2023年浙江省台州市高考数学二模试卷

2023年浙江省台州市高考数学二模试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，句小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有••项是符合题目要求的.

1.(5分)已知复数z满足(1+i)z=l-i(i为虚数单位)，则z的虚部为()

A.1B.-1C.iD.-i

2.(5分)若.4=x\log2x<1,B=x|-1<r<1„则ADB=()

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,1)D.(1,2)

3.(5分)如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该

组合体体积为0

1

1

1

1

1

1

MIR』1k，-T--------〜

_______1__________1

__________

A.5立方米B.27r立方米C.华立方米D.羊立方米

VXLMW(0，1)对，色匕。V0,则函数f(x)可能为0

4.(5分)已知函数f(x)同时满足性质:①f(-x)=f(x)；②当

A.f(x)=x2=G)Cf(x)=cos4xD./(x)=/n(l-|x|)

5.(5分)已知公差不为零的等差数列a©满足：a2+a7=a,；+1,且—的成等比数列，则a2023=()

A-2023B.-2023C.0D噎

6.(5分)袋子中有大小相同的5个白球和5个红球，从中任取3个球,已知3个球中有白球，则恰好拿到2个红球的概率为()

4V呜C磊

7.(5分)已知菱形ABCD的边长为3,对角线BD长为5,将△A8D沿着对角线BD轴折至△A'BD,,使得线段A'C长为3,则异面直

线A'B与CD所成角的余弦值为0

A.-B.—C.-D.-

4499

笫1页/共18页

8.(5分)设函数./(x)=(x+2sinx)(2x+l),x6(0-+oo),KiJ()

A函教g(x)=f(x)-x有且仅有一个零点B对Va<0,Vb〉0,函数o(x)=f(x)-ax-b有且仅有一个零点

C.3m=R,|f(x)-2x|Wm恒成立D.3a,b,mWR.|f(x)-ax-bWm恒成立

二、多项选择题：木题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得2分，

有选错的得0分.

1.(5分;己知函数.f(x)=sin3x+)3)0,||V“)的锻小正周期为n,且图象经过点.。(0*),则0

A.3=2B.点(兀/3,0)为函数y=f(x)图象的对称中心C.宜线x=?为函数y=f(x)图象的对称袖

6

D.函数Mx)的单调增区间为卜〃—?的+：］,&eZ

2.(5分)已知a,b,ce(0,1),随机变量&的分布列为:

€123

Pabc

则0

A.E(C-2)=E(OB.D(C-2)=D(€)C.E«2)[E({)]2D.£>[(《-2为=。(己)

3.(5分)设抛物线C:y2=4x焦点为F,点D为抛物线C准线上的点,经过点P(m,0)的动直线1与抛物线C交于不同的两点A,B，其中坐标原

点为0，则0

A.若m=l,则/ADB>90°B.若m=3,则/ADB<90°C.若m=3,则/AFB>90°

D.若m=4,则NA0B=90°

4.(5分;高一某班级共有n行m列个座位，记为nxm.每周进行一次轮换，轮换规则如下：

①每一行轮换到下一行，最后一行轮换到第一行：

②从左到右，每一列轮换到相邻右边一列，最后一列轮换到左侧第一列.

例如，班级共有4X5个座位，则本周笫3行笫4列的同学，在下周一将轮换到第4行第5列的座位.现某班的座位形式为nXm,经过推演发现，如果一

直按这种轮换法，在高中三年内每一个学生都可以轮换到全班所仃座位，则nXm可能为。

A.4X6B.4X8C.5X6D.5X8

三、雄空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

L(5分;已知平面向量a=(2,m)花=(6—V2),若Z1X,则实数m=

第2员,共I8虱

2.（5分）已知椭圆C:^+卷=1（帅＞0）经过点（2,0）和（（1$,则椭圆C的离心率为.

3.（5分）若定义在R上的函数f（x）满足:vx,yeR,/a+y）+/（x-y）=2/（x）/（y）,且f（0）=l,,则满足上述条件的困数

f（x）可以为.（写出一个即可）

4.（5分）三棱锥D-ABC中,DC_L平面ABC,AB_LBC,AB=BC=CD=1,点P在三棱锥。-4BC外接球的球面上，且

乙4PC=60。“则DP的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.（1。分）在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,I）,c.已知（asinF=bcos（力-,bcosC=ccosB.

⑴求A的值；

⑵若点D为边BC上的一个点，且满足cos乙BAD=孑求△4BD与△力CD的面积之比.

