4.4.3 不同函数增长的差异

4.4.3不同函数增长的差异基础练 巩固新知夯实基础 1．下列函数中随x的增大而增大，且速度最快的是()A.eq\f(1,10)exB．y＝10lnx3C．y＝x10 D．y＝10·2x2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bxC．y＝ax2＋b D．y＝a＋eq\f(b,x)3．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1<v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为()4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数5．小明2017年用8100元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值________元．6．某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－eq\f(x2,2)(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？能力练综合应用核心素养7.（多选）某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下选项正确的是（）A.前三年产量增长的速度越来越快B.前三年产量增长的速度越来越慢C.第三年后这种产品停止生产D.第三年后产量保持不变8．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()9．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是()A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系C．如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D．信件的邮资与其重量间的函数关系10.如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()11．1994年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2015年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为()A．y＝54.8(1＋x%)19B．y＝54.8(1＋x%)21C．y＝54.8(x%)19 D．y＝54.8(x%)2012．进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大日利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．13．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【参考答案】1.A解析：∵e>2，∴eq\f(1,10)ex比10·2x增大速度快，故选A.2.B解析：在坐标系中描出各点，可知函数y＝a＋bx更接近．B解析：∵v1<v2，∴前半段路程用的时间长，选B.4.D解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增长符合．故选D.5.2400解析：三年后的价格为8100×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝2400(元)．6.解析：(1)设年产量为x(百件)，当0≤x≤5时，f(x)＝5x－eq\f(x2,2)－(0.5＋0.25x)；当x>5时，销售收入为eq\f(25,2)万元，此时f(x)＝eq\f(25,2)－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x2,2)＋\f(19,4)x－\f(1,2)，0≤x≤5，,12－0.25x，x>5.))(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－4.75)2＋10.78125；当x>5时，函数f(x)为单调递减函数．∴当年产量为475件时，公司所得利润最大．7.BC解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xa(0<a<1)．反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以BC正确．D解析：由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D．9.B解析：A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B.10.D解析：由题意：P点在BC上时，0≤x＜4，S＝eq\f(4x,2)＝2xP点在CD上时，4≤x≤8，S＝eq\f(4×4,2)＝8P点在DA上时，8＜x≤12，S＝24－2x.11.B解析：由题意：1995年底人口为54.8(1＋x%)1996年底人口为54.8(1＋x%)21997年底人口为54.8(1＋x%)3……∴2015年底人口为54.8(1＋x%)21，故选B.12.14解析：设每个涨价x元，则实际销售价为每个(10＋x)元，日销售量为(100－10x)个，则日利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x≤10)∴当x＝4，即当日销售价定为每个14元时，日利润最大．13.解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为eq\f(3600－3000,50)＝12，所以这时能租出88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x－3000,50)))(x－150)－eq\f(x－3000,50)×50＝－eq\f(1,50)x2＋162x－21000＝－eq\f(1,50)(x－4050)2＋307050.∴当x＝4050时，f(x)max＝307050.故月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．A级必备知识基础练1.[探究点一]下列函数中,增长速度越来越慢的是()A.y=6x B.y=log6x C.y=x6 D.y=6x2.[探究点二]某学校开展研究学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:x1.99345.18y0.991.582.012.353.00如下四个函数模型,能近似地反映这些数据的规律的是()A.y=0.58x-0.16 B.y=2x-3.02C.y=x2-5.5x+8 D.y=log2x3.[探究点二]若三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表,则关于x分别呈函数模型y=mlogax+n,y=pax+q,y=kxa+t变化的变量依次是()x1357911y1525456585105y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.6A.y1,y2,y3 B.y3,y2,y1C.y1,y3,y2 D.y3,y1,y24.[探究点一](多选题)下面对函数f(x)=log12x与g(x)=(12)x在区间(0,+∞A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快5.[探究点三(角度1)]某天0时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常(正常体温为37℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是()6.[探究点一]函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1Δy2(填“>”“=”或“<”).

