四年级-数学笔记-下

亲爱的同学们，转眼间，四年级下学期的数学学习之旅已经开启。这学期的知识就像一座新奇的数学花园，里面有许多有趣的“宝藏”等待我们去发现。这份笔记将陪伴大家，把这些知识宝藏一一收入囊中，让我们一起努力，把数学学得更扎实、更有趣！一、大数的认识1.亿以内数的认识我们已经认识了万以内的数，这学期，我们要把“数位”的大家庭扩展到“亿”啦！*计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。比如，10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。*数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。比如，“万”所在的位置是“万位”，“亿”所在的位置是“亿位”。*数位顺序表：这是我们认识大数的重要工具，一定要熟记。从右往左数，依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位……*数级：为了方便读数，我们把数位进行分级，从右起每四位为一级，分别是个级（个位、十位、百位、千位）、万级（万位、十万位、百万位、千万位）、亿级（亿位、十亿位、百亿位、千亿位）……2.大数的读法读数的时候，要先分级，从最高级读起。*先读亿级，再读万级，最后读个级。*亿级和万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字或“万”字。*每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或者连续几个0，都只读一个0。小窍门：拿到一个大数，先别急着读，用铅笔在每四位之间画一条虚线分级，比如：2345678901，这样就清晰多啦！3.大数的写法写数的时候，也要从最高级写起。*先写亿级，再写万级，最后写个级。*哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0占位。注意：写数时，一定要看清数位，确保每个数字都写在正确的位置上，特别是各级中间或末尾的0，不能多写也不能少写。4.大数的大小比较比较两个数的大小，方法和以前学过的万以内数的比较方法类似：*位数不同时，位数多的数就大。*位数相同时，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直到比较出大小为止。5.大数的改写和求近似数*改写：有时候，为了读写方便，我们会把整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。*整万的数：把末尾的4个0去掉，加上一个“万”字。*整亿的数：把末尾的8个0去掉，加上一个“亿”字。*近似数：生活中很多时候，我们不需要知道准确的数，只需要一个大概的数，这就是近似数。通常用“四舍五入”的方法来求一个数的近似数。*要看省略的尾数部分的最高位上的数，如果小于5，就把尾数都舍去，改写成0；如果等于或大于5，就向前一位进1，再把尾数都舍去，改写成0。*求近似数时，一定要看清题目要求省略到哪一位，就看那一位后面的尾数的最高位。二、三位数乘两位数1.口算乘法*两位数乘一位数的口算：可以先把两位数分成整十数和一位数，分别与一位数相乘，再把积相加。例如：23×3=(20×3)+(3×3)=60+9=69。*几百几十数乘一位数的口算：可以先把几百几十数0前面的数与一位数相乘，再在积的末尾添上一个0。例如：230×3=23×3×10=69×10=690。*两位数乘整十数、整百数的口算：先把0前面的数相乘，再看两个因数的末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。例如：23×20=23×2×10=46×10=460。2.笔算乘法（三位数乘两位数）这是本学期计算的重点之一，步骤要记牢：*先用两位数个位上的数去乘三位数，得到一个积，积的末位要与两位数的个位对齐。*再用两位数十位上的数去乘三位数，得到另一个积，积的末位要与两位数的十位对齐。（因为十位上的数表示几个十，所以实际上是用这个数乘完后，结果要向左移一位，也就是末尾与十位对齐）*最后把两次乘得的积加起来。注意：*计算过程中，不要漏加进位的数字。*遇到因数中间有0的情况，也要用两位数的每一位去乘，0乘任何数都得0，如果有进位，要加上进位的数。*检查计算结果是否正确，可以交换两个因数的位置再乘一遍进行验算。3.积的变化规律探索积的变化规律，能帮助我们更灵活地进行计算和解决问题：*一个因数不变，另一个因数乘几（0除外），积也乘几。*一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几。小思考：如果两个因数都发生变化，积会怎么变呢？（例如，一个因数乘2，另一个因数乘3，积会乘2×3=6）4.解决问题运用三位数乘两位数的知识解决实际问题，如行程问题（路程=速度×时间）、购物问题（总价=单价×数量）等。关键是要认真审题，找出题目中的数量关系，再列式计算。三、除数是两位数的除法1.