5 简单复合函数的求导法则教学设计北师大版2019选择性必修 第二册-北师大版2019

5简单复合函数的求导法则教学设计北师大版2019选择性必修第二册-北师大版2019授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析1.本节课的主要教学内容。北师大版2019选择性必修第二册第五章“导数及其应用”中“简单复合函数的求导法则”，包括复合函数的概念，形如f(g(x))（g(x)为基本初等函数，如一次、二次、幂、指数、对数函数等）的简单复合函数求导法则（链式法则）及其直接应用。

2.教学内容与学生已有知识的联系。学生在必修中已掌握基本初等函数求导公式、导数四则运算法则及函数复合概念，本节课在此基础上学习复合函数求导，是对导数运算的拓展，为后续解决复杂函数导数及应用问题奠定基础。核心素养目标二、核心素养目标学习者分析1.学生已掌握基本初等函数求导公式、导数四则运算法则及函数复合概念，具备简单函数求导能力。

2.学生对数学运算有较高兴趣，抽象思维逐步发展，但应用能力不均衡，部分学生依赖机械记忆。

3.学生可能难以准确识别复合函数的层次结构，混淆链式法则与四则运算，符号运算易出错，需强化层次拆分训练。教学资源1.软硬件资源：黑板、多媒体投影仪、科学计算器

2.课程平台：校内教学管理系统（如学习通）

3.信息化资源：复合函数求导PPT课件、GeoGebra动态图像软件、导数运算题库

4.教学手段：小组讨论、例题分层讲解、课堂即时反馈练习教学过程（一）情境导入，激活旧知（5分钟）

同学们，上节课我们学习了基本初等函数的求导公式和四则运算，现在请大家快速求出以下函数的导数：y=x²，y=sinx，y=lnx。（学生口答，教师板书公式）很好！现在请看这个函数y=sin(2x)，它还能直接套用公式吗？显然不能，因为它的自变量x被包裹在"2x"这个整体里。这种"函数套函数"的结构，就是我们今天要研究的复合函数。今天我们就来学习如何破解它的求导密码——链式法则！

（二）概念建构，探究法则（15分钟）

1.**实例感知**

请观察函数y=sin(2x)的复合结构。当x变化时，2x先变化，再影响sin的值。我们可以设u=2x，那么y=sinu。现在请你们尝试用已知的导数公式计算dy/du和du/dx。（学生计算：dy/du=cosu=cos(2x)，du/dx=2）

2.**猜想验证**

如果把这两个导数相乘，得到dy/dx=cos(2x)×2=2cos(2x)。现在请大家用定义法验证这个结果是否正确。（学生分组讨论，教师巡视指导）通过极限定义计算差商，最终验证dy/dx=2cos(2x)成立！

3.**抽象法则**

这个发现揭示了什么规律？请用数学语言描述：如果y=f(u)且u=g(x)，那么dy/dx=dy/du×du/dx。这就是链式法则！它就像拆解俄罗斯套娃，必须从内到外逐层求导再相乘。

