突破与创新：数据包络分析交叉效率评价的改进路径探索

突破与创新：数据包络分析交叉效率评价的改进路径探索一、引言1.1研究背景与意义在当今复杂多变的社会经济环境下，各领域对决策单元（DMU）效率评价的准确性和全面性提出了极高要求。数据包络分析（DEA）作为一种强大的非参数效率评价方法，自1978年由Charnes、Cooper和Rhodes首次提出后，便迅速在金融、医疗、教育、物流等众多领域得到广泛应用。传统DEA模型（如CCR模型、BCC模型等）通过线性规划技术，在给定的输入输出指标体系下，计算决策单元的相对效率值，以此判断决策单元是否位于生产前沿面上。然而，传统DEA模型存在明显的局限性，它仅能将决策单元划分为有效或无效两类，无法对所有决策单元进行细致排序，且基于自评思想，决策单元拥有自主选择权系数的权利，这极易导致对自身有利指标被赋予过高权重，而对自身不利指标权重被压低甚至为零，从而使计算出的效率值存在虚高现象，无法真实、全面地反映决策单元的实际效率水平。为克服传统DEA模型的缺陷，交叉效率评价方法应运而生。交叉效率评价允许所有决策单元之间相互评价，将每个决策单元的自评和他评效率值进行综合，从而得到一个更具全面性和客观性的最终评价结果。这种方法能够对所有决策单元进行全排序，有效解决了传统DEA模型中权系数过于极端和不现实的问题，在业绩评价、项目选择、决策单元排序等方面展现出强大的应用价值。例如，在供应链管理中，企业可运用交叉效率评价方法评估供应商的效率和生产力，以此为依据选择更优质的合作伙伴；在教育领域，通过该方法可以评估学校和教育机构的教育质量，帮助学生做出更合适的教育选择。然而，现有交叉效率评价方法并非尽善尽美，依然存在诸多亟待解决的问题。由于传统DEA模型常出现多重最优解，导致交叉效率也频繁出现不唯一性问题，这使得评价结果的稳定性和可靠性大打折扣。在对交叉效率矩阵进行集结以确定各决策单元最终交叉效率值时，传统的简单算术平均方法过于粗糙，平均交叉效率值并非帕累托最优，无法为决策者提供精准有效的决策依据，难以助力决策者提出切实可行的改进决策单元效率的方案。此外，现实中决策单元之间的关系错综复杂，可能存在竞争、合作或竞争与合作并存的情况，但现有的交叉效率方法在很大程度上忽略了这些复杂关系，导致评价结果与实际情况存在偏差，无法充分满足实际应用的需求。鉴于数据包络分析交叉效率评价方法在理论和实践中存在的上述问题，对其进行改进研究具有重要的理论意义和实际应用价值。从理论层面来看，深入研究交叉效率评价的改进方法，有助于进一步完善数据包络分析理论体系，填补现有理论的空白和不足，为效率评价领域提供更坚实的理论基础，推动该领域的学术发展。在实际应用方面，改进后的交叉效率评价方法能够更精准、全面地评估决策单元的效率，为企业、政府部门等各类决策主体提供更具参考价值的决策依据。以企业为例，企业管理者可依据更准确的效率评价结果，合理配置资源、优化生产流程、制定科学的战略规划，从而提升企业的竞争力和经济效益；政府部门在制定公共政策、评估公共服务部门效率时，借助改进后的方法，能够更有效地分配公共资源，提高公共服务质量，促进社会的公平与发展。对数据包络分析交叉效率评价的改进方法研究迫在眉睫，势在必行。1.2国内外研究现状数据包络分析交叉效率评价方法自提出以来，一直是国内外学者研究的热点，在理论拓展和实际应用方面都取得了丰硕成果。国外学者在DEA交叉效率评价方法的研究起步较早。1988年，Sexton等人首次提出交叉效率评价的概念，通过构建交叉效率矩阵，将决策单元的自评和他评相结合，实现对所有决策单元的排序，为交叉效率评价方法的发展奠定了基础。此后，众多学者围绕交叉效率评价方法的完善与拓展展开研究。在解决交叉效率不唯一性问题上，Liang等人提出了超效率交叉效率模型，该模型在传统交叉效率模型的基础上，将有效决策单元排除在参考集之外进行再次评价，从而有效区分了有效决策单元之间的效率差异，一定程度上提高了交叉效率值的唯一性。在考虑决策单元之间复杂关系方面，Kao引入博弈理论，提出了博弈交叉效率模型，将决策单元看作博弈中的参与人，每个参与人在其他决策单元效率不受损害的情况下最大化自身的效率值，为处理决策单元之间的竞争与合作关系提供了新的思路。在交叉效率集结方法的改进上，Cook等人提出了基于距离的交叉效率集结方法，通过计算决策单元之间的距离来确定权重，相较于传统的简单算术平均方法，能够更合理地集结交叉效率值。国内学者对DEA交叉效率评价方法的研究虽然起步相对较晚，但发展迅速，在理论研究和实际应用方面都取得了显著进展。在理论研究方面，吴杰等人针对传统交叉效率评价方法存在的交叉效率不唯一性和不合理权重问题，基于偏移量视角，引入不同的二次目标函数拓展传统交叉效率模型，提出了多个具有不同效率评价准则的模型，以适应不同的应用环境。在博弈交叉效率研究领域，国内学者也有深入探索，如提出基于帕累托改进的交叉效率评价方法，通过构建帕累托最优性检验模型和交叉效率帕累托改进模型，对决策单元的交叉效率值进行检验和改进，以达到帕累托最优解。在交叉效率集结方法的创新上，国内学者从多属性决策、合作博弈等不同角度出发，提出了一系列新方法，如基于距离熵的交叉效率集结模型，通过计算距离熵来确定权重，使交叉效率集结结果更具合理性；结合合作博弈理论，利用Shapley值和核子解确定决策单元在最终评价中的权重，进一步完善了交叉效率集结方法。尽管国内外学者在数据包络分析交叉效率评价方法的研究上取得了诸多成果，但目前仍存在一些不足之处。在交叉效率不唯一性问题的解决上，现有方法虽然在一定程度上有所改善，但尚未找到完全有效的解决方案，评价结果的稳定性和可靠性仍有待进一步提高。在交叉效率集结方法方面，虽然提出了多种改进方法，但各种方法之间缺乏系统性的比较和整合，难以确定在不同应用场景下最适宜的方法。对于决策单元之间复杂多变的关系，如动态变化的竞争与合作关系，现有研究还不够深入，无法充分满足实际应用中对决策单元效率全面、准确评价的需求。未来，需要进一步加强对这些问题的研究，推动数据包络分析交叉效率评价方法的不断完善和发展。1.3研究方法与创新点为深入研究数据包络分析交叉效率评价的改进方法，本研究综合运用多种研究方法，从不同角度对该问题展开全面剖析。在研究过程中，文献研究法是基础。通过广泛查阅国内外相关文献，梳理数据包络分析及交叉效率评价方法的发展脉络，了解该领域的研究现状、热点和难点问题。对传统DEA模型、交叉效率评价方法的基本原理、已有改进方法等进行系统学习和分析，为后续研究提供坚实的理论基础。例如，通过研读Sexton等人首次提出交叉效率评价概念的文献，深入理解其方法的核心思想和初始构建逻辑；对Liang等人提出的超效率交叉效率模型、Kao的博弈交叉效率模型等相关文献的研究，掌握现有改进方法的优势与不足，明确本研究的改进方向。案例分析法是本研究的重要手段之一。选取多个具有代表性的实际案例，如不同行业的企业效率评价、公共服务部门的绩效评估等，将改进后的交叉效率评价方法应用于这些案例中。通过实际案例的分析，一方面验证改进方法的有效性和可行性，另一方面从实践中发现问题，进一步完善改进方法。以某制造企业对供应商的效率评估为例，运用改进后的交叉效率评价方法，分析各供应商在多输入多输出指标下的相对效率，与传统方法的评估结果进行对比，观察改进方法在实际应用中的效果，如是否能更准确地识别出优质供应商，是否能为企业的采购决策提供更有价值的信息等。对比分析法贯穿于整个研究过程。将改进后的交叉效率评价方法与传统DEA模型、现有的交叉效率评价方法进行对比。从多个维度进行比较，包括评价结果的准确性、稳定性、对决策单元排序的合理性，以及计算过程的复杂性等。通过对比分析，清晰地展示改进方法的优势和创新之处，为该方法在实际中的推广应用提供有力支持。