第20章 勾股定理（单元测试）（含答案）-2025-2026学年八年级下册数学人教版

第20章勾股定理一、选择题（共12小题）1．（2025秋•马边县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a2+b2＝c2 B．a：b：c=1：3C．a＝6，b＝8，c＝10 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：52．（2025秋•青山区期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，63．（2025秋•东港市期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（）A．13，14，14．（2025秋•铜川期末）下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的是（）A．1，1，2 B．2，3，4 C．5，12，13 D．3，4，55．（2025秋•彬州市校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值是（）A．10 B．234 C．276．（2025秋•三明期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（）A．25 B．49 C．81 D．1007．（2025秋•邗江区期末）下列各组数为勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．6，8，108．（2025秋•攀枝花期末）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠C＝∠A﹣∠B D．a：b：c＝5：12：139．（2025秋•岑溪市期末）如图，某数学兴趣小组计划在鱼塘边的木杆A点测量鱼塘另一边木杆B点的长度，点C为存放鱼科的小屋，现测得AC＝6m，∠CAB＝60°，∠ACB＝75°，则可求出AB两点间的距离是（）A．(3+43)m B．(3+33)m C．10．（2025秋•邓州市期末）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（）A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm11．（2025春•龙马潭区校级期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm12．（2025春•巫山县期中）如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1二、填空题（共8小题）13．（2025秋•古县期末）如图，受台风影响，一棵8米高的树被风刮断了，树顶落在离树根4米处，则折断处的高度AB为米．14．（2025秋•平顶山期末）汉末三国初数学家、天文学家赵爽，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理，后人通常把图称为“赵爽弦图”，该图由四个全等的直角三角形拼接而成，已知AB＝2BC，中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积为．15．（2025秋•海口期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2+S1﹣S3＝36，则阴影部分的面积为．16．（2025秋•宝安区校级期末）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是12cm2，则正方形A的面积是．17．（2025秋•玉环市期末）如图，3×3网格由9个边长为1的小正方形组成，以点D为圆心，CD长为半径画圆弧交数轴于点C′，则点C'表示的实数为．18．（2025秋•永兴县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形ABCD的面积是90，AH＝9，则正方形EFGH的面积是．19．（2025秋•增城区期末）今年超强台风“桦加沙”24日在阳江海陵岛登录，对珠海的也造成一定的影响．如图，在台风中一棵大树在离地面5m处折断，倒下部分与地面成30°夹角，大树折断前的高度为米．20．（2021春•石阡县期中）如图，在水池的正中央有一根芦，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是．三、解答题（共5小题）21．（2025秋•扬州期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形．（1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由；（2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度．22．（2025秋•淮安期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？23．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m．（1）求边BC的长；（2）连接AC，判断△ADC的形状；（3）求这块空地的面积．24．（2025秋•原阳县期末）某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长AB＝15米，吊臂支柱B点与楼房的距离BE＝12米，且吊臂B点距离地面1.5米．（1）求吊臂最高点A与地面的距离（AO的长度）；（2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知AC长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（BD的长度）．25．（2025秋•衡南县期末）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？

一、选择题（共12小题）1．【答案】D根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵a2+b2＝c2，∴能判定△ABC为直角三角形，故A不符合题意；B、∵（3）2+12＝22，∴能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，∴a2+b2＝c2，∴能判定△ABC为直角三角形，故C不符合题意；D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×5∴不能判定△ABC为直角三角形，故D符合题意；故选：D．2．【答案】C欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、因为12+22≠32，所以不能构成直角三角形；B、因为22+32≠42，所以不能构成直角三角形；C、因为32+42＝52，所以能构成直角三角形；D、因为42+52≠62，所以不能构成直角三角形．故选：C．3．【答案】D根据勾股数的定义进行判断即可．【解答】解：A、13，14，B、1.5，2.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；C、52+112≠122，5，12，11不是勾股数，不符合题意；D、72+242＝252，7，24，25是勾股数，符合题意；故选：D．4．【答案】C根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A、∵12+12＝2≠22，∴不能作为直角三角形三边长，不符合题意；B、∵22+(3)C、∵52+122＝25+144＝169＝132＝169，∴可以作为直角三角形三边长，符合题意；D、∵(3)2+(故选：C．5．【答案】A直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值=6故选：A．6．【答案】D由勾股定理即可求出答案．【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，故选：D．7．【答案】C根据勾股数的定义判断即可．【解答】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；B、∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数，不符合题意；C、∵72+242＝252，∴7，24，25是勾股数，符合题意；D、6，8，10都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；故选：C．8．【答案】B利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案．【解答】解：A、∵b2＝a2﹣c2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC为直角三角形．