2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第3讲 一元二次不等式的解法

第二章不等式第3讲

一元二次不等式的解法1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．三个“二次”之间的关系两相异两相等没有x<x1，或x>x2Rx1<x<x2∅∅f(x)g(x)>0(<0)2.分式不等式与整式不等式的关系

一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．－145．不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_______．[0，4)核心考向突破考向一

一元二次不等式的解法

角度1不含参数的一元二次不等式

解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2<6x－10.

解一元二次不等式的一般方法和步骤

解下列不等式：角度2含参数的一元二次不等式

解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．

解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

解关于x的不等式：x2－(a2＋a)x＋a3>0.角度3可化为一元二次不等式的分式不等式

分式不等式的求解策略考向二

三个“二次”之间的关系(2)已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，且x2－x1＝10，则a＝_______．－16(1)一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不等式解集的端点值．(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了对应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数．(2025·山西临汾模拟)已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为_____________________．

解析：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0，即－x2＋2x＋3≤0，即x2－2x－3≥0，也即(x－3)(x＋1)≥0，解得x≥3或x≤－1.故原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(－∞，－1]∪[3，＋∞)考向三

一元二次不等式恒(能)成立问题

角度1在R上的恒成立问题1

已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(

)A．[0，1] B．(0，1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0

若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，2] B．(－∞，－2)C．(－2，2) D．(－2，2]角度2在给定区间上的恒成立问题(1)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(

)A．[－1，3] B．(－∞，－1]C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)(2)若对于x∈[1，3]，mx2－mx＋m－6<0(m≠0)恒成立，则m的取值范围是__________________．

在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.(3)对于以下两种题型，可以利用二次函数在端点m，n处的取值特点确定不等式求范围．①ax2＋bx＋c<0(a>0)对x∈[m，n]恒成立；②ax2＋bx＋c>0(a<0)对x∈[m，n]恒成立．提醒：一般地，知道谁的范围，就选谁当主元；求谁的范围，谁就是参数．如本例(1)中建立关于p的函数，x为参数，本例(2)中建立关于x的函数，m为参数．2．已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________．角度3不等式能成立或有解问题

已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是(

)

解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数最值，即a>f(x)能成立⇒a>f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.

若存在x∈[0，1]，使x2＋(1－a)x＋3－a>0成立，则实数a的取值范围是__________．(－∞，3)课时作业3．(2025·福建泉州模拟)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(

)A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m，或x>n} D．{x|－m<x<n}解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)·(x＋n)<0，因为m＋n>0，所以m>－n，所以原不等式的解集为{x|－n<x<m}．故选B.5．(2024·广东佛山模拟)已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件7．(2024·广西南宁一模)若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，5) B．(5，＋∞)C．(－4，＋∞) D．(－∞，4)解析：设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为(－∞，5)．三、填空题12．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为_________________．{x|x<－5，或x>5}13．(2025·四川绵阳模拟)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是___________________．[－3，－2)∪(6，7]解析：不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0，即(x－2)(x－m)＜0，当m＞2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7；当m＝2时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m＜2时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2，故实数m的取值范围是[