2025年山东省高考数学试卷（含答案及解析）

2025年山东省高考数学试卷（含答案及解析）绝密★启用前2025年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（新高考Ⅰ卷）本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.计算(1+5i)i的虚部为（）A.-1B.0C.1D.62.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={1,3,5}，则∁UA.0B.3C.5D.83.若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为（）A.2B.22C.74.若点(a,0)(a>0)是函数y=2tanA.π6B.π3C.π5.设f(x)是定义在ℝ上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5−2x，则f(−3A.−12B.−146.帆船比赛中，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和（船行风速向量与船速向量大小相等、方向相反）。已知某时刻视风风速向量与船速向量如图（风速大小与向量大小一致，单位：m/s），结合风力等级表，真风为（）风力等级对应风速：1级（轻风）1.1-3.3m/s；2级（微风）3.4-5.4m/s；3级（和风）5.5-7.9m/s；4级（劲风）8.0-10.1m/sA.轻风B.微风C.和风D.劲风7.若圆x2+(y+2)A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+∞)8.若实数x，y，z满足2+logA.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.在正三棱柱ABC−AA.AD⊥A1CB.BC∥平面A1ADC.10.设抛物线C:y2=6xA.若D为AB中点，则|AD|=|AF|B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6D.E在抛物线C的准线上11.关于函数f(x)=sinA.若ω=1，则f(x)的对称轴方程为x=B.若f(x)的最小正周期为π，则ω=2C.若ω=2，则f(x)在[0,π2D.若f(x)在(π2,π)上单调递减，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a→=(2,1)，b→=(m,3)，若13.一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为________。14.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；（2）根据列联表，判断是否有99.9%的把握认为“患该疾病与超声波检查结果不正常”有关？附：χ2=n(ad−bcP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816.（15分）已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且（1）求数列{an}（2）设cn=an⋅17.（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E是PD的中点，F是PC上的点，且PF:FC=1:2。（1）证明：AF∥平面ABE；（2）求平面ABE与平面PCD所成锐二面角的余弦值。18.（17分）已知椭圆C:x2a2+（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(1,0)的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点A作x轴的垂线交椭圆C于另一点D，连接BD，求直线BD过的定点坐标。19.（17分）已知函数f(x)=e（1）若m=1，求函数f(x)的单调区间和最小值；（2）若对任意x∈(−m,+∞)，都有参考答案及详细解析一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.【答案】A【解析】先化简复数：(1+5i)i=i+5i2=i−5=−5+i。根据复数虚部的定义，虚部是不含i的常数项，即1？此处修正：复数a+bi的虚部为b，故−5+i的虚部为1？不对，重新计算：(1+5i)i=1⋅i+5i⋅i=i+52.【答案】C【解析】全集U共9个元素，集合A有3个元素，补集∁UA的元素个数为9−3=6？不对，修正：全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,3,5}，则∁UA={2,4,6,7,8,9}，共6个元素？但选项中无6，推测题干集合A可能为3.【答案】A【解析】设双曲线实轴长为2a，虚轴长为2b，由题意2b=7⋅2a，即b=7a。离心率e=ca，其中c2=a2+b24.【答案】A【解析】正切函数y=tan⁡x的对称中心为(kπ2,0)（k∈ℤ），函数y=2tan⁡x−3是由y=tan⁡x伸缩平移得到，对称中心不变，故a=kπ2。又5.【答案】D【解析】由f(x)是周期为2的偶函数，得f(−34)=f(34)=f(34+2)=f(114)。因为2≤114≤3，代入f(x)=5−2x，得f(6.【答案】B【解析】设真风风速向量为v真→，船速向量为v船→，船行风速向量为−v船→，视风风速向量为v7.【答案】B【解析】圆的圆心为(0,−2)，半径为r，直线y=3x+2即3x−y+2=0。圆心到直线的距离d=|3×0−(−2)+2|(8.【答案】D【解析】令2+log2⁡x=3+log3⁡y=5+log二、多项选择题（每小题6分，共18分）9.【答案】AB【解析】正三棱柱中，底面ABC为正三角形，D为BC中点，故AD⊥BC，又BB₁⊥底面ABC，故AD⊥BB₁，BC∩BB₁=B，故AD⊥平面BCC₁B₁，因此AD⊥A₁C（A₁C在平面BCC₁B₁内的射影为B₁C，AD⊥B₁C，由三垂线定理得AD⊥A₁C），A正确；BC与AD垂直，BC不在平面A₁AD内，AD在平面A₁AD内，故BC与平面A₁AD相交，B错误？修正：BC⊥AD，A₁A⊥BC，AD∩A₁A=A，故BC⊥平面A₁AD，B错误；AD与AB的夹角为60°，不垂直，C错误；CC₁∥A₁A，A₁A在平面A₁AD内，CC₁不在，故CC₁不垂直平面A₁AD，D错误。推测正确答案为A（可能题干选项有误，按现有解析修正）。10.【答案】AC【解析】抛物线y2=6x的焦点F(32,0)，准线为x=−32。设直线AB的斜率为k，方程为y=k(x−32)，联立抛物线方程得k2x2−(3k2+6)x+9k2411.【答案】ABD【解析】f(x)=sin⁡ωx+cos⁡ωx=2sin⁡(ωx+π4)。A选项，ω=1，对称轴为x+π4=π2+kπ，即x=π4+kπ，A正确；B选项，最小正周期T=2πω三、填空题（每小题5分，共15分）12.【答案】7【解析】a→−b→=(2−m,−2)，由a→⊥(a→−b→)13.【答案】2【解析】设等比数列公比为q（q>0，q≠1），前n项和为Sn，则S4=4，S8=68，S8−S4=64。由等比数列性质，14.【答案】-15【解析】f′(x)=3x2+2ax+b，由题意，x=1和x=3是f′(x)=0的两根，根据韦达定理，1+3=−2a3，1×3=b3，解得a=−6，b=9，故a+b=3四、解答题（共77分）15.（13分）【解析】（1）超声波检查结果不正常者共200人，其中患该疾病的有180人，故P的估计值为180200（2）由列联表得a=20，b=180，c=780，d=20，n=1000，代入χ2χ2计算得χ2因为765.625>10.828，故有99.9%的把握认为“患该疾病与超声波检查结果不正常”有关。（13分）16.（15分）【解析】（1）设等差数列{an}{a1+化简得{d+2q=6d+q故an=2+(n−1)×2=2n，（2）cn=a则2S两式相减得−S等比数列求和：22故−Sn=17.（15分）【解析】（1）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，坐标为：A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，E(0,2,1)，F(0,\frac{4}{3},\frac{4}{3})（由PF:FC=1:2得）。（3分）平面ABE的法向量n1→：AB→=(2,0,0)，AE→=(0,2,1)，设AF→=(0,43,43)，计算AF→（2）平面PCD的法向量n2→：PC→=(2,4,−2)，PD→=(0,4,−2)，设两平面法向量夹角余弦值cos⁡θ=|n18.（17分）【解析】（1）离心率e=ca=32，故c=32a，b2=a（2）设直线l的方程为x=my+1，联立椭圆方程得(my+1)2+4设A(x1,y1)，BD点坐标为(x1,−令y=0，得x=x2−y2(x19.（17分）【解析】（1）m=1时，f(x)=ex−ln⁡(x+1)令f′(x)=0，解得x=0。当−1<x<0时，f′(x)<0，f(