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二、几个初等函数的带佩亚诺(peano)余项的第三节一、泰勒公式泰勒公式第四章麦克劳林(Maclaurin)公式科学出版社特点:一、泰勒公式以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x

的一次多项式科学出版社1.求

n

次近似多项式要求:故令则科学出版社2.余项估计令(称为余项),则有科学出版社科学出版社公式(1)称为的n

阶泰勒公式

.公式(2)称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.定理1（泰勒中值定理）阶的导数,时,有(1)其中(2)则当科学出版社公式(3)称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到(3)(4)当(4)式成立.时，科学出版社讨论:1)当n=0时,泰勒公式变为2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差科学出版社称为麦克劳林(Maclaurin)公式

.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林由此得近似公式科学出版社二、几个初等函数的带佩亚诺余项的麦克劳林公式其中麦克劳林公式科学出版社其中麦克劳林公式科学出版社麦克劳林公式类似可得其中科学出版社其中麦克劳林公式科学出版社已知其中因此可得麦克劳林公式科学出版社解:例1.求极限科学出版社例2.求解：当时，有用洛必达法则不方便

!从而科学出版社例3.求解:由于用泰勒公式将分子展到项,科学出版社证:由题设对例4.有且点科学出版社下式减上式,得令科学出版社泰勒公式在近似计算中的应用误差M为在包含0,x

的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数

n

和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数

n和误差限,确定公式中x

的适用范围.科学出版社例5.

计算无理数e的近似值,使误差不超过解:已知令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9

时上式成立,因此的麦克劳林公式为科学出版社注:

计算时要注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过总误差限为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.科学出版社例6.计算的近似值.解：所以因此科学出版社泰勒多项式逼近6422464224O科学出版社泰勒多项式逼近642246O4224科学出版社泰勒

(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.科学出版社麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:

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