例如，在对决策单元进行排序时，对比传统简单算术平均交叉效率方法与本研究提出的基于多属性决策或合作博弈理论的交叉效率集结方法，观察哪种方法能使排序结果更符合实际情况，更能反映决策单元之间的真实效率差异。本研究的创新点主要体现在以下几个方面。在改进维度上，突破以往单一角度改进的局限，从多个维度对交叉效率评价方法进行综合改进。针对交叉效率不唯一性问题，从模型构建、目标函数设定等多方面入手，提出创新性的解决方案；在交叉效率集结方法上，融合多属性决策、合作博弈等多种理论，开发新的集结模型和算法，提高集结结果的合理性和有效性；在考虑决策单元关系方面，深入研究决策单元之间复杂多变的竞争与合作关系，建立能更准确反映这些关系的效率评价模型，使评价结果更贴近实际情况。在理论融合方面，本研究创新性地将多种不同理论有机融合到交叉效率评价方法的改进中。将博弈理论与交叉效率评价相结合，构建基于博弈思想的交叉效率模型，充分考虑决策单元之间的策略互动和利益博弈；引入多属性决策理论，改进交叉效率的集结方法，从多个属性的角度综合考虑决策单元的效率，使评价结果更具全面性和科学性。这种多理论融合的方式，为数据包络分析交叉效率评价方法的改进提供了全新的思路和方法，丰富了该领域的理论研究成果。二、数据包络分析交叉效率评价理论基础2.1数据包络分析（DEA）基本原理数据包络分析（DataEnvelopmentAnalysis，DEA）是一种基于相对效率概念，以凸分析和线性规划为工具的多投入多产出效率评价方法。该方法由著名运筹学家A.Charnes、W.W.Cooper和E.Rhodes于1978年首次提出，其核心思想是通过构建生产前沿面，将每个决策单元（DecisionMakingUnit，DMU）与前沿面进行比较，从而确定其相对效率。DEA方法的基本模型包括CCR模型和BCC模型。CCR（Charnes-Cooper-Rhodes）模型由Charnes、Cooper和Rhodes提出，它基于规模报酬不变（ConstantReturnstoScale，CRS）的假设，用于评价决策单元的技术效率和规模效率的综合效率。假设有n个决策单元，每个决策单元有m种输入和s种输出，对于第j_0个决策单元，其CCR模型的线性规划形式如下：\begin{align*}\max_{u,v}&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{r}y_{rj_0}}{\sum_{i=1}^{m}v_{i}x_{ij_0}}\\s.t.&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{r}y_{rj}}{\sum_{i=1}^{m}v_{i}x_{ij}}\leq1,\j=1,2,\cdots,n\\&u_{r}\geq0,\r=1,2,\cdots,s\\&v_{i}\geq0,\i=1,2,\cdots,m\end{align*}其中，x_{ij}表示第j个决策单元的第i种输入量，y_{rj}表示第j个决策单元的第r种输出量，u_{r}和v_{i}分别为第r种输出和第i种输入的权重向量。通过求解上述线性规划问题，得到的目标函数值\theta_{j_0}即为第j_0个决策单元的效率值。当\theta_{j_0}=1时，表明该决策单元处于生产前沿面上，是DEA有效的，即同时实现了技术有效和规模有效；当\theta_{j_0}\lt1时，则表示该决策单元是非DEA有效的，存在投入冗余或产出不足的情况。然而，在实际生产过程中，规模报酬不变的假设往往难以满足，许多决策单元可能处于规模报酬可变（VariableReturnstoScale，VRS）的状态。为解决这一问题，Banker、Charnes和Cooper对CCR模型进行了扩展，提出了BCC（Banker-Charnes-Cooper）模型。BCC模型在CCR模型的基础上，引入了一个凸性约束\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}=1，用于分离技术效率和规模效率，从而可以单独评价决策单元的纯技术效率（PureTechnicalEfficiency，PTE）。BCC模型的线性规划形式为：\begin{align*}\max_{u,v,\lambda}&\sum_{r=1}^{s}u_{r}y_{rj_0}\\s.t.&\sum_{i=1}^{m}v_{i}x_{ij_0}=1\\&\sum_{r=1}^{s}u_{r}y_{rj}-\sum_{i=1}^{m}v_{i}x_{ij}\leq0,\j=1,2,\cdots,n\\&\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}=1\\&u_{r}\geq0,\r=1,2,\cdots,s\\&v_{i}\geq0,\i=1,2,\cdots,m\\&\lambda_{j}\geq0,\j=1,2,\cdots,n\end{align*}其中，\lambda_{j}为权重变量。通过求解BCC模型得到的效率值为纯技术效率值，若该值为1，则表示决策单元纯技术有效；同时，规模效率（ScaleEfficiency，SE）可通过CCR模型的效率值除以BCC模型的纯技术效率值得到，即SE=\frac{TE}{PTE}，其中TE为CCR模型的技术效率。当规模效率值为1时，说明决策单元处于最优规模状态；若小于1，则表示存在规模无效，可进一步判断是规模报酬递增还是递减，为决策单元调整生产规模提供依据。DEA方法在效率评价中具有独特的应用原理和显著优势。它无需事先设定生产函数的具体形式，避免了因函数设定不合理而导致的误差，能够充分考虑决策单元的多投入多产出特性，有效处理复杂的生产系统。在银行效率评价中，可将银行的员工数量、资本投入等作为输入指标，将贷款发放量、利润等作为输出指标，运用DEA模型评估银行的运营效率，找出相对有效的银行和存在改进空间的银行，为银行管理者优化资源配置、提高运营效率提供参考。在教育领域，DEA方法可用于评估学校的教育效率，通过分析学校的师资力量、教学设施投入等与学生的学业成绩、毕业率等输出指标之间的关系，判断学校的教育资源利用效率，为教育部门制定教育政策、合理分配教育资源提供决策支持。2.2交叉效率评价方法概述交叉效率评价方法的提出，是为了克服传统DEA模型在效率评价中的局限性。传统DEA模型基于自评思想，决策单元自行确定权重以最大化自身效率，这使得权重分配往往极端化，对自身有利指标赋予高权重，不利指标权重极低甚至为零，导致效率值虚高，无法真实反映决策单元的实际效率水平，且无法对所有决策单元进行全面排序。在这种背景下，1988年Sexton等人首次提出交叉效率评价方法，该方法允许决策单元之间相互评价，通过构建交叉效率矩阵，将自评和他评相结合，从而得到更全面、客观的效率评价结果，能够对所有决策单元进行全排序，有效弥补了传统DEA模型的不足。交叉效率评价方法的核心思想是，不仅考虑决策单元自身的输入输出数据来计算自评效率，还考虑其他决策单元对其的评价，即他评效率。具体而言，对于有n个决策单元的评价系统，在计算第i个决策单元的交叉效率时，使用第j个决策单元的最优权重向量来计算第i个决策单元的效率值，这样就得到了一个n\timesn的交叉效率矩阵E=(e_{ij})，其中e_{ij}表示第j个决策单元对第i个决策单元的评价效率值。通过这种方式，交叉效率评价方法充分考虑了决策单元之间的相互关系，使评价结果更加全面和准确。交叉效率评价方法的计算步骤较为系统和严谨。首先，对于每个决策单元DMU_j（j=1,2,\cdots,n），需要求解传统的DEA模型（如CCR模型或BCC模型），以确定其最优权重向量v_j^*和u_j^*。