浙江省杭州市2025-2026学年高一数学上学期12月月考试题

85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据真数要大于0和集合交集的运算法则即可求解．【详解】，故．故选：D．2若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用三角函数同角基本关系式求得，然后利用诱导公式求解.【详解】解：因，所以，，所以，故选：B3.下列四个命题，其中为真命题的是（）第1页/共19页

A.若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数B.和表示同一函数C.函数的单调增区间为D.若函数的值域是，则实数或【答案】D【解析】【分析】对A，取进行说明，即判断正误；对B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对C，直接求出的增区间，即可判断正误；对D，利用二次函数的性质，结合条件得.【详解】对于A，取，易知在上是增函数，在上也是增函数，但在上不具有单调性，即不是增函数，所以A错误，对于B的值域为，的值域为和不表示同一函数，故B错误，对于C，因为，当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的单调增区间为，，故C错误，对于D，函数的值域是，又的对称轴为，图象开口向上，则，解得或，所以D正确，故选：D.第2页/共19页

4.已知函数，记，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，运用对数的运算，将三个自变量化简到内，最后利用单调性、奇偶性比较大小.【详解】因为函数，定义域为，而且所以为偶函数，因为时，在上单调递增；，因为，所以，所以，所以.故选：C.5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的单调性列不等式计算求解.【详解】二次函数的对称轴为，若二次函数在区间上单调递增，有，可得.第3页/共19页

若函数单调递增，有.若函数在上单调递增，有，可得故选：A.6.某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（）A.元B.元C.元D.元【答案】C【解析】【分析】设无盖贮水池的底面长为，宽为，列出总造价关于的关系式，利用基本不等式即可求解.【详解】设无盖贮水池的底面长为，宽为，又其深度为，容积为，所以，化简得，令池底面积为，则，解得，又池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元，池壁由四个侧面组成，面积为，又池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元，综上所述，水池的总造价为元，令，又，所以，根据基本不等式，可得，当且仅当，即时，取得最小值.故选：C第4页/共19页

7.已知正实数，，满足，则取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的方程别式求的范围.【详解】设，则，所以关于的方程在上有解，对于，其图象开口向上且对称轴，所以，只需，则，所以.故选：B8.已知定义在上的单调函数满足．若对的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】由题意得，为常数，则，从而（c），可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可．【详解】，且在上单调，，为常数，，第5页/共19页

，，在上单调递增，对，，使得成立，，又当时，，当时，，则，，，又，．故选：C．36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】ACD【解析】【分析】考查图像的平移变换和指对运算，依次分析求解即可.A，向左平移2个单位可以得到，所以选项A正确；对于B，假设，变形可得不存在a，b的值满足该式，所以选项B错误；对于C，，所以可以由向左平移个单位长度得到，所以选项C正确；对于D，，将的图象向上平移lg3个单位，可得的图象，所以选项D正确；故选:ACD第6页/共19页

10.已知，且，则（）A.的最小值为B.的最大值为2C.的最小值为D.的最小值为4【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式可判断A、B；妙用“1”可判断C；取特值可判断D.【详解】对于A，，，，则，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故错误；对于B，，，因，则，可得，当且仅当时等号成立，即的最大值为2，故B正确；对于C，，，，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故C正确；对于D，令，显然满足，而，所以的最小值不是4，D错误.故选：BC.设函数满足，，则下列结论正确的是（）A.B.的图象关于中心对称C.是函数的图象的一条对称轴第7页/共19页

D.【答案】AD【解析】称中心以及计算函数值的和等性质.【详解】对于A，令，代入等式可得.得到，开方后解得，所以A选项正确.对于B，令，则原等式变为.因为前面已求得，所以，即，移项可得.根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以B选项错误.对于C，令，原等式变为.由于，则，即.令，则，那么.根据周期函数的定义，所以是函数的一个周期.当，时，可得，可得，①；当时，可得②.由①+②可得，由于，所以，代入②式得到，由于，进而解得.令，原等式变为.因为，所以，移项可得.又因为，所以.根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心.第8页/共19页