7.[探究点二·北师大版教材习题]设y1=log2x,y2=x2,y3=2x.令x1=2n,x2=2n+1.(1)请分别化简下列各式:①log2x2-log2x1;②x22−x(2)结合(1)中的化简结果,谈谈你对对数函数y1、幂函数y2、指数函数y3变化的感受.8.[探究点三(角度2)]某企业常年生产一种出口产品,根据近几年的数据显示,该产品的产量平稳增长.记2020年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log12x+a.B级关键能力提升练9.当0<x<1时,f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x)C.g(x)<h(x)<f(x) D.f(x)<g(x)<h(x)10.设集合A={(x,y)|y=2x},B={(x,y)|y=x2},则A∩B的元素个数为()A.1 B.2 C.3 D.411.(多选题)已知函数y1=x2,y2=2x,y3=x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是()A.随着x的逐渐增大,y1增长速度越来越快于y2B.随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1C.当x∈(0,+∞)时,y1增长速度一直快于y3D.当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y112.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:①当x>1时,甲在最前面;②当x>1时,乙在最前面;③当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面;④丙不可能在最前面,也不可能在最后面;⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲.其中正确结论的序号为.

13.[2024陕西榆林高一期中]下列说法中不正确的有.(填序号)

①幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快;②对任意的x>0,都有xa>logax;③对任意的x>0,都有ax>logax.C级学科素养创新练14.(多选题)已知函数f1(x)=2x,f2(x)=2x+1,g1(x)=logax(a>1),g2(x)=kx(k>0),则下列结论正确的是()A.函数f1(x)和f2(x)的图象可能有两个交点B.∃x0∈R,当x>x0时,恒有g1(x)>g2(x)C.当a=2时,∃x0∈(0,+∞),f1(x0)<g1(x0)D.当a=1k时,方程g1(x)=g2(x答案：1.B2.D由表中数据可知,y随x的增长而增长,且增长速度越来越慢.A项,y=0.58x-0.16增长速度不变,不符合题意;B项,y=2x-3.02增长速度越来越快,不符合题意;C项,y=x2-5.5x+8,当x≥3时,增长速度越来越快,不符合题意;D项,y=log2x,当x>1时,增长速度越来越慢,符合题意.故选D.3.B由题表可知,y2随着x的增大而迅速增大,是指数型函数图象的变化;y3随着x的增大而增大,但是变化缓慢,是对数型函数图象的变化;y1相对于y2的变化要慢一些,是幂型函数图象的变化.故选B.4.ABD在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象如右图所示,由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢.5.C观察图象A,体温逐渐降低,不符合题意;图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”;图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”.综上,只有C是正确的.6.<由这两个函数的图象可知,指数函数增长得快些,所以Δy1<Δy2.7.解(1)①log2x2-log2x1=log2x2x1=log22n+12n②x22−x12=(2n+1)2-(2n)2=(2n+1-2n)·(2n+1+2n)=2n·3·2n=③2x2−2x1=22n(2)Δx=x2-x1=2n+1-2n=2n,对数函数y1=log2x的增量Δy=1恒成立;幂函数y2=x2的增量Δy=3·22n,增量相比对数函数大了很多,且随n的增大而迅速增大;指数函数y3=2x的增量Δy=22n(22n-1)≈(22n)8.解符合条件的是f(x)=ax+b,理由:若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.若模型为f(x)=log12x+a,则f(x)是减函数,由已知得a+b所以f(x)=32x+52,x∈N9.D在同一坐标下作出函数f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-2的图象,由图象知,D10.C如图,集合A为函数y=2x图象的点集,集合B为函数y=x2图象的点集,两函数的图象有三个交点,所以A∩B的元素个数为3.故选C.11.BD在同一坐标系内画出函数y1=x2,y2=2x,y3=x的图象,如图所示:对于A,随着x的逐渐增大,y1增长速度不是越来越快于y2,故A错误;对于B,随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1,故B正确;对于C,当x∈(0,+∞)时,y1增长速度不是一直快于y3,故C错误;对于D,当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1,故D正确;故选BD.12.③④⑤路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型函数模型.当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,则①不正确;当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,则②不正确;根据四种函数的变化特点,对数型函数的增