以CCR模型为例，对于第j个决策单元，其线性规划问题为：\begin{align*}\max_{u_j,v_j}&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{rj}y_{rj}}{\sum_{i=1}^{m}v_{ij}x_{ij}}\\s.t.&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{rj}y_{rk}}{\sum_{i=1}^{m}v_{ij}x_{ik}}\leq1,\k=1,2,\cdots,n\\&u_{rj}\geq0,\r=1,2,\cdots,s\\&v_{ij}\geq0,\i=1,2,\cdots,m\end{align*}求解该线性规划问题，得到第j个决策单元的最优权重向量v_j^*和u_j^*。接着，利用得到的最优权重向量，计算交叉效率矩阵。对于任意两个决策单元DMU_i和DMU_j，交叉效率e_{ij}的计算公式为：e_{ij}=\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{rj}^*y_{ri}}{\sum_{i=1}^{m}v_{ij}^*x_{ii}}通过上述公式，依次计算所有决策单元之间的交叉效率值，从而构建出n\timesn的交叉效率矩阵E=(e_{ij})。最后，对交叉效率矩阵进行集结，以确定每个决策单元的最终交叉效率值。常见的集结方法有简单算术平均法，即将交叉效率矩阵中每一行的元素进行算术平均，得到每个决策单元的平均交叉效率值\overline{e}_i=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}e_{ij}，i=1,2,\cdots,n。然而，简单算术平均法存在一定局限性，近年来学者们也提出了如基于距离熵、合作博弈理论等多种改进的集结方法，以提高集结结果的合理性和有效性。交叉效率评价方法与传统DEA模型存在显著区别。在评价视角上，传统DEA模型是基于自评的单视角评价，仅依据决策单元自身的输入输出数据确定权重并计算效率值；而交叉效率评价方法则融合了自评和他评，从多个视角全面考虑决策单元的效率，使评价结果更具客观性和全面性。在决策单元排序能力方面，传统DEA模型只能将决策单元划分为有效和无效两类，无法对所有决策单元进行细致排序；交叉效率评价方法通过构建交叉效率矩阵并进行集结，可以对所有决策单元进行全排序，为决策者提供更丰富的决策信息。在权重确定方式上，传统DEA模型中决策单元的权重由自身决定，易出现极端权重；交叉效率评价方法在计算交叉效率时，使用其他决策单元的最优权重，在一定程度上避免了极端权重问题，使权重分配更加合理。2.3交叉效率评价方法的优势与应用领域交叉效率评价方法相较于传统DEA模型，具有显著的优势。它能对所有决策单元进行全面排序。传统DEA模型仅能将决策单元划分为有效和无效两类，对于众多处于有效状态的决策单元，无法进一步区分其效率高低，难以满足实际决策中对决策单元精细比较的需求。而交叉效率评价方法通过构建交叉效率矩阵，综合考虑自评和他评效率，能够对所有决策单元进行全排序，为决策者提供更详细、全面的决策单元效率信息。在对多家商业银行的效率评价中，传统DEA模型可能会将多家银行判定为有效，但交叉效率评价方法可以根据交叉效率值的大小，对这些银行进行细致排序，帮助银行管理者清晰了解自身银行在行业中的效率位置，发现与其他银行的差距，从而有针对性地制定改进策略。交叉效率评价方法有效解决了权重极端问题。传统DEA模型基于自评思想，决策单元可自行确定权重，这极易导致权重分配不合理，对自身有利的指标被赋予过高权重，而对自身不利的指标权重被压低甚至为零，使得计算出的效率值不能真实反映决策单元的实际效率。交叉效率评价方法在计算他评效率时，使用其他决策单元的最优权重，避免了单个决策单元对权重的过度操控，使权重分配更加合理，计算出的效率值更能反映决策单元的真实效率水平。在对高校科研效率的评价中，若采用传统DEA模型，某些高校可能会给科研成果数量等对自身有利的指标赋予极高权重，而对科研投入成本等不利指标权重设置过低，导致效率值虚高。交叉效率评价方法通过引入其他高校的权重，能更客观地评价各高校的科研效率，避免这种权重极端化带来的评价偏差。交叉效率评价方法凭借其独特优势，在多个领域得到广泛应用。在金融领域，该方法常用于银行效率评估。通过对银行的资本充足率、资产质量、流动性等多种输入指标，以及盈利能力、市场份额等输出指标进行综合分析，交叉效率评价方法可以全面评估银行的运营效率和竞争力。帮助银行管理者识别自身的优势和不足，优化资源配置，提高运营效率；也为监管部门制定监管政策、投资者选择投资对象提供重要参考。在对不同类型商业银行的效率评价中，运用交叉效率评价方法，能够清晰地比较国有商业银行、股份制商业银行和城市商业银行之间的效率差异，为银行的战略调整和监管部门的政策制定提供依据。在医疗领域，交叉效率评价方法可用于医院绩效评估。将医院的医护人员数量、医疗设备投入、药品消耗等作为输入指标，将患者治愈率、患者满意度、病床周转率等作为输出指标，通过交叉效率评价，能够全面、客观地评估医院的医疗服务质量和运营效率。帮助医院管理者发现管理中的问题，合理调配资源，提高医疗服务水平，为患者提供更好的医疗服务。在对某地区多家医院的绩效评价中，利用交叉效率评价方法，不仅可以找出效率较高的医院作为行业标杆，还能分析效率较低医院存在的问题，如资源浪费、服务流程不合理等，为医院的改进提供方向。在教育领域，交叉效率评价方法有助于评估学校和教育机构的教育质量。以教师数量、教学设施投入、教育经费等为输入指标，以学生的考试成绩、升学率、综合素质提升等为输出指标，通过交叉效率评价，能够对不同学校或教育机构的教育效率进行比较和排序。为教育部门制定教育政策、分配教育资源提供决策支持，也能帮助学生和家长选择更优质的教育机构。在对不同中学的教育质量评估中，交叉效率评价方法可以综合考虑学校的师资力量、教学资源投入以及学生的学习成果等多方面因素，为学生选择合适的中学提供参考，同时也促使学校不断改进教学方法，提高教育质量。三、传统数据包络分析交叉效率评价方法的问题剖析3.1交叉效率的不唯一性问题传统DEA模型在求解过程中，由于线性规划问题的特性，常常出现多重最优解的情况。这一现象直接导致基于传统DEA模型计算的交叉效率存在不唯一性问题，给决策单元的准确评价和排序带来了极大困扰。以CCR模型为例，在实际应用中，当存在多个决策单元且输入输出指标较为复杂时，线性规划问题可能存在多个解使得目标函数达到最优值。假设我们有三个决策单元A、B、C，输入指标为资本投入和劳动力投入，输出指标为产品产量和利润。在求解A的效率时，可能存在多组权重向量(v_1^*,u_1^*)、(v_2^*,u_2^*)、(v_3^*,u_3^*)等，都能使A的效率值最大化且达到相同的最优值。这就导致在计算交叉效率矩阵时，使用不同的最优权重向量计算得到的交叉效率值e_{ij}会有所不同。比如，当使用(v_1^*,u_1^*)计算B对A的评价效率值e_{AB1}，与使用(v_2^*,u_2^*)计算得到的e_{AB2}可能存在差异，从而使得交叉效率矩阵中的元素不唯一。交叉效率的不唯一性对决策单元的排序和评价结果产生了严重的不确定性。在实际决策中，决策者往往依赖交叉效率值对决策单元进行排序，以识别出相对效率较高和较低的单元，从而制定相应的决策策略。然而，由于交叉效率的不唯一性，当使用不同的交叉效率矩阵进行排序时，可能会得到不同的决策单元排序结果。这使得决策者难以确定决策单元的真实效率水平，无法准确判断哪些决策单元需要重点改进，哪些决策单元可以作为标杆进行学习和借鉴。在对多个供应商进行效率评价以选择优质合作伙伴时，如果由于交叉效率的不唯一性导致供应商的排序不稳定，企业可能会选择错误的供应商，从而影响企业的生产效率和产品质量。在对高校科研效率进行评价时，若存在交叉效率不唯一性问题，可能会出现某高校在一种交叉效率计算结果下排名靠前，而在另一种计算结果下排名大幅下降的情况。