不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，∴3x+4x+5x＝180°，∴x＝15°，∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；C、∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠A＝∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC为直角三角形．不符合题意；D、∵a：b：c＝5：12：13，∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k，∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，b2＝（13k）2＝169k2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．不符合题意．故选：B．9．【答案】B连接AB，过点C作CG⊥AB于点G，得到△ACG是含30°的直角三角形，△CGB为等腰直角三角形，再由30°的直角三角形性质以及勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∠CAB＝60°，连接AB，过点C作CG⊥AB于点G，∴∠ACG＝90°﹣60°＝30°，∴∠GCB＝∠ACB﹣∠ACG＝75°﹣30°＝45°，∵CG⊥AB，∴AG=12AC=1在直角三角形ACG中，由勾股定理得：BG=CG=A∴AB=AG+BG=(3+33故选：B．10．【答案】A由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方＝（x﹣3）2﹣82；第二个笔筒中：直径平方＝（x﹣1）2﹣122；因直径相等，列方程即可求解．【解答】解：设铅笔长度为xcm，已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122，解得x＝22，故铅笔的长为22cm，故选：A．11．【答案】B将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm，则AD＝10×12=又因为CD＝AB＝12cm，所以AC=122故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．故选：B．12．【答案】C由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD﹣CG＝6﹣x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∵点E是AD边的中点，∴AE＝DE＝3，∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，∴EF＝AE＝3，FG＝CG，设CG＝x，则：DG＝CD﹣CG＝6﹣x，FG＝CG＝x，∴EG＝EF+FG＝3+x，在Rt△DEG中，DE2+DG2＝EG2，即32+（6﹣x）2＝（3+x）2，解得：x＝2，∴CG＝2，故选：C．二、填空题（共8小题）13．【答案】3．假设AB的长度为x米，故AC长度为（8﹣x）米，根据勾股定理，可求出x的值，即可得出答案．【解答】解：根据题意，可知三角形ABC为直角三角形，根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2，设AB的长度为x米，故AC长度为（8﹣x）米，结合BC＝4米，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，故AB的长度为3米，故答案为：3．14．【答案】13．在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE即可．【解答】解：如图，小正方形的边长BD＝BC＝1，直角三角形的直角边BE＝AC＝AB+BC＝2BC+BC＝3BC＝3，在Rt△ABE中，AB＝2BC＝2，∴根据勾股定理得，AE2＝AB2+BE2＝22+32＝13，∴AE2＝13．即大正方形的面积为13，故答案为：13．15．【答案】9．由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝36可得出S1的值，即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S3＝S2，∵S2+S1﹣S3＝36，∴S1＝18，由图形可知，阴影部分的面积=12S∴阴影部分的面积=1故答案为：9．16．【答案】4cm2．根据勾股定理和正方形的面积可知，正方形D的面积+正方形E的面积＝正方形C的面积，正方形F的面积+正方形G的面积＝正方形B的面积，正方形B的面积+正方形C的面积＝正方形A的面积，即可解决问题．【解答】解：如图，根据勾股定理和正方形的面积可知：正方形D的面积+正方形E的面积＝正方形C的面积，正方形F的面积+正方形G的面积＝正方形B的面积，正方形B的面积+正方形C的面积＝正方形A的面积，∵所有正方形的面积之和是12cm2，∴正方形A的面积是12×13=4（故答案为：4cm2．17．【答案】5．根据勾股定理求出CD的长，再根据题意得出DC'的长，即可解决问题．【解答】解：由勾股定理得：CD=2由题意可知，DC'＝DC=5∴点C'表示的实数为5，故答案为：5．18．【答案】36．根据题意得到AH＝BE＝9，根据正方形ABCD的面积是90，结合勾股定理求出AE的长，得出EH的长，再利用正方形的面积公式即可求解．【解答】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的，AH＝9，∴AH＝BE＝9，∵大正方形ABCD的面积是90，∴AB2＝90，∵∠AEB＝90°，∴AE2+BE2＝AB2＝90，则AE2+92＝90，解得：AE＝3或AE＝﹣3（不符合题意，舍去），∴EH＝AH﹣AE＝6，∴S正方形EFGH＝62＝36．故答案为：36．19．【答案】15．由于倒下部分与地面成30°夹角，利用含30°角的直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，BC＝5米，∴AB＝2CB＝10米，∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝15米．故答案为：15．20．【答案】13尺．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），故答案为：13尺．三、解答题（共5小题）21．【答案】（1）正确，∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2．∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°；（2）风筝垂直下降的高度为9m．（1）利用勾股定理的逆定理求解；（2）先求得FD，再利用勾股定理求得DC′，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度．【解答】解：（1）他的说法正确．理由如下：∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2．∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°；（2）根据题意得，BF＝2m，∵BD＝10m，∴FD＝10﹣2＝8（m）．∵FC′＝17m，∴在Rt△FDC′中，DC'=FC∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m），即风筝垂直下降的高度为9m，答：风筝垂直下降的高度为9m．22．【答案】见试题解答内容（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解答】解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：25（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），根据勾股定理得：25=2解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．23．【答案】见试题解答内容（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可；（2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状；（3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算．【解答】解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．在Rt△ABE中，∵AB＝15m，AE＝12m，∴BE=A∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝18m．（2）∵AE⊥