2.（12分）向日葵是常见的一种经济作物，种子常炒制为零食食用，也可榨葵花籽油.但种植向日葵时会频繁地遇到空壳问题，其中

开花期大气湿度是导致向日葵空壳的一大主因.为找到向日葵空壳率与开花期大气湿度的关系，研究人员做了观察试验，结果如

下：

大气湿度X45%59%66%68%69%70%72%77%80%88%

空壳率y18%21%2S%2瑞26%29831%32%33%37%

（1）试求向日葵空壳率与大气湿度之间的回归直线方程：（回归直线方程的系数均保留两位有效数字）

飨3我/共18«

(2)某地大气湿度约为40%时，试根据(1)中的回归直线方程推测空壳率大约为多少？

附：经验回归方程系数：8=，2=5—近，x=0.69,y=0.28,£；方血•物=1.9951,

£::1*=4.9404.

3.(12分)已知二梭柱ABC-zli&Ci梭长均为1,且ACX=y,»Ci=1.

(1)求证：平面ABC工平而BCCiBi：

(2)求平面.48cl与平面ABC所成夹角的余弦值.

笫I贞/共1851

4.（12分）已知数列函bO满足：+2b]=l,an+1=-an--,2bn+1=-bn--.

4224

（D求记：数列a团+2bE）是等比数列：

（2）若_（从下列三个条件中任选•个），求数列（a回的前n项和SM.

circlela1—2b=1;circle2b=circleda-2b=1.

l2822

5.（12分）已知过点P（2.0）的直线。与双曲线C:J-y2=i的左右两支分别交于4、B两点.

（1）求直线。的斜率k的取值范围：

⑵设点Q（xo，y°）（诏工2环），过点Q且与直线匕垂直的直线12.,与双曲线C交TM、N两点,当直线h变化时,

|PA|・|P8|

―恒为一定值.求点Q的轨迹方程.

IQMWQNI

第5女/共I8克

6.(12分)已知A€R,a>0,设函数/(x)=e*-。-其中e为自然对数的底，e«2.71828.

⑴当a=l,"=轲，证明：函数1(x)任R上单调递增：

(2)若对任意正实数a,函数f(x)均有三个零点八,心,小,其中八VX2VX3.求实数k的取值范困，并证明x2+J3>4.

2023年浙江省台州市高考数学二模试卷(答案&解析)

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.解(l+i)z=l-i,

则z=3=尚匕=T其虚部为T.

故选B.

【解析】根据已知条件，结合划数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解.

2.解A={x|0<x<2);

/.AnB=(0,1).

故选:C.

【解析】可求出集合A,然后进行交集的运算即可.

3.解：由欺知底面圆的半径r=l,圆柱高儿=2,喇推高h2=

2

圆柱体枳%=nrhx=2n,

2

圆锥的体积V2=-nrh2=

该组合体体枳为V=匕+/二号(立方米).

6

故选:C.

【解析】由题知底面圆的半径为r=l,圆柱高k=2,圆锥高h2=：，代入I见柱、圆锥体积公式，能求出结果.

4.解①f「x)=f(x)说明f(x)为偶困数，circ/e2Vxi,小€(0,1),小让9<0,说明闲数在(0，1)上单调递减.

q一0

A不满足②,B不满足①，

C不满足②，因为£(、)=(:。5人在((0、)通调递减，在(单调递增.

对于D,满足①,当xe(0,l)J(x)=Zn(l-x),单调递减，也满足②.

故选：D.

【解析】①f(-x)=f(x)说明f(x)为偶函数，cir"e2Vx，,X2£(0，l),33<D,说明函数在(0,1)上单调递减，再逐项分析即可.

4一*2

第7页/共18页

5.解：设等差数列｛an｝的首项为ai,公差为d,则(az+a7=+12al+7d=a｛+7d+1.=

1,因为a；,ka戒等比数列，所以(a：=失%即(1+3d)2=(1+d)(l+7d),因为dWO,

所以d=l,

所以。2。23=S+(2023—1)xd=2023.

故选：A.

【解析】根据条件列出关于等差数列基本城的方程组，即可求解.

6.解：冈为取到的3个球中仃白球，所以共仃(=110种方法,3个球中恰

好有两个红球的取法只有(C就=SOH',设事件A=♦•取到的3个球中有白球，且恰好

有2个红球”,则P(A)=可

故选：A.

【解析】先求总的取球方法，再求恰好取到两个红理的方法，利用古典概率可得答案.

'D=CD=3,

所以7c-CD=（AOC+CD）2-AC2-CD2=AD2-A/f-cff=-9,因为CB=CD=3,BD=5,

2222

所以CBCD=CR-i-CD-（CB-CD）=+CD-DB=9+9-25=-7,

所以AIBCD=（AVC+CB）CD=AICCD+CB-CD=----=-8

即8s所西=儡备二言7

所以异面直线A'B与CD所成角的氽弦值为

故选:D.