这不仅会影响高校对自身科研工作的正确评估，也会使教育部门在制定科研资源分配政策、评估高校科研绩效时面临困惑，无法做出科学合理的决策。交叉效率的不唯一性问题严重削弱了交叉效率评价方法的可靠性和有效性，亟待解决。3.2权重不合理问题在传统数据包络分析交叉效率评价方法中，权重不合理是一个较为突出的问题，这主要源于决策单元自评过程中对权重的主观操控。在传统DEA模型的自评模式下，决策单元为了最大化自身的效率值，往往会将对自身有利的指标赋予极高的权重，而对那些不利于提升自身效率的指标，权重则可能被设置得极低甚至为零。在对企业的生产效率进行评价时，若某企业在生产过程中，劳动生产率这一指标表现出色，而能源利用率较低，为了使自身的效率评价结果更优，该企业可能会在确定权重时，给予劳动生产率极高的权重，而大幅压低能源利用率指标的权重。这种主观操控权重的行为，使得权重分配严重偏离了各指标在实际生产或运营过程中的真实重要性，无法准确反映决策单元的实际投入产出关系，进而影响评价结果的客观性和可靠性。权重不合理对交叉效率评价结果产生了多方面的负面影响。它会导致决策单元的效率值虚高，无法真实反映其实际效率水平。在对高校科研效率进行评价时，一些高校可能会过度强调科研成果的数量，如论文发表数量、专利申请数量等，而忽视科研成果的质量以及科研投入的合理性。通过赋予科研成果数量高权重，这些高校在交叉效率评价中可能会获得较高的效率值，但实际上，其科研效率可能并不如评价结果所显示的那样理想，这种虚高的效率值会误导教育部门、科研管理机构等相关部门对高校科研实力的判断，影响科研资源的合理分配。权重不合理会使决策单元之间的比较失去公平性。由于各决策单元对权重的操控方式和程度不同，导致基于不同权重计算出的交叉效率值缺乏可比性。在对多个供应商进行效率评价时，不同供应商可能会根据自身的优势和劣势，对价格、交货期、产品质量等指标赋予不同的权重。有的供应商可能会因为自身产品价格较低，而将价格指标权重设置得很高；而另一些供应商可能因交货期准时，就重点突出交货期指标的权重。这样一来，最终计算出的交叉效率值并不能真实反映各供应商在同等标准下的效率差异，使得企业在选择供应商时难以做出科学合理的决策。权重不合理还会干扰决策者对决策单元改进方向的判断。合理的权重分配应能够准确反映各指标对决策单元效率的影响程度，从而为决策者提供明确的改进方向。然而，当权重不合理时，决策者可能会依据虚高的效率值和不合理的权重分配，错误地认为某些决策单元在所有方面都表现出色，无需改进；或者对那些效率值被低估的决策单元，无法准确找出其真正的问题所在，导致无法制定针对性的改进措施。在对医院的医疗服务效率进行评价时，如果因为权重不合理，使得一些医院在设备利用率指标上的权重被不合理压低，导致该医院的整体效率值被低估。决策者可能会忽视该医院在设备管理和利用方面存在的问题，而无法采取有效措施提高设备利用率，进而影响医院的整体运营效率和服务质量。3.3未考虑决策单元间复杂关系在现实世界中，决策单元之间并非孤立存在，而是存在着复杂多样的关系，如竞争、合作或竞争与合作并存的关系。然而，现有的数据包络分析交叉效率评价方法在很大程度上忽略了这些复杂关系，这使得评价结果难以全面、准确地反映决策单元的实际效率情况。在市场竞争环境下，企业之间往往存在激烈的竞争关系。同行业的企业在争夺市场份额、资源和客户时，彼此之间存在着相互制约和竞争的行为。以智能手机市场为例，苹果、三星、华为等手机制造商之间存在着激烈的竞争。它们在产品研发、技术创新、营销策略等方面展开竞争，投入大量的人力、物力和财力，以提高自身的竞争力，获取更多的市场份额。在这种竞争关系下，一个企业的效率提升可能会对其他企业产生负面影响，因为市场资源是有限的，一个企业获得更多的资源和市场份额，意味着其他企业可获取的资源和市场份额减少。然而，传统的交叉效率评价方法在计算效率时，并未充分考虑这种竞争关系对决策单元效率的影响，仍然采用常规的评价方式，这可能导致评价结果与实际情况存在偏差。传统方法可能会忽视企业在竞争环境下所付出的额外努力和面临的竞争压力，从而无法准确评估企业的真实效率。除了竞争关系，决策单元之间也可能存在合作关系。在供应链中，供应商、生产商、分销商和零售商之间通过合作实现资源共享、优势互补，共同提高整个供应链的效率。以汽车制造供应链为例，零部件供应商与汽车制造商紧密合作，供应商按时提供高质量的零部件，制造商专注于汽车的组装和生产，双方通过信息共享和协同运作，降低生产成本，提高产品质量和生产效率。在这种合作关系下，一个决策单元的效率提升往往会促进其他合作单元的效率提升。然而，现有交叉效率评价方法未能充分考虑这种合作关系所带来的协同效应，在评价过程中没有体现出决策单元之间因合作而产生的效率增益。这可能导致对参与合作的决策单元的效率评价偏低，无法真实反映它们在合作体系中的实际贡献和效率水平。决策单元之间还可能存在竞争与合作并存的复杂关系。在一些产业集群中，企业之间既存在竞争关系，在产品市场上争夺客户和份额；又存在合作关系，在技术研发、人才培养、基础设施共享等方面进行合作。以某高新技术产业园区为例，园区内的企业在核心技术研发上各自投入资源，相互竞争以取得技术领先优势；但在一些共性技术研发、公共服务平台建设等方面，企业之间会选择合作，共同分担成本和风险。在这种情况下，传统的交叉效率评价方法由于没有考虑到这种复杂的竞争与合作关系，很难准确衡量决策单元的综合效率。它无法区分决策单元的效率提升是来自自身的努力、竞争压力的推动，还是合作带来的协同效应，从而影响评价结果的准确性和决策的科学性。3.4平均交叉效率值方案的缺陷在传统的数据包络分析交叉效率评价方法中，平均交叉效率值方案是一种常用的确定决策单元最终效率值的方法，即通过对交叉效率矩阵中每一行的元素进行算术平均，得到每个决策单元的平均交叉效率值。这种方案存在明显的缺陷，在实际应用中会导致一些问题，影响评价结果的有效性和决策的科学性。平均交叉效率值方案中平均权重与效率值关联缺失。在计算平均交叉效率值时，简单地对交叉效率矩阵中的元素进行算术平均，没有充分考虑到不同决策单元对其他决策单元评价时所采用的权重的重要性和差异性。每个决策单元在评价其他决策单元时所使用的权重，反映了其对不同输入输出指标的重视程度和评价标准，这些权重包含了丰富的决策信息。在对企业的生产效率进行评价时，不同企业可能因为自身的生产特点和战略重点不同，对劳动力投入、资本投入、产品质量、产量等指标赋予不同的权重。在平均交叉效率值方案中，这些具有重要信息的权重被简单平均，使得平均权重与每个决策单元的实际效率值之间失去了紧密的关联。这就导致平均交叉效率值无法准确反映各决策单元在不同评价视角下的真实效率情况，无法为决策者提供有针对性的决策信息，难以帮助决策者找出决策单元效率高低的原因以及改进的方向。由于平均交叉效率值并非帕累托最优，难以提供有效的决策改进建议。帕累托最优状态是指在不使其他任何人境况变坏的情况下，不可能再使某些人的处境变好的一种资源配置状态。在交叉效率评价中，如果平均交叉效率值不是帕累托最优的，说明存在其他可能的效率值组合，能够在不降低其他决策单元效率的前提下，提高某些决策单元的效率。平均交叉效率值方案没有考虑到这种潜在的效率改进空间，无法为决策者提供关于如何优化决策单元效率的具体建议。在对多个供应商进行评价时，如果平均交叉效率值不是帕累托最优，企业无法从该结果中得知如何调整与供应商的合作策略，以提高整体供应链的效率；在对高校科研效率进行评价时，平均交叉效率值方案不能为高校管理者提供关于如何优化科研资源配置、提高科研产出的有效建议，不利于高校科研水平的提升。四、数据包络分析交叉效率评价的改进方法4.1基于二次目标函数拓展的改进方法4.1.1偏移量视角下的二次目标函数引入为有效解决传统数据包络分析交叉效率评价方法中存在的交叉效率不唯一性和不合理权重问题，基于偏移量视角引入不同的二次目标函数，对传统交叉效率模型进行拓展是一种创新且有效的途径。