第二节-自相关性说课讲解

第二节自相关性或如果仅存在

E(

i

i-1)0

i=1,2,…,n一阶自相关往往可写成如下形式：

i=

i-1+

i-1<

<1

由于序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中，因此，本节将用下标t代表i。

称为一阶自相关其中：

被称为自协方差系数（coefficientofautocovariance）或一阶自相关系数（first-ordercoefficientofautocorrelation）

i是满足以下标准的OLS假定的随机干扰项：(1)经济惯性。(2)模型中遗漏了重要的解释变量。(3)模型形式设定不当。(4)随机因素的影响。(5)数据处理造成的自相关。

随机误差项的自相关性可以有多种形式，其一般形式可以表示成：

εt=ρ1εt-1+ρ2εt-2+…+ρpεt-p+νt

称之为p阶自回归形式，或模型存在p阶自相关。νt是满足回归模型基本假定的随机误差项。ρ为自回归系数（数值上等于自相关系数，证明略）

二、实际经济问题中的序列相关性(产生原因）

大多数经济时间数据都有一个明显的特点:惯性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中，则可能出现序列相关性（往往是正相关）。例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型：

Ct=

0+1Yt+tt=1,2,…,n

1、经济变量固有的惯性

2、模型设定的偏误

所谓模型设定偏误是指所设定的模型“不正确”。主要表现在模型中（1）丢掉了重要的解释变量或（2）模型函数形式有偏误。

例如，本来应该估计的模型为

Yt=

0+1X1t+2X2t+3X3t+t但在模型设定中做了下述回归：

Yt=

0+1X1t+1X2t+vt因此，vt=

3X3t+t，如果X3确实影响Y，则出现序列相关。

但建模时设立了如下模型：

Yt=

0+1Xt+vt

因此，由于vt=

2Xt2+t,，包含了产出的平方对随机项的系统性影响，随机项也呈现序列相关性。又如：如果真实的边际成本回归模型应为：

Yt=

0+1Xt+2Xt2+t其中：Y=边际成本，X=产出，

3、随机因素的影响

例如：自然灾害、金融危机、世界经济环境的变化等随机因素的影响，往往要持续多个时期，这使得随机误差项呈现出自相关性！

4*、数据的处理（编造）

例如：季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动性，从而使随机干扰项出现序列相关。还有就是两个时间点之间的“内插”技术往往导致随机项的序列相关性。

在实际经济问题中，有些数据是通过已知数据生成的。因此，新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。

计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用OLS法估计模型参数，会产生下列不良后果：

二、自相关性的影响1、(OLS法）参数估计量不再是有效估计！因为，在有效性证明中利用了

即同方差性和互相独立（即非自相关）性条件。还可以证明：当模型存在自相关性时，OLS估计虽然仍然是无偏估计，但不再具有有效性！（在大样本情况下，参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。）2、一般会低估OLS估计的标准误差可以证明：对一元线性回归模型，如果存在一阶自相关，则有3、变量的显著性检验失去意义

在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础之上的，这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立。其他检验也是如此。4、降低模型的预测精度！（模型的预测失效）

区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度降低。所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效。

然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。

序列相关性检验方法有多种，但基本思路相同：基本思路:三、自相关性的检验

通过对残差分布图的分析，可大致判断随机误差项的变化特征。如果随时间的推移，残差的分布呈现周期性的变化，说明很可能存在自相关性！1、残差图分析法方法（1）：在方程窗口点击:Resids按钮方法（2）：点击:View\Actual,Fitted,Residual\Table都可以得到残差分布图图示法2*、回归检验法……

如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。

回归检验法的优点是：（1）能够确定序列相关的形式，（2）适用于任何类型序列相关性问题的检验。3、德宾-沃森（Durbin-Watson）检验法

D-W检验是德宾和沃森于1951年提出的一种检验序列自相关的方法简称D-W检验，是检验自相关性的最常用方法,但该方法只适用于一阶自相关性的检验！该方法的假定条件是：（1）解释变量X非随机；（2）随机误差项

i为一阶自回归形式：

i=i-1+i（3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现下列形式：

Yi=

0+1X1i+＋kXki+Yi-1+i（4）回归含有截距项

该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，因此其精确的分布很难得到。但是，他们成功地导出了临界值的下限dL和上限dU，且这些上下限只与样本的容量n和解释变量的个数k有关，而与解释变量X的取值无关。