（三）例题精讲，分层突破（25分钟）

**例1：基础应用**

求y=(3x+1)²的导数。

（学生尝试后教师引导）设u=3x+1，则y=u²。先求dy/du=2u=2(3x+1)，再求du/dx=3，所以dy/dx=2(3x+1)×3=6(3x+1)。

**例2：变式辨析**

求y=e^{x²}的导数。

（学生易错点：直接套指数函数公式）

教师强调：这里u=x²，y=e^u。dy/du=e^u=e^{x²}，du/dx=2x，所以dy/dx=e^{x²}×2x。

**例3：综合挑战**

求y=ln(sinx)的导数。

（学生板演过程）设u=sinx，y=lnu。dy/du=1/u=1/sinx，du/dx=cosx，故dy/dx=(1/sinx)×cosx=cotx。

（四）课堂练习，即时反馈（10分钟）

1.求y=cos(4x)的导数（学生口答：-4sin(4x)）

2.求y=(x²+1)^5的导数（学生板演：5(x²+1)^4×2x）

3.求y=√(2x-3)的导数（学生板演：1/(2√(2x-3))×2=1/√(2x-3)）

教师巡视，重点纠正链式法则漏乘、内外函数混淆等错误。

（五）总结提升，拓展延伸（5分钟）

请同学们用一句话总结链式法则的核心：复合函数求导，先拆后乘！课后完成以下任务：

1.教材P89习题5.3第1、2题

2.思考：如何求y=sin(lnx)的导数？

3.拓展研究：若y=f(g(x))，且g(x)是复合函数，如何求导？

（六）板书设计

```

链式法则：dy/dx=dy/du×du/dx

例1：y=(3x+1)²→u=3x+1→dy/dx=6(3x+1)

例2：y=e^{x²}→u=x²→dy/dx=2x·e^{x²}

例3：y=ln(sinx)→u=sinx→dy/dx=cotx

易错点：①漏乘内层导数②混淆复合层次

```知识点梳理复合函数求导的核心是链式法则，其本质是将复杂函数分解为基本初等函数的组合，逐层求导后相乘。具体知识点如下：

###1.复合函数的定义

-形式：由函数\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)构成的函数\(y=f(g(x))\)。

-特点：自变量\(x\)通过中间变量\(u\)影因变量\(y\)，形成嵌套结构。

###2.链式法则的数学表达

-公式：若\(y=f(u)\)且\(u=g(x)\)，则

\[

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

\]

-关键：先求外函数\(f(u)\)对中间变量\(u\)的导数，再求内函数\(g(x)\)对自变量\(x\)的导数，最后相乘。

###3.求导步骤（四步法）

1.**拆分**：识别外层函数\(f(u)\)和内层函数\(u=g(x)\)。

2.**求导**：分别计算\(\frac{dy}{du}\)和\(\frac{du}{dx}\)。

3.**相乘**：将两导数相乘得到\(\frac{dy}{dx}\)。

4.**回代**：将\(u=g(x)\)代入结果，消去中间变量。

###4.典型函数类型的求导

-**多项式复合**：如\(y=(3x+1)^2\)

-拆分：\(u=3x+1\)，\(y=u^2\)

-求导：\(\frac{dy}{du}=2u\)，\(\frac{du}{dx}=3\)

-结果：\(\frac{dy}{dx}=2u\cdot3=6(3x+1)\)

-**指数复合**：如\(y=e^{x^2}\)

-拆分：\(u=x^2\)，\(y=e^u\)

-求导：\(\frac{dy}{du}=e^u\)，\(\frac{du}{dx}=2x\)

-结果：\(\frac{dy}{dx}=e^u\cdot2x=2xe^{x^2}\)

-**对数复合**：如\(y=\ln(\sinx)\)

-拆分：\(u=\sinx\)，\(y=\lnu\)

-求导：\(\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}\)，\(\frac{du}{dx}=\cosx\)

-结果：\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\cosx=\cotx\)

-**三角复合**：如\(y=\cos(4x)\)

-拆分：\(u=4x\)，\(y=\cosu\)

-求导：\(\frac{dy}{du}=-\sinu\)，\(\frac{du}{dx}=4\)

-结果：\(\frac{dy}{dx}=-\sinu\cdot4=-4\sin(4x)\)

###5.多重复合函数的求导

-形式：如\(y=\ln(\tan(e^x))\)

-方法：逐层分解，链式法则多次应用

\[

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}

\]