笫8页/共18页

【解析】由题知A'C=A'D=CD=3.CB=CD=3,BD=5,先计算出CBCD.ATBCD,再利用公式cos(AIB>CD}=需总

算出两向量的夹角的余弦值，从而得出舁面直线A'B与CD所成角的余弦值.

8.解:对于A,g(x)=/(x)-x=宾+誓+2sinx令g(x)=0,得sinx+=0,

x(x

设^)=sinx+^,t(x)=^则展(x)2+\-x2+l')tn2l-xin2

("+1)2

易知，当0cx〈点时，t(x)>0,当x>2时，t(x)<0,

In2ln2

所以l(x)在(0，己)上递烟，在(2'+8)递减・所以t(x)<t=t(log2e)=<1,

所以0<7岛5W，所以入管+2k”)<0,h(2k〃)>O.k€N-

所以h(x)在(2kh]+2kjr)上有零点，即有无数个零点，故A错误：

对于B,/(0)=0,啕=《+2)(2-7+1]>0,f5)=31r+1)>0,

X

因为；+2>+1>2-+1,所以(0=/(0)<f6)J6)>/U)>0，

所以存在a<0,b>0,使得f(x)=ax+b布"两个交点故B错误：

对于C,x-+8时，f(x)-x,所以||/(x)-2X|T|-X|=XT+8,故C错误；

对于口，取(a=b=l,f(x)-x-l=|%+2sinx-l|C|!4|+|2sinx-lC|^l+|2sinx|+|2sinx-l|,

令d(x)=102X-x,则d'(x)=10x2*历2—1>0,所以d(x)在(0,+8)上递增，

所以d(x)〉d(0)=10,所以一:V10,所以|》+|甯|+|2sinx-l|<10+10+10=30,

故可取a=b=l,m=30,f(x)-axbI近m恒成立，掖D正确.

故选：D.

【解析】对于A,构造函数h(x)=sinx+元%，研究其单调性结合零点存在性定理即可解决；对于B,举特殊点的函数值结合零点存在性

定理即可解决：对于C,利用极限思想判断：对于D,构造函数结合绝对值三角不等式判断.

二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的用。分.

319JU/M18JH

L解：因为函数f(x)=sin(3x+)(s)0,||V》的最小正周期为JI,所以3=2,故AE确:

/(X)=sln{a)x+<p)=stn(2x+3),

图象经过点.D(0-1)r

则/(0)=sin=

故=三+2kn,k€Z,

6

又因为II<p

所以=7-

所以f(x)=sin(2x+g.

因为;■⑥二疝1二：故血误：

\3/6Z

因为/(彳)=sin：=1，

所以直线x=：为函数y=f(x)图象的对称轴，故C正确：

由-g+2kn<2x+77+2k%得-g+碗SxWg+krr,A€Z.

26236

故函数f(x)的单调增区间为卜"丁"&WZ,故D正确.

故选：ACD.

【解析】先求出f(x)的解析式,然后逐项分析验证即可.

2.解:因为E(12)=E(>2,所以A错,

因为D(，-2)=D(，)，所以B对,

22

因为0(X)=[x,-E(X))2小+[X2-E(X)]2P2+…+[xn-E(X)]pn=£^{[x,-£(X)]pJ.

n

S,.«叩-画*)尸，

所以Z>(f)=E(f2)-(E({)]2>0,所以£(铲)>但6)]2,所以C对,

2222

取a=Z>=c=l,^[(e-2)]=(l-2)xi+(2-2)xl+(3-2)xl=2,

D[(《-2)2]=(1-。x-+(0x-+(lx-=Ffe2)=lx-+4x-+9x-=-

.A2(XUV『3/XV14\23/121349294湖,3x,,3,3._

1)(r)=(1-r；+14-r-+^9-r—+-+—169=—=—5iD(4-2)2],所以1)错.

故选:BC.

2

【解杆】根据期望方差的相关公式E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=aD(X)t以及.D(X)=E&)-/⑶产判断ABC,再举特例判断D即

可.

第I0页/共I8Jl

3.解：根据即意可设1：x=ky+m,4(X1，力)、B(x2>y2),D(-l-r),

fx=Ary+m

联立12_皿，得V-软丫-4m=0,

则y>+y2=4k,yi-yz=-4m.