传统DEA模型在求解过程中，由于线性规划问题的特性，常出现多重最优解，进而导致交叉效率不唯一。而在确定权重时，决策单元为最大化自身效率，往往会赋予对自己有利的指标过高权重，使得权重分配不合理，影响评价结果的客观性和准确性。从偏移量视角出发，引入二次目标函数，能够为交叉效率评价提供新的准则和约束，使权重的确定更加合理，从而提高交叉效率值的唯一性和稳定性。一种常见的二次目标函数是基于加权投入或产出之间离差最小化的准则。在计算决策单元的效率时，不仅考虑输入输出的线性组合以最大化效率值，还考虑加权投入或产出之间的离差。通过引入一个二次项，如\sum_{i=1}^{m}(v_{i}x_{ij}-\overline{vx_{j}})^2（其中\overline{vx_{j}}为加权投入的均值），可以使决策单元在确定权重时，更加均衡地考虑各个输入指标，避免对某些指标赋予过高或过低的权重。这就好比在一场考试中，不仅要关注学生的总分（线性组合的效率值），还要关注各科成绩的均衡性（加权投入或产出的离差），这样才能更全面地评价学生的学习情况。在这种准则下，权重的分配更加合理，能够更准确地反映各指标在决策单元效率中的真实作用，从而使交叉效率值更具可靠性和稳定性。另一种基于满意度的二次目标函数也具有重要应用价值。在决策过程中，不同决策者对决策单元的效率可能有不同的期望和要求，即存在不同的满意度水平。通过引入基于满意度的二次目标函数，如\sum_{r=1}^{s}(u_{r}y_{rj}-\alpha_{r})^2（其中\alpha_{r}为决策者对第r种输出的满意度阈值），可以在效率评价中充分考虑决策者的主观偏好和满意度需求。在企业投资决策中，投资者可能对不同的投资回报指标有不同的期望，如对利润率、市场份额等有特定的满意度要求。通过这种二次目标函数，企业在评价投资项目的效率时，能够更好地满足投资者的需求，使评价结果更符合实际决策的需要。这种方法能够在一定程度上解决传统交叉效率评价方法中未考虑决策者偏好的问题，提高评价结果的实用性和决策支持价值。不同的二次目标函数代表了不同的效率评价准则，具有各自独特的应用场景。基于加权投入或产出离差最小化的二次目标函数，适用于需要强调指标均衡性的场景。在对高校科研效率进行评价时，不仅要关注科研成果的数量，还要关注科研成果在不同学科、不同研究方向上的均衡分布，以避免高校过度集中在某些热门领域进行研究，而忽视了其他领域的发展。此时，该二次目标函数可以使权重分配更加均衡，更全面地反映高校科研的综合实力。基于满意度的二次目标函数则更适用于对决策结果有特定偏好和要求的场景。在政府对公共服务部门的绩效评估中，政府可能对不同的服务指标有不同的满意度标准，如对教育部门的学生升学率、医疗部门的患者治愈率等有明确的期望。通过该二次目标函数，能够使绩效评估更贴合政府的管理需求，为政府制定政策、调整资源配置提供更有针对性的依据。4.1.2案例分析与效果验证为了深入验证基于二次目标函数拓展的改进方法在数据包络分析交叉效率评价中的实际效果，选取某行业的企业效率评价作为案例进行详细分析。假设我们选取了该行业的8家企业作为决策单元（DMU），并确定了3种输入指标（如资本投入、劳动力投入、原材料投入）和2种输出指标（如产品产量、利润）。首先，运用传统的交叉效率评价方法对这8家企业进行效率评价。按照传统方法的计算步骤，先求解每个企业的传统DEA模型（如CCR模型），确定其最优权重向量。对于企业1，通过求解CCR模型得到其最优权重向量v_1^*和u_1^*，进而计算出其他企业对企业1的交叉效率值e_{i1}（i=1,2,\cdots,8），最终构建出交叉效率矩阵。在这个过程中，由于传统DEA模型存在多重最优解，导致交叉效率矩阵中的元素存在不唯一性。在计算企业2对企业1的交叉效率值时，使用不同的最优权重向量计算得到的结果可能差异较大，这使得基于传统交叉效率矩阵的企业排序结果不稳定。在使用一组权重向量计算时，企业A的排名可能较为靠前，但使用另一组权重向量计算时，企业A的排名可能大幅下降。接着，运用基于二次目标函数拓展的改进方法对这8家企业进行评价。以基于加权投入离差最小化的二次目标函数为例，构建改进后的交叉效率模型。对于企业1，其改进后的交叉效率模型的线性规划问题为：\begin{align*}\max_{u_1,v_1}&\frac{\sum_{r=1}^{2}u_{r1}y_{r1}}{\sum_{i=1}^{3}v_{i1}x_{i1}}-\lambda\sum_{i=1}^{3}(v_{i1}x_{i1}-\overline{vx_{1}})^2\\s.t.&\frac{\sum_{r=1}^{2}u_{r1}y_{rj}}{\sum_{i=1}^{3}v_{i1}x_{ij}}\leq1,\j=1,2,\cdots,8\\&u_{r1}\geq0,\r=1,2\\&v_{i1}\geq0,\i=1,2,3\end{align*}其中，\lambda为调节参数，用于平衡效率最大化和加权投入离差最小化的目标。通过求解该改进后的模型，得到企业1的最优权重向量v_1^{**}和u_1^{**}，进而计算出其他企业对企业1的改进后的交叉效率值e_{i1}^{*}（i=1,2,\cdots,8），构建出改进后的交叉效率矩阵。对比传统方法和改进方法的评价结果，发现改进方法在多个方面具有显著优势。在交叉效率值的唯一性方面，改进方法有效减少了因多重最优解导致的交叉效率不唯一问题。在传统方法中，交叉效率矩阵中的元素可能存在较大波动，而改进方法计算出的交叉效率矩阵元素更加稳定，波动较小。在企业排序的稳定性方面，基于改进后的交叉效率矩阵对企业进行排序，结果更加稳定可靠。无论使用何种计算过程或参数调整，企业的相对排名变化较小，这为决策者提供了更具可信度的决策依据。在评价结果的合理性方面，改进方法考虑了加权投入或产出的均衡性，使得权重分配更加合理，能够更准确地反映企业的实际效率水平。一些在传统方法中因权重不合理而被高估或低估效率的企业，在改进方法中得到了更客观的评价。某企业在传统方法中因过度强调产品产量指标的权重，导致其效率值虚高，但在改进方法中，由于考虑了各输入指标的均衡性，该企业的效率值得到了合理调整，更真实地反映了其运营效率。通过该案例分析，充分验证了基于二次目标函数拓展的改进方法在数据包络分析交叉效率评价中的有效性和优越性。4.2权重平衡交叉效率模型4.2.1模型构建与原理阐述权重平衡交叉效率模型旨在解决传统交叉效率评价方法中存在的不合理权重问题，通过对加权投入或产出离差的控制，实现权重的合理分配，进而提升交叉效率评价结果的准确性和可靠性。该模型的构建思路基于对决策单元投入产出均衡性的考量。在传统交叉效率评价中，决策单元为追求自身效率最大化，常常赋予某些指标过高或过低的权重，导致评价结果不能真实反映决策单元的实际效率。权重平衡交叉效率模型引入了对加权投入或产出离差的约束，使得决策单元在确定权重时，需要综合考虑各个输入输出指标的均衡性。在对企业生产效率的评价中，不仅要关注产品产量、利润等输出指标，还要考虑资本投入、劳动力投入等输入指标的均衡利用，避免因过度侧重某一指标而忽视其他重要指标对效率的影响。从原理上讲，权重平衡交叉效率模型通过特定的数学机制来保证加权投入或产出之间的离差尽可能降低，从而有效减少极端权重的出现。具体而言，在计算决策单元的效率时，模型在传统的效率最大化目标函数基础上，增加了一个用于衡量加权投入或产出离差的惩罚项。