口算除法*整十数除整十数或几百几十数的口算：可以想乘法算除法，也可以把被除数和除数的末尾同时去掉一个0，再计算。例如：80÷20=？想：20×(4)=80，所以商是4；或者80÷20=8÷2=4。2.笔算除法（除数是两位数）这是本学期计算的另一个重点和难点，需要大家多练习！*试商：这是笔算除法的关键步骤。*把除数看作和它接近的整十数来试商。例如：143÷22，把22看作20来试商。*“四舍”法试商：当除数的个位数是1、2、3、4时，通常把除数个位上的数舍去，看作整十数试商。这时初商可能会偏大，需要调小。*“五入”法试商：当除数的个位数是5、6、7、8、9时，通常把除数个位上的数向十位进1，看作整十数试商。这时初商可能会偏小，需要调大。*计算步骤：1.从被除数的最高位除起，先用除数试除被除数的前两位。如果前两位比除数小，再试除前三位。2.除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面。3.每求出一位商，余下的数必须比除数小。*商的位数判断：*被除数的前两位大于或等于除数，商是两位数。*被除数的前两位小于除数，商是一位数。注意：*商的书写位置非常重要，除到哪一位，商就写在哪一位的上面。*每次除得的余数一定要比除数小。*遇到被除数的某一位上是0或者不够商1时，要在商的对应位上写0占位（商中间有0或商末尾有0的情况）。3.商的变化规律*除数不变，被除数乘几（0除外），商也乘几。*除数不变，被除数除以几（0除外），商也除以几。*被除数不变，除数乘几（0除外），商反而除以几。*被除数不变，除数除以几（0除外），商反而乘几。*被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。（这就是商不变的性质）4.解决问题运用除数是两位数的除法解决实际问题，如求一个数是另一个数的几倍，把一个数平均分成多少份等。要注意理解题意，选择合适的方法，有时还需要考虑“进一法”或“去尾法”来处理余数。四、平行四边形和梯形1.垂直与平行*同一平面内两条直线的位置关系：相交或平行。*平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。*相交：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。*画垂线：可以用三角尺或量角器来画。过直线上一点画这条直线的垂线；过直线外一点画这条直线的垂线。（点到直线的距离，垂线段最短）*画平行线：可以用直尺和三角尺来画。画已知直线的平行线；过直线外一点画已知直线的平行线。2.平行四边形*定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。*各部分名称：底、高。从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。*特性：容易变形（不稳定性）。生活中很多物体利用了它的这个特性，比如伸缩门、升降机。*特点：两组对边分别平行且相等；两组对角分别相等。3.梯形*定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。*各部分名称：上底、下底、腰、高。平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）。不平行的两边叫做梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。*特殊的梯形：*等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形同一底上的两个角相等。*直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。4.四边形之间的关系我们学过的四边形有：长方形、正方形、平行四边形、梯形、普通四边形。*长方形和正方形是特殊的平行四边形。（长方形是四个角都是直角的平行四边形；正方形是四条边都相等的长方形，也是特殊的平行四边形）*梯形只有一组对边平行，与平行四边形是不同的类型。五、条形统计图1.认识条形统计图*条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来。*特点：可以清楚地看出各种数量的多少，便于比较。2.条形统计图的分类*单式条形统计图：只表示一种事物数量的条形统计图。*复式条形统计图：可以同时表示两种或两种以上事物数量的条形统计图。（通常用不同颜色或条纹的直条来区分）3.绘制条形统计图的步骤*确定横轴和纵轴分别表示什么。*根据数据的大小，确定纵轴上一个单位长度表示多少数量。*根据数据画出长短不同的直条。*给统计图加上标题、图例（复式条形统计图需要），并在直条上标注数据。4.分析条形统计图能根据统计图中的数据回答问题，进行简单的分析和预测。六、数学广角——优化这部分内容主要是通过一些生活中的简单事例，让我们初步体会运筹思想在解决实际问题中的应用。*沏茶问题：合理安排时间，在等待的时间里可以做其他事情，从而节省总时间。关键是找出哪些事情可以同时做。*烙饼问题：要使烙饼的时间最短，每次尽可能让锅里放最多的饼（不超过锅