22

；・D_LA.DB=(%i+1)(>2+1)+(yi-0(X2-t)=(k+l)yiyz+(km+k-t)(y1+y2)+产+(rrn+1)

=(2fc-t)2+(m-l)2,

当m=l时，(2k-t)2+(m-l)220,当且仅当t=2k时，DA1DB,故A错误；

当*3时，(2k-t)2+(m-即DADS夹的小于直角，故B正确；

l)2>0,

X.FA.♦FB=(6-1)@2-1)+1/12/2=®+1)2/13/2+(Am-fe)(2/i+2/2)+(巾一l)2=(m-l)2-4m-4kJ,

当*3时，(m-1)2_4m-4k2=-8-即PAFB夹角大于直角，故CiE确：

4kz<0,

而222

4Off=xxx2+yxy2=(*+1)^^2+fcm|y1+y2)+m=m-4m

显然当E,NA0B=9Q°,故0正确.

故选：BCD.

【解析1利用直线与抛物线的位置关系，根据韦达定理计算即可判定.

第11页/共I8K

4.解：根据虺.意,依次分析选项：

从第，行第•列开始轮换，不能轮换到全班所有的座位，不符合题意:

1旅减原

*63大冬点％

对于C,如图3,

%%**%%3

从第一行第一列开始轮换，可以轮换到全班所有的座位，符合趣意:

对于D.如图4,丞嫌券大点弥工丞

£3冬冬%%%%%4

从第•行第一列开始轮换，可以轮换到全班所有的座位，符合题意.

故选:CD.

【解析】根据题意，依据“轮换规则”，依次分析选项中的持法是否符合睡窟，综合可得答案.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

»I2«/«18!«

L解因为；1Z,所以2(m-l)+2m=0,即

故答案为：］

2

【解析】利用向量数量积的坐标表示计算即可.

2.解：将两个点代入椭圆方程得：

故C2=I,。=1.

2

故答案为：~.

2

【解析】通过已知两个点求出椭圆方程即可得到离心率.

3.解令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(y),所以f(~y)=f(y),所以函数「(x)为偶函数,

可取f：x)=l,则f(x+y)=f(x-y)=f(x)=f(y)=l,

所以Vx,yWR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),

所以函数f(x)=l符合题意.

故答案为:f(x)=l(答案不唯一).

【解析】根据题意可得函数f(x)为偶函数，可取f(x)=l,在证明这个函数符合题意即可.

4.解:分别取AD、AC的中点0、M，连接0M、BM,WjOMlCD,由题意知0M_L平面ABC,

所以OMJ_AC,OM_LBV.

吁J闱+mV

所以RiZ\ACD斜边.AD=V3,.易知。为三陵锥D-ABC外接球球心，且半径

出13页，共】8页

3—»(1五\―f1Vz

设点P(X,y,z),则?+/+z:=-,PA=(一一-x，一--y*-zj,PC=(---x--y,-z,

由题意cx"C_鬲鬲一^f

/卜=沁「

整理得¥+T=I,可设出

93y=-sina

所以PD\=-x)+(当-y)+22=J,———、4y=g-gcosa+:-苧sin.

所以叩=b廊+(到3(Y)F皿(。+9消-

故答案为：-.

【解析】以0为坐标原点建立如图空间直角坐标系.点P(X,y.z),利用空间向量求出NAPC的余弦值,进而得到--+)=1,可设

x="cosa--

3g:再利用空间中两点间距尚公式求解.

y=-sina

四、解答题：本施共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

I.解：⑴因为asin8=8cos(A-。所以由正弦定理可得：sin^sinB=sinHcosM

在三角形△ABC中，A、B.CG(0.1),显然sinBXO,所以.sin4=cos(Z-；),

所以856一/1)=cos(A-］又因为:一Ae(-：)A-：e(-：叶)，

所以--A=A--或--4+4--=0(显然不成立)，所以.4=2；

26263

(2)因为bcosC=ccosB，所以sinBcosC=sinCcosB，即sin(B-C)=0.

在三角形中，B、Ce(0,n),AB-Ce(-n,x),所以B=C,所以b=c,

因为cos48Ao=*所以sin^BAD=

所以sin£CAD=sing-Z.BAD)=：

~,sn£BAD68b+6

所以-----=-p-=-----；

Sin£CAD4V3-313

所以由正弦定理得：ARBI)与△.△©)的面积之比为：

1(1\8>/3+6

-xABxADxsin^BAD)+(-xACxHDxsinz.CADj=—■—

【解析】(l)由正弦定理边化角即可:

(2)由正弦定理边化角，及三角形曲枳公式将曲枳比转化为用正弦之比即可.