对于有m种输入和s种输出的决策单元，假设输入权重向量为v=(v_1,v_2,\cdots,v_m)，输出权重向量为u=(u_1,u_2,\cdots,u_s)，第i种输入量为x_i，第r种输出量为y_r，则加权投入离差可以表示为\sum_{i=1}^{m}(v_{i}x_{i}-\overline{vx})^2，其中\overline{vx}为加权投入的均值；加权产出离差可以表示为\sum_{r=1}^{s}(u_{r}y_{r}-\overline{uy})^2，其中\overline{uy}为加权产出的均值。通过在目标函数中加入这些离差惩罚项，如\max_{u,v}\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{r}y_{r}}{\sum_{i=1}^{m}v_{i}x_{i}}-\lambda_1\sum_{i=1}^{m}(v_{i}x_{i}-\overline{vx})^2-\lambda_2\sum_{r=1}^{s}(u_{r}y_{r}-\overline{uy})^2（其中\lambda_1和\lambda_2为调节参数，用于平衡效率最大化和离差最小化的目标），决策单元在确定权重时，会受到离差约束的限制。这就促使决策单元不能过度偏向某些指标，而是要综合考虑所有指标的权重分配，以达到加权投入产出的均衡，从而减少极端权重的出现，使权重分配更加合理。这种权重分配方式能够更准确地反映各指标在决策单元效率中的真实贡献，进而提高交叉效率评价结果的可靠性和稳定性。4.2.2应用实例与结果分析为深入验证权重平衡交叉效率模型的有效性和优势，以高校科研效率评价为实例展开详细分析。选取了某地区的10所高校作为决策单元（DMU），并确定了4种输入指标，包括科研经费投入、科研人员数量、实验室设备价值和图书资料数量；以及3种输出指标，如论文发表数量、专利申请数量和科研成果获奖数量。首先，运用传统的交叉效率评价方法对这10所高校进行效率评价。在传统方法中，由于决策单元可以自由确定权重以最大化自身效率，导致出现了极端权重的情况。高校A在科研经费投入方面相对较少，但在论文发表数量上表现较好，为了提高自身的效率值，它可能会将论文发表数量指标的权重设置得极高，而大幅压低科研经费投入等指标的权重。这使得基于传统交叉效率评价方法计算出的高校A的效率值虚高，不能真实反映其科研效率水平。在构建交叉效率矩阵时，由于权重的不合理性，导致交叉效率矩阵中的元素也不能准确反映高校之间的真实效率关系。高校B对高校A的评价效率值，可能因为高校A不合理的权重设置，而无法准确体现高校A的实际科研能力。接着，运用权重平衡交叉效率模型对这10所高校进行评价。在该模型中，通过引入加权投入产出离差的约束，使得高校在确定权重时更加注重各指标的均衡性。高校A在考虑权重分配时，不能再单纯地将重点放在论文发表数量上，而是需要综合考虑科研经费投入、科研人员数量等所有输入指标，以及专利申请数量、科研成果获奖数量等输出指标。这使得高校A的权重分配更加合理，避免了极端权重的出现。在计算交叉效率矩阵时，由于权重的合理性得到了保障，交叉效率矩阵中的元素能够更准确地反映高校之间的真实效率关系。高校B对高校A的评价效率值，能够更客观地体现高校A在综合科研投入产出方面的实际能力。对比传统方法和权重平衡交叉效率模型的评价结果，发现权重平衡交叉效率模型在多个方面具有显著优势。在权重合理性方面，传统方法中出现的极端权重问题在权重平衡交叉效率模型中得到了有效解决，各高校的权重分配更加均衡，能够真实反映各指标在科研效率中的重要性。在评价结果的准确性方面，权重平衡交叉效率模型计算出的高校效率值更能反映高校的实际科研效率水平。一些在传统方法中因权重不合理而被高估或低估效率的高校，在权重平衡交叉效率模型中得到了更客观的评价。高校C在传统方法中由于对科研成果获奖数量指标权重设置过低，导致其效率值被低估，但在权重平衡交叉效率模型中，由于综合考虑了各指标的均衡性，其效率值得到了合理提升，更真实地反映了其科研实力。在决策单元排序的可靠性方面，基于权重平衡交叉效率模型得到的高校排序结果更加稳定可靠。无论采用何种计算过程或参数调整，高校的相对排名变化较小，这为教育部门、科研管理机构等相关部门制定政策、分配科研资源提供了更具可信度的决策依据。通过该高校科研效率评价实例，充分验证了权重平衡交叉效率模型在数据包络分析交叉效率评价中的有效性和优越性。4.3博弈理论在交叉效率评价中的应用4.3.1博弈交叉效率模型博弈交叉效率的概念是将决策单元视为博弈中的参与人，每个参与人在其他决策单元效率不受损害的情况下，通过策略选择来最大化自身的效率值。这种概念的提出，为解决交叉效率评价中决策单元之间的相互关系问题提供了新的视角。在一个包含多个企业的市场环境中，每个企业都希望在竞争中提升自身效率，同时又要考虑其他企业的反应，避免对整个市场造成过大冲击，影响自身和其他企业的利益。基于此概念，构建DEA博弈交叉效率模型。假设有n个决策单元DMU_1,DMU_2,\cdots,DMU_n，对于第i个决策单元DMU_i，其博弈交叉效率模型可表示为：\begin{align*}\max_{u_i,v_i}&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{ri}y_{ri}}{\sum_{j=1}^{m}v_{ij}x_{ij}}\\s.t.&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{rj}y_{rj}}{\sum_{j=1}^{m}v_{ij}x_{ij}}\geqe_{j}^0,\j=1,2,\cdots,n,j\neqi\\&u_{ri}\geq0,\r=1,2,\cdots,s\\&v_{ij}\geq0,\j=1,2,\cdots,m\end{align*}其中，e_{j}^0为第j个决策单元在当前博弈状态下已达到的效率值。该模型的约束条件确保了在提高DMU_i效率的同时，不会降低其他决策单元的现有效率水平。这就好比在一场足球比赛中，每个球队都希望自己得分更多，但又不能通过违规手段破坏其他球队的正常发挥，必须在公平竞争的规则下追求自身利益最大化。在这个博弈过程中，决策单元的策略就是选择合适的输入输出权重v_i和u_i，以实现自身效率的最大化。而均衡解则是指在所有决策单元都选择了各自的最优策略后，达到的一种稳定状态，此时任何一个决策单元都无法通过单方面改变策略来提高自身效率。这种均衡解也被证明是纳什均衡解，即在其他决策单元策略不变的情况下，每个决策单元的策略都是最优的。在企业竞争的例子中，当所有企业都根据市场情况和其他企业的策略，确定了自己的生产规模、产品定价、资源投入等策略后，市场达到一种相对稳定的状态，此时的企业策略组合就是博弈交叉效率模型的均衡解。通过求解该模型，可以得到每个决策单元在考虑其他决策单元影响下的博弈交叉效率值，从而更准确地评估决策单元的相对效率。4.3.2基于帕累托改进的交叉效率评价方法基于帕累托改进的交叉效率评价方法是对决策单元交叉效率值进行优化的重要手段，它通过构建帕累托最优性检验模型和交叉效率帕累托改进模型，致力于使决策单元的交叉效率值达到帕累托最优解，从而提升评价结果的质量和决策参考价值。帕累托最优性检验模型用于判断决策单元的一组给定交叉效率值是否为帕累托最优解。假设存在n个决策单元DMU_1,DMU_2,\cdots,DMU_n，对于给定的交叉效率矩阵E=(e_{ij})，其帕累托最优性检验模型可通过构建如下线性规划问题来实现：\begin{align*}\max_{u,v,\lambda}&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\lambda_{ij}(e_{ij}-e_{ij}^0)\\s.t.