC==5.又

CD=12，AD=13，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ABC

+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=36.6.如图，在正方形

ABCD

中，E是

BC

的中点，F

是

CD

上一点，且

CF=CD.求证∠AEF=90°.证明：设

CF=x，则

EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.

由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，AF2=AD2+DF2=25x2=25x2，∴EF2+AE2=25x2=AF2.由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.当堂检测7.△ABC中

A，

B，

C的对边分别是a，b，c，则

下列命题中的假命题是()

A.如果

C

B

A，则△ABC是直角三角形；

B.如果c2=b2

a2，则△ABC是直角三角形，且

C

90°；

C.如果(c

a)(c

a)=b2，则△ABC是直角三角形；

D.如果

A

B

C=5

2

3，则△ABC是直角三角形.B8.下列四组线段，不能构成直角三角形的是()A.a

8，b

15，c

17；B.a

9，b

12，c

15；C.a

，b

，c

；

D.a

b

c

2

3

4.D当堂检测

9.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是