2025-2026学年重庆市复旦中学教共体高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市复旦中学教共体高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列函数求导正确的是（）A. B.（2x）′=2x

C.（sin2x）′=2sinx D.2.若f（x）=2x+1，则=（）A.2 B.1 C.4 D.03.函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A.y=f（x）在区间（-2，-1）上单调递减

B.y=f（x）在区间（-1，1）上单调递增

C.-3是函数y=f（x）的极大值点

D.-1是函数y=f（x）的极小值点

4.多项式（x+y+z）4展开式中，xyz2项的系数为（）A.12 B.24 C.48 D.965.已知函数f（x）=x3-ax在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.a≥3 B.a≥12 C.a≤3 D.a＜126.我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到H最后再到B处，则小红行走路程最近的路线共有（）条.A.10

B.12

C.13

D.14

7.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f′（x）＜f（x），则（）A.f（4）＞ef（3） B.f（4）＞e2f（2）

C.f（-4）＞e2f（-2） D.ef（-4）＞f（-3）8.已知直线y=kx+m为f（x）=ex的一条切线，将y=f（x）的图象向右平移e个单位，向上平移1个单位后仍与直线l相切，则km=（）A.1 B. C.0 D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的有（）A.3个人分7本相同的书，每人至少分1本，且书必须分完的不同方案总数是15种

B.若直线l是函数f（x）的切线，则直线l与函数f（x）只有一个交点

C.从5个男生和2个女生中选出2人当主持人，至少选到一个女生的不同方案总数是

D.对于函数f（x），g（x），h（x）满足[f（x）g（x）h（x）]′=f′（x）g（x）h（x）+f（x）g′（x）h（x）+f（x）g（x）h′（x）10.关于函数f（x）=x2ex，以下结论正确的是（）A.函数f（x）有两个极值点

B.f（x）的最小值为0

C.若方程f（x）=m有两个根，则或m=0

D.若x＜0，则f（x）＜f（1）11.将（a+b）n（n=0，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（）

A.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n

B.在“杨辉三角”中，记第n（n≥2）行的第n-1个数为a（n,n-1），则

C.在“谢尔宾斯基三角形”中，第2n-1-1（n=1，2，…）行全行都为黑色圆

D.在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=2f′（1）lnx+3x2，则f′（1）=

.13.980有

个不同的正因数.（用数字作答）14.已知函数，g（x）=ln（x+1）-ax,a∈R，若∀x1∈[1，e]，∃x2∈（0，2]，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数a的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知.

（1）求n的值；

（2）求|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的值.16.(本小题15分)

已知函数f（x）=x3+2ax2+a2x-3（a∈R）在x=-1处取得极小值.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在上的最值.17.(本小题15分)

解决下列问题

（1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤）

（2）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到1名医生和2名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤）

（3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释.（请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范）18.(本小题17分)

设函数f（x）=ln（x+1）-.

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）当x＞0时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记f（x）的最大值为g（a），若对任意的x∈（0，+∞），使得关于a的不等式g（a）＞lnx-mxex+x+1恒成立，求实数m的取值范围.19.(本小题17分)

泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当f（x）在x=0处的n（n∈N*）阶导数都存在时，它的公式表达式如下.注：f′（0）表示函数f（x）在原点处的一阶导数，f″（0）表示在原点处的二阶导数，以此类推，和fn（0）（n≥3）表示在原点处的n阶导数.

（1）求f（x）=ln（1+x）的泰勒公式（写到含x3的项为止即可），并估算ln1.1的值（精确到小数点后三位）；

（2）当x＞0时，比较ln（1+x）与的大小，并证明；

（3）设n∈N*，证明：.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】-6

13.【答案】18

14.【答案】

15.【答案】8

38-1

16.【答案】解：（1）函数f（x）=x3+2ax2+a2x-3在x=-1处取得极小值，

易知f′（x）=3x2+4ax+a2=（3x+a）（x+a），由题意可知x=-1是其一个变号零点，

即f′（-1）=（a-3）（a-1）=0⇒a=3或a=1，

当a=3时，f′（x）=3（x+1）（x+3），

此时x∈（-3，-1）时，f′（x）＜0，即f（x）单调递减，

x∈（-1，+∞），f′（x）＞0，即f（x）单调递增，故在x=-1处取得极小值，符合题意；

当a=1时，，

此时时，f′（x）＜0，即f（x）单调递减，

x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，即f（x）单调递增，故在x=-1处取得极大值，不符合题意；

综上a=3，此时f（x）=x3+6x2+9x-3；

（2）由上可知f（x）在（-4，-3）和上单调递增，在（-3，-1）上单调递减，

即x=-3时取得极大值f（-3）=-3，x=-1处取得极小值f（-1）=-7，

又，

所以f（x）在上的最大值为，最小值为-7．

17.【答案】960

108

用0，1，2，3，4，5六个数字排成一个六位数．

可以分步先排0的位置，除了最高位，剩下的5个位置选一个0去占，有种，

剩下的5个数，5个位置随便安排有种，根据分步计数原理，一共有种，

也可以先6个数全排列，有种排法，再去掉0占最高位的方法数，即．

同一个问题，结果一样，因此

18.【答案】x+2y-2ln2+1=0

当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）上单调递减

[1，+∞）

19.【答案】解：（1）因为，f″（x）=，f′′′（x）=，

所以f′（0）=1，f″（0）=-1，f′′′（0）=2，

又f（0）=0，所以f（x）=ln（1+x）的泰勒公式为：，

所以x=0.1时，ln1.1=0.1-+≈0.095．

（2）证明：0，

因为，

所以g（x）在（0．+∞）上单调递增，又g（0）=0，

所以x＞0时有，

所以．

（3