&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{r}y_{ri}}{\sum_{k=1}^{m}v_{k}x_{ki}}=e_{ij},\i=1,2,\cdots,n,j=1,2,\cdots,n\\&\sum_{i=1}^{n}\lambda_{ij}=1,\j=1,2,\cdots,n\\&\sum_{j=1}^{n}\lambda_{ij}=1,\i=1,2,\cdots,n\\&\lambda_{ij}\geq0,\i=1,2,\cdots,n,j=1,2,\cdots,n\\&u_{r}\geq0,\r=1,2,\cdots,s\\&v_{k}\geq0,\k=1,2,\cdots,m\end{align*}其中，e_{ij}^0为给定的交叉效率值。如果该线性规划问题的最优目标函数值为0，则说明给定的交叉效率值e_{ij}^0是帕累托最优解；反之，如果最优目标函数值大于0，则表明存在其他的交叉效率值组合，能够在不降低其他决策单元效率的前提下，提高某些决策单元的效率，即当前的交叉效率值不是帕累托最优解。这就如同在资源分配中，如果一种分配方案使得任何人都无法在不损害他人利益的情况下获得更多利益，那么这种分配方案就是帕累托最优的；反之，如果还存在改进的空间，就需要进一步调整。当通过帕累托最优性检验模型发现给定的交叉效率值不是帕累托最优解时，就需要运用交叉效率帕累托改进模型对其进行改进。该模型通过对决策单元的权重进行调整，在不降低其他决策单元效率的基础上，尽可能提高当前决策单元的效率。具体而言，对于第i个决策单元，其交叉效率帕累托改进模型可表示为：\begin{align*}\max_{u_i,v_i}&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{ri}y_{ri}}{\sum_{j=1}^{m}v_{ij}x_{ij}}\\s.t.&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{rj}y_{rj}}{\sum_{j=1}^{m}v_{ij}x_{ij}}\geqe_{j}^0,\j=1,2,\cdots,n,j\neqi\\&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{ri}y_{ri}}{\sum_{j=1}^{m}v_{ij}x_{ij}}\geqe_{i}^0+\epsilon\\&u_{ri}\geq0,\r=1,2,\cdots,s\\&v_{ij}\geq0,\j=1,2,\cdots,m\end{align*}其中，e_{j}^0和e_{i}^0分别为第j个和第i个决策单元当前的交叉效率值，\epsilon为一个极小的正数，表示对第i个决策单元效率提升的最小幅度要求。通过求解该模型，得到新的权重向量u_i^*和v_i^*，进而计算出新的交叉效率值，实现对交叉效率值的帕累托改进。在企业生产效率评价中，如果发现当前的交叉效率值不是帕累托最优，通过交叉效率帕累托改进模型，可以调整企业的生产要素投入权重，在不影响其他企业效率的情况下，提高本企业的生产效率，从而使整个行业的效率配置更优。通过不断地进行帕累托最优性检验和交叉效率帕累托改进，最终可以使决策单元的交叉效率值达到帕累托最优解，为决策者提供更有效的决策依据。4.3.3竞争合作交叉效率模型在实际应用中，决策单元可能来自不同且具有竞争关系的系统，为了更准确地评估这些决策单元的效率，考虑决策单元之间的竞争与合作关系，构建竞争合作交叉效率模型具有重要意义。该模型能够使决策单元在评价效率时，根据自身与其他决策单元的关系，采取不同的策略，以实现自身利益的最大化。竞争合作交叉效率模型的构建基于决策单元之间的竞争与合作关系。假设存在两个具有竞争关系的系统A和B，系统A中有决策单元DMU_{A1},DMU_{A2},\cdots,DMU_{An}，系统B中有决策单元DMU_{B1},DMU_{B2},\cdots,DMU_{Bm}。对于系统A中的决策单元DMU_{Ai}，其竞争合作交叉效率模型可表示为：\begin{align*}\max_{u_{Ai},v_{Ai}}&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{rAi}y_{rAi}}{\sum_{j=1}^{m}v_{jAi}x_{jAi}}+\alpha\sum_{k=1}^{n}\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{rAk}y_{rAk}}{\sum_{j=1}^{m}v_{jAk}x_{jAk}}-\beta\sum_{l=1}^{m}\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{rBl}y_{rBl}}{\sum_{j=1}^{m}v_{jBl}x_{jBl}}\\s.t.&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{rAk}y_{rAk}}{\sum_{j=1}^{m}v_{jAk}x_{jAk}}\geqe_{Ak}^0,\k=1,2,\cdots,n,k\neqi\\&\frac{\sum_{r=1}^{s}u_{rBl}y_{rBl}}{\sum_{j=1}^{m}v_{jBl}x_{jBl}}\geqe_{Bl}^0,\l=1,2,\cdots,m\\&u_{rAi}\geq0,\r=1,2,\cdots,s\\&v_{jAi}\geq0,\j=1,2,\cdots,m\end{align*}其中，\alpha和\beta为调节参数，分别表示决策单元对同系统内盟友和异系统敌对方的重视程度；e_{Ak}^0和e_{Bl}^0分别为系统A中第k个决策单元和系统B中第l个决策单元当前的效率值。在这个模型中，决策单元DMU_{Ai}在最大化自身效率的同时，会通过调整权重，尽可能提高同系统内盟友（即系统A中的其他决策单元）的效率。这是因为在竞争环境下，同系统内的决策单元之间存在一定的合作关系，它们共同面对来自其他系统的竞争，提高盟友的效率有助于增强整个系统的竞争力。在一个商业联盟中，联盟内的企业通过共享资源、合作研发等方式，提高彼此的生产效率和市场竞争力。同时，决策单元DMU_{Ai}会尽可能降低异系统敌对方（即系统B中的决策单元）的效率。这是因为在竞争关系下，敌对方效率的降低意味着自身在竞争中的优势增加。在市场竞争中，企业会通过价格战、技术封锁等手段，削弱竞争对手的效率和竞争力。通过这种方式，竞争合作交叉效率模型能够更真实地反映决策单元在竞争与合作并存的复杂环境下的效率情况，为决策者提供更符合实际的效率评价结果。4.3.4实际案例中的博弈交叉效率分析以企业市场竞争为例，运用博弈交叉效率相关模型进行深入分析，能够直观地展示这些模型在实际中的应用价值和有效性。假设在某一区域的家电市场中，存在三个主要的家电生产企业A、B、C，它们在市场中既存在竞争关系，又可能存在一定的合作机会，如在某些技术研发上的合作。为了评估这三个企业的效率，选取资本投入、劳动力投入、原材料投入作为输入指标，产品销售额、利润、市场份额作为输出指标。首先，运用传统的交叉效率评价方法对这三个企业进行评价。在传统方法中，每个企业在计算自身效率时，会根据自身利益最大化的原则确定权重。企业A可能会因为自身在产品研发投入较大，而将产品销售额和利润指标的权重设置得很高，以突出自身在技术创新带来的收益方面的优势。这就导致传统交叉效率评价结果可能无法准确反映企业在市场竞争中的真实效率。企业A的效率值可能会因为权重的不合理设置而被高估，无法体现其在其他方面（如成本控制、市场份额拓展）的不足。接着，运用博弈交叉效率模型进行评价。在博弈交叉效率模型中，企业A在确定权重时，不仅要考虑自身效率的最大化，还要考虑其他企业的效率不受损害。企业A会权衡自身的发展和对其他企业的影响，合理调整权重。