£^Wxiyrk*y1-»51-10x0^9x0.28

2.解：(1)由已知得----------二=--------------=0.352a0.35.

E3吊一匹0404-10x0.69/

所以a=y-fix=0.28-0.352x0.69-0.04

所以回归直线方程为尸0.35xt0.04.

⑵由(1)如当大气湿度为40%时,空壳率约为0.35X0.4+0.04=0.18=18%.

第14页，共18典

【解析】（D代入相关已知数据计算即可，注意中间过程先保留3位有效数字，最后结果保留两位有效数字；（2）把10%代入回归方

程计算印可.

3.解：（1）证明：如图，取BC中点M,连接AV,CN,因为

△BCQ是等边三角形，所以（GM1BC,

2

又因为ACX=^,AM=MG=p则AM+MCI=AC1,所以乙4MG=*

所以C.M1AM,,又因为AVC1BC斗I,AYU平面ABC,BCc平面ABC,所以3M_L平面ABC,因为

C,Mc平面BCC/L

所以平面ABC_L平面BCJBi；

（2）如图，作MNJ_AB,垂足为N,连接CR由⑴知CJI_L平面ABC,

又ABu平面ABC,所以（C】M_L48,因为孰＞10卜双=卜【,CJIu平面

C^M,MXc平面CiNM,所以AB_L平面C*M,

乂C〔Nu平面C^M,所以（GN1AB,

又△3MN是直角三角形，所以NJNM即为平而ABC1与平而ABC所成夹角，

在中，MN=6Msin60°=：x^=3

224

在RtACiMN中,因为（C1M=当,MN=g所以CrN=半,

244

…渔r

所以cos^NM=^=^=^,

4

即平面ABC1与平面ABC所成夹角的余弦值为.

【解析】（D取BC中点M,通过证明CNJ_平面相C,再利用面面垂直的判定定理即可得到结论：

（2）作MN_LAB，垂足为N,连接C。,通过二面角的定义可知.zCWM即为平面4BC】与平面ABC所成夹角,再求出Rt△C,MN

的各边即可求出结果.

4.⑴证明：也吟,2-=孤卷

+n=

左右两端同时相加可得（n+1+2bn+l=:册~~2^~~4+2bn）.

-an-2b„

又A%+2bl=1,.•.数列a0+2b回是首项为1公比为；的等比数列；

⑵解：由（1）知册+2bn=」■;,

“2n—■

a2b

又;n+l-n+l="_/+十=a„-2bn

数列“0—2"例为常数列.

若选条件①或③，均可得（西一2加=1,

若选②，:也=一：,2%+1=阻1一半,一：4=一：又二即+2bl=1,

第15页，共18页

...%=1,瓦=0,二%—2瓦=l,--an+=詈一奈

【解析】(1)将已知递推式转化为从而得证；

中％2

(2)推导出数列。0-2成为常数列，根据所选为件，可用数列的前n项和.

1^1-P8|=Q2+i)My2l=笔空,

所以

IMIPBI2(l+fc2)f

设(Q(x.yj,则直线I2的方程为：*一凡=-k(y-y(>),设Y(X3,yjN(X*V4),

3J

直线1卢双曲线方程联立可得((T(y-y0)+Xo)-2(y-y0+y0)-2=0,

2

即充-2)(y-y0)-(2/c%0+4%)(y-y0)+需—2光—2=o,

所以(ys-y。)。,-%)=

所以‘一=,；丁

I9MI1«7«1(田2)田祝-2|

得]]_|2口-1|.苣-2--2|-2|。斯

|P小俨即IQMIWM2(1+*2)|©-2月-2|

又因为0M好.

用|%|.1禺-2诏-2|7+*Z(2-2曷-2据7)

区八,»川俨间―IQMHQM2(1+/)|k-2稣-2[*

当I屁-2%-2|-4=2-2|诏-2犬-2时,

第I6页/共I8页

即岗-2羽"=2时，-心所以xj-2yJ=。或xj-

2yj-4,又因为4*2yj,所以小Q的枕迹方程为

【解析】（1）当k析时,显然符合题意，当kWO时，设直战1，的方程为x=ty+2,其中=：,设8（*2少2）,联立直线与双曲戏

4=8C2+16>0

t2-2*0，即可得到不等式求出k的取值范围,即可得解：

yy>o

{i2

⑵由⑴知，因为俨川“P8|=笔号，iltQ<xpyO,则直战I2的方程为：x-x0=Tc（y-yo）,设“（心少3）,"（公,"），联立直线与双曲战方程,

就一就7可褥到1、-21=2时，云--为定俗与从而求出动

消元，即