《奇偶性的概念》课件

3.2.2

奇偶性第1课时

奇偶性的概念素养目标学科素养1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3、会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).1、数学抽象2、数学运算3、直观想象学习目标一、自主学习探究一：观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)如何用符号语言描述这一特征？f(x)=x2g(x)=2-|x|

图象关于y轴对称可以发现：当x取一对相反数时，相应的两个函数值相等f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-x)=f(x)？对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)

这时称函数f(x)=x2

为偶函数。

这就是用符号语言描述图象关于y轴对称函数值是如何体现这一特征的?一.偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果任意x∈I，都有-x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.举几个偶函数的例子？探究二：观察下图，思考并讨论以下问题：f(x)=xg(x)=1/x(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)如何用符号语言描述这一特征？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)

（1）图象关于原点对称

实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-(x)=-f(x)

（2）当x取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数

这时称函数f(x)=x

为奇函数。

注意：

1、函数的奇偶性是函数的整体性质（单调性是局部性质）2、由函数的奇偶性定义可知，任意x∈I，都有-x∈I（即定义域关于原点对称）．

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果任意x∈I，都有-x∈I，且f(－x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

3、若f(x)为奇函数，0∈I，一定有f(0)=0.二.奇函数

对于一个函数来说，它的奇偶性有以下可能：

奇函数偶函数既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数.三.分类

小试牛刀××××二、经典例题题型一

函数奇偶性的判断总结跟踪训练1

题型二

奇、偶函数的图象问题总结跟踪训练2题型三函数奇偶性的应用跟踪训练3三、当堂达标课堂小结12345678910A级必备知识基础练1.下列函数是奇函数的是(

)D解析

先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.123456789102.函数

的图象关于(

)A.x轴对称

B.y轴对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称B123456789103.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(

)A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数C解析

∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.123456789104.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(

)A.-1 B.1 C.-3 D.3C解析

∵g(x)=f(x)-x,f(2)=1,∴g(2)=f(2)-2=1-2=-1.∵y=g(x)是偶函数,∴g(-2)=f(-2)+2=g(2)=-1,∴f(-2)=-3.故选C.123456789105.已知函数f(x)=x3+ax2-3x+b是定义在R上的奇函数,则a+b=

.

0解析

由题意得f(-x)+f(x)=(-x)3+a(-x)2-3(-x)+b+x3+ax2-3x+b=0,即2ax2+2b=0恒成立,则a=b=0,即a+b=0.123456789106.已知函数

为奇函数.(1)求f(2)和实数a的值;(2)求方程f(x)=f(2)的解.解

(1)设x>0,则-x<0.因为x≤0时,f(x)=-x2-4x,则f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x,因为f(-x)=-f(x)=-x2+4x,所以f(x)=x2-4x=x2+ax,所以a=-4,则f(2)=-4.1234567891012345678910B级关键能力提升练7.下列说法中,正确的是(

)A.偶函数的图象一定与y轴相交B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0C.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈RD.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数B解析

y=是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A错误;若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0,故B正确;若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B.12345678910123456789108.

已知g(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,f(-a)=2a+2,则a=(

)A.2 B.-1 C.2或-1 D.2或1C解析

∵g(x)是奇函数,∴g(x)+g(-x)=0,∴f(x)+f(-x)=2x2,而f(a)=2,f(-a)=2a+2,则4+2a=2a2,解得a=2或-1,故选C.123456789109.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=

.

-26解析

令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18.h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.1234567891010.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若f(x)在[-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围.

解

(1)根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,若x<0