如果企业A过度提高自身在产品销售额指标上的权重，可能会导致企业B和C的效率下降，从而引发市场竞争的加剧，对自身也不利。企业A会综合考虑各方面因素，使权重分配更加合理。在这种情况下，计算出的博弈交叉效率值能够更准确地反映企业在市场竞争中的实际效率。企业A可能会发现，虽然自身在产品研发上有优势，但在原材料采购成本控制方面存在不足，通过博弈交叉效率模型的分析，企业A可以更清晰地认识到自身的优势和劣势，从而有针对性地改进。再运用基于帕累托改进的交叉效率评价方法对结果进行优化。通过帕累托最优性检验模型发现，传统交叉效率评价得到的结果不是帕累托最优解。运用交叉效率帕累托改进模型对企业的交叉效率值进行改进。在改进过程中，以不降低其他企业效率为前提，尽可能提高每个企业的效率。对于企业B，通过调整其输入输出权重，在不影响企业A和C效率的情况下，提高企业B的利润和市场份额，从而使企业B的交叉效率值得到提升。经过帕累托改进后，三个企业的效率配置更加合理，为企业管理者制定决策提供了更有效的依据。企业管理者可以根据改进后的交叉效率值，合理调整企业的生产策略、资源配置等，提高企业的竞争力。在考虑企业之间的竞争合作关系时，运用竞争合作交叉效率模型进行分析。假设企业A和企业B在某一技术研发上有合作关系，而企业C是它们共同的竞争对手。在竞争合作交叉效率模型中，企业A在计算自身效率时，会考虑提高企业B的效率，同时降低企业C的效率。企业A会在权重设置上，适当提高与企业B合作相关的输出指标（如合作研发带来的技术成果转化为产品销售额的权重），以促进企业B在合作项目上的积极性，共同提高双方的竞争力。企业A会降低企业C在市场份额指标上的权重，以削弱企业C在市场竞争中的优势。通过这种方式，竞争合作交叉效率模型能够更全面地反映企业在复杂市场环境下的效率情况，为企业的战略决策提供更符合实际的参考。企业可以根据竞争合作交叉效率模型的分析结果，更好地制定合作策略和竞争策略，实现自身的可持续发展。通过这个实际案例分析，充分展示了博弈交叉效率相关模型在企业市场竞争效率评价中的应用价值和优势。4.4基于多属性决策的交叉效率集结与排序方法4.4.1基于距离熵的交叉效率集结模型从多属性决策的角度出发，基于距离熵的交叉效率集结模型为交叉效率值的集结提供了一种全新且有效的思路。在多属性决策中，每个决策单元在不同属性下的表现存在差异，如何合理地将这些不同的表现进行综合，以得到一个能全面反映决策单元真实效率的最终值，是关键问题。基于距离熵的交叉效率集结模型应运而生，它通过巧妙地计算距离熵来确定权重，从而实现对交叉效率值的科学集结。距离熵是信息论中的一个重要概念，它能够衡量不同决策单元之间的差异程度。在交叉效率评价中，不同决策单元对同一决策单元的评价效率值存在差异，这些差异反映了各决策单元在评价过程中的独特视角和侧重点。基于距离熵的交叉效率集结模型利用这些差异信息，通过计算距离熵来确定每个决策单元在集结过程中的权重。具体而言，对于有n个决策单元的评价系统，假设交叉效率矩阵为E=(e_{ij})，其中e_{ij}表示第j个决策单元对第i个决策单元的评价效率值。首先计算第i个决策单元与其他决策单元之间的距离，常用的距离度量方法有欧氏距离、曼哈顿距离等。以欧氏距离为例，第i个决策单元与第k个决策单元之间的距离d_{ik}可表示为：d_{ik}=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}(e_{ij}-e_{kj})^2}接着，根据距离计算距离熵。距离熵H_i的计算公式为：H_i=-\sum_{k=1}^{n}p_{ik}\lnp_{ik}其中，p_{ik}=\frac{d_{ik}}{\sum_{k=1}^{n}d_{ik}}，它表示第i个决策单元与第k个决策单元之间的距离在所有距离总和中所占的比例。距离熵H_i越大，说明第i个决策单元与其他决策单元之间的差异越大，其在集结过程中的权重就应该越大；反之，距离熵越小，权重越小。通过这种方式，基于距离熵的交叉效率集结模型能够充分考虑各决策单元之间的差异，使权重分配更加合理，从而得到更准确的交叉效率集结结果。与传统的简单算术平均方法相比，该模型不再是简单地对所有交叉效率值进行平均，而是根据决策单元之间的差异程度来确定权重，更能反映决策单元的实际效率情况。在对多个供应商进行效率评价时，基于距离熵的交叉效率集结模型可以根据各供应商在不同评价指标下的差异，为每个供应商的评价效率值赋予不同的权重，从而更准确地评估供应商的综合效率。4.4.2基于改进TOPSIS的交叉效率排序方法为了实现对决策单元的科学排序，基于改进TOPSIS（TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoanIdealSolution）的交叉效率排序方法提供了有效的解决方案。该方法通过构造优化模型直接计算出客观权重，克服了传统TOPSIS方法中权重确定主观性较强的问题，使排序结果更具可靠性和准确性。在运用基于改进TOPSIS的交叉效率排序方法时，首先需要构建优化模型来计算客观权重。假设有n个决策单元，每个决策单元有m个属性（即交叉效率值），设交叉效率矩阵为E=(e_{ij})，其中i=1,2,\cdots,n，j=1,2,\cdots,m。通过构建优化模型，如基于信息熵理论的优化模型，来确定每个属性的客观权重w_j。基于信息熵理论的优化模型中，信息熵H_j的计算公式为：H_j=-\frac{1}{\lnn}\sum_{i=1}^{n}p_{ij}\lnp_{ij}其中，p_{ij}=\frac{e_{ij}}{\sum_{i=1}^{n}e_{ij}}。然后，根据信息熵计算属性的权重w_j，权重计算公式为：w_j=\frac{1-H_j}{\sum_{j=1}^{m}(1-H_j)}通过这种方式计算得到的权重w_j，充分考虑了各属性（交叉效率值）所包含的信息，避免了主观因素的干扰，使权重分配更加客观合理。在确定客观权重后，基于改进TOPSIS的交叉效率排序方法按照以下步骤对决策单元进行排序。确定正理想解和负理想解。正理想解A^+是由每个属性的最大值组成的向量，负理想解A^-是由每个属性的最小值组成的向量。计算每个决策单元与正理想解和负理想解之间的距离。常用的距离度量方法为欧氏距离，第i个决策单元与正理想解A^+之间的距离d_i^+和与负理想解A^-之间的距离d_i^-分别为：d_i^+=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}w_j(e_{ij}-e_{j}^+)^2}d_i^-=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}w_j(e_{ij}-e_{j}^-)^2}其中，e_{j}^+和e_{j}^-分别为第j个属性的最大值和最小值。计算每个决策单元与正理想解的相对接近度C_i，公式为：C_i=\frac{d_i^-}{d_i^++d_i^-}C_i的值越大，说明该决策单元越接近正理想解，其效率越高。最后，根据相对接近度C_i对决策单元进行排序，C_i值越大的决策单元排名越靠前。在对多个投资项目进行效率评价和排序时，运用基于改进TOPSIS的交叉效率排序方法，能够根据各项目在不同方面的交叉效率值，客观地确定权重，并准确地计算出各项目与正理想解和负理想解的距离及相对接近度，从而对投资项目进行合理排序，为投资者的决策提供科学依据。4.4.3合作博弈理论在交叉效率权重确定中的应用合作博弈理论为交叉效率权重的确定提供了新的视角和方法。在交叉效率评价中，将决策单元看作合作博弈中的参与人，通过合作博弈理论可以更好地考虑决策单元之间的相互关系，从而确定更合理的交叉效率权重。结合合作博弈理论，首先需要定义各子联盟的特征函数值。子联盟是由部分决策单元组成的集