因为是函数的一个周期，也是函数图象的一个对称中心，所以C选项错误.对于D，根据前面的分析，有，，，，且是函数的一个周期，所以.因为，所以，所以D选项正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知（且的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】把变形为，然后对和讨论，得出结果【详解】因为，所以，当时，，所以，当时，，所以，所以的取值范围是，故答案为：13.已知，则的值为______．【答案】【解析】第9页/共19页

【分析】先根据与的关系列式求得或，然后再利用辅助角公式和正弦函数值域得，即可求解.【详解】因为，且，所以，解得或，又，所以.故答案为：14.若函数的定义域为的取值范围是_________．【答案】【解析】、是关于的方程别式与韦达定理计算即可得.【详解】由，则有，故，且有在定义域内单调递增，则，，即，，令，，则，，则，，故是关于的方程的两不同非负根，则有，解得.第10页/共19页

故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），.（2）3【解析】1）直接根据三角函数的定义即可得解；（2）根据诱导公式将（1）中的结论代入即可.【小问1详解】由三角函数定义，得，.【小问2详解】由诱导公式，得原式.16.已知函数，其中.（1）求函数的单调区间和值域；（2）解关于的不等式.【答案】（1）增区间为，减区间为，值域为（2）【解析】1）根据对数型复合函数的单调性求单调区间，利用单调性求值域；第11页/共19页

（2）根据单调性转化为，分类讨论去掉绝对值号求解即可.【小问1详解】由，有，可得函数的定义域为，又由二次函数的增区间为，减区间为，当时，函数在上单调递增，可得函数的增区间为，减区间为.当时，，有，故函数的值域为.【小问2详解】当时，关于的不等式可为，可化为或.可得或，故关于的不等式的解集为.17.（单位：万件）的数据如下：元1234万件321.51.2为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：．（1）选择你认为最合适一种函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为第12页/共19页

，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？【答案】（1）最合适，（2）元．【解析】1）根据题意，结合给定的函数模型，代入验证，即可求解；（2）由成本与销量Q的关系为，列出不等式，结合不等式的解法，即可求解.【小问1详解】解：若选择模型，将代入可得，即，经验证，均不满足，故模型不合适．若选择模型，因为过点，所以模型不合适．若选择模型，将代入可得，即，经验证，，均满足，故模型最合适，且．【小问2详解】解：由成本与销量Q的关系为．要使生产的产品可以获得利润，则．因为，所以，即．因为，所以．故该产品的销售单价应该高于元．第13页/共19页

18.已知函数．（1）写出函数的单调区间；（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；（3）若，且，求的取值范围．【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是（2）或（3）【解析】1）由求解；（2）作出函数图象，利用数形结合法，由或求解；（3）易得，再由，得到，从而，然后由求解．【小问1详解】则的单调递增区间是，单调递减区间是，【小问2详解】第14页/共19页

函数在单调递减，在单调递增，故在的最小值为，同理，在的最小值为，故结合图象可得，函数有两个零点时需满足解得：．或解得：．综上所述：或．【小问3详解】由题意得：，则．且，则因为，所以，第15页/共19页

故．所以．又，则，故单调递增，所以单调递增，故．因此的取值范围为．19.已知函数，记（）.（1）若，解不等式：；（2的取值范围；（3）记（其中、，均有，求正数的最小值及此时、的值.【答案】（1）（2）（3）的最小值为，，【解析】1）由题意将不等式转化为，因式分解后即可得解；（2）将原方程有解转化在上有解，利用层层函数的单调性求得第16页/共19页

在上的值域，从而得解；（3在的最小值为，从而关于的不等式组，从而可得它们的值，再进行检验即可得解.【小问1详解】因为，，当时，，由，得，整理得，即，所以，即，故不等式解集为.【小问2详解】当时，，则，因为存在实数，使得成立，所以在上有解，整理得到在上有解，因为在上为增函数，则，而为增函数，则，而为减函数，则，所以的值域为，故.第17页/共1