其中\(u=\tanv\)，\(v=e^x\)，\(y=\lnu\)。

###6.易错点与注意事项

-**漏乘内层导数**：如求\(y=\sin(2x)\)时，忘记乘\(\frac{d}{dx}(2x)=2\)。

-**混淆内外层函数**：如将\(y=e^{x^2}\)的外层误认为\(e^x\)。

-**符号错误**：三角函数求导时忽略符号变化（如\(\cosu\)的导数为\(-\sinu\)）。

-**未回代中间变量**：结果中保留\(u\)未用\(g(x)\)替换。

###7.与已有知识的关联

-**基础支撑**：依赖基本初等函数求导公式（如\((\sinx)'=\cosx\)）和四则运算法则。

-**应用拓展**：为后续优化问题（如求极值）、物理变化率（如速度、加速度）提供工具。

###8.核心思想总结

-**化归思想**：将复杂问题转化为基本函数求导的简单组合。

-**结构化思维**：通过函数嵌套层次分析，明确求导顺序和对象。

-**符号运算能力**：熟练处理微分符号\(dy/dx\)、\(dy/du\)等的运算关系。板书设计①核心概念和公式

-重点知识点：链式法则

-词、句：dy/dx=dy/du*du/dx

-词、句：复合函数y=f(g(x))

-词、句：中间变量u=g(x)

-词、句：外函数y=f(u)

②求导步骤和方法

-重点知识点：四步法

-词、句：拆分（识别外层和内层函数）

-词、句：求导（计算dy/du和du/dx）

-词、句：相乘（将两导数相乘）

-词、句：回代（用g(x)替换u）

③典型例题和易错点

-重点知识点：例题y=(3x+1)²

-词、句：u=3x+1,dy/du=2u,du/dx=3

-词、句：结果dy/dx=6(3x+1)

-重点知识点：易错点

-词、句：漏乘内层导数

-词、句：混淆内外层函数

-词、句：符号错误（如三角函数导数）教学评价与反馈八、教学评价与反馈

1.课堂表现：学生能准确识别复合函数的内外层结构，回答链式法则定义时表述清晰，部分学生能主动提出求导过程中的疑问，如多重复合函数的分解顺序。

2.小组讨论成果展示：各小组能正确拆分函数层次（如y=ln(cos(2x))），展示求导步骤时注重符号运算规范性，部分小组提出链式法则与四则运算结合的变式问题。

3.随堂测试：基础题正确率达85%，学生能独立完成y=(x³+2)⁴等求导；变式题（如y=e^{sinx}）约70%学生正确，主要错误集中在内层导数漏乘；综合题（如y=√(lnx)）正确率约50%，需强化复合层次分析。

4.课后任务反馈：教材习题完成度高，拓展题y=sin(lnx)中65%学生能正确应用两次链式法则，反映出学生对法则的迁移能力有待提升。

5.教师评价与反馈：整体教学目标达成良好，学生对链式法则的数学本质理解到位，但需加强符号运算的严谨性训练，后续教学中增加复合函数求导的分层练习。典型例题讲解九、典型例题讲解

1.例题：求函数\(y=(2x-1)^3\)的导数。

解：设\(u=2x-1\)，则\(y=u^3\)。

\(\frac{dy}{du}=3u^2\)，\(\frac{du}{dx}=2\)，

所以\(\frac{dy}{dx}=3u^2\cdot2=6(2x-1)^2\)。

2.例题：求函数\(y=e^{3x}\)的导数。

解：设\(u=3x\)，则\(y=e^u\)。

\(\frac{dy}{du}=e^u\)，\(\frac{du}{dx}=3\)，

所以\(\frac{dy}{dx}=e^u\cdot3=3e^{3x}\)。

3.例题：求函数\(y=\ln(x^2+1)\)的导数。

解：设\(u=x^2+1\)，则\(y=\lnu\)。

\(\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}\)，\(\frac{du}{dx}=2x\)，

所以\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot2x=\frac{2x}{x^2+1}\)。

4.例题：求函数\(y=\cos(4x)\)的导数。

解：设\(u=4x\)，则\(y=\cosu\)。

\(\frac{dy}{du}=-\sinu\)，\(\frac{du}{dx}