杜宾和瓦森针对原假设：H0:=0，即不存在一阶自回归，构如下造统计量：

D.W.统计量:

D.W检验步骤:（1）计算DW值（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界值dL和dU（3）比较、判断若0<D.W.<dL

存在正自相关

dL<D.W.<dU

不能确定

dU<D.W.<4－dU

无自相关4－dU<D.W.<4－dL

不能确定4－dL<D.W.<4存在负自相关

0dLdU24-dU4-dL4正相关不能确定无自相关不能确定负相关当D.W.值在2左右时，模型不存在一阶自相关。

证明：展开D.W.统计量：

(*)如果存在完全一阶正相关，即=1，则D.W.0

完全一阶负相关，即=-1,则D.W.4

完全不相关，即=0，则D.W.2这里:为一阶自回归模型

i=

i-1+

i的参数估计。D-W检验原理简单，检验方便，是目前最常用的自相关检验方法.Eviews软件在回归分析的输出结果中直接给出了DW统计量的值。在使用D-W检验时应注意以下几个问题：（1）DW检验只能判断是否存在一阶自相关性。（2）DW检验有两个无法判定的区域。如DW值落入该两个区域时，一般改用其他检验方法来判断。（3）如果模型的解释变量中含有滞后的被解释变量，例如：此时，即使模型存在自相关性，DW值也会接近2。针对此类模型，德宾提出了一个新的检验统计量:即如下Durbin-h统计量：因此，利用正态分布可对一阶自相关性进行直接进行检验。具体步骤如下：估计模型：LSYCXY(-1)根据输出的DW统计量值和计算h统计量因为

4.高阶自相关性检验(1)偏相关系数检验偏相关系数是衡量多个变量间相关程度的重要指标，可用其来判断自相关性的类型。利用Eviews软件计算偏相关系数，有如下两种方式：【命令方式】IDENTRESID

由布罗斯（Breusch）与戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被称为GB检验。克服了DW检验的缺陷，适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量的情形。

对于模型如果怀疑随机扰动项存在如下p阶序列相关：

(2）布罗斯－戈弗雷检验(Breusch-Godfrey)(G-B)或拉格朗日乘数（Lagrangemultiplicator）检验

GB检验可用来检验如下受约束回归方程

假设H0:

1=

2=…=

p=0（即不存在自相关）对该假设的检验过程如下：（1）利用OLS法估计模型，得到残差序列;(2)将关于所有的解释变量和残差的滞后值（p期）进行回归：并计算出辅助回归模型的判定系数（3）B-G证明：在大样本下渐进地有：其中，n为样本容量。

给定

，查临界值

2(p),若则拒绝即认为至少有一个显著地不等于零！

例题3中国城乡居民储蓄存款模型(P89)利用Eviews可以直接进行B-G检验：在方程窗点击View\ResidualTest\SerialCorrelationLMTest,将出现辅助回归模型地有关信息，如及其概率临界值。但B-G检验需人为确定滞后期地长度，一般在实际检验中，可从1阶、2阶、…逐次向更高阶检验直到10阶左右，如检验结果均不显著，则可以认为不存在自相关性。例3．中国城乡居民储蓄存款模型（自相关性检验）。教材P94表3-2列出了我国城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）和国内生产总值指数（1978年=100）的历年统计资料，试建立居民储蓄存款模型，并检验模型的自相关性。

(1)绘制相关图，确定模型的函数形式。

SCATXY操作演示图形显示两者存在着明显的曲线相关关系，所以将居民储蓄存款模型的函数形式初步确定为：双对数模型，指数曲线模型和二次多项式模型。(2)利用OLS法估计模型，并选择统计检验结果较好的模型。

GENRLNY=LOG(Y)GENRLNX=LOG(X)GENRX2=X^2LSLNYCX(指数模型)LSYCXX2(二次模型)LSLNYCLNX(双对数模型)

经过比较、分析，取居民储蓄存款模型为双对数模型，估计结果为：操作演示对应的标准差对应的R2值调整的R2值对应的DW值(3)检验自相关性从图中可以明显看出，我国城乡居民储蓄存款模型存在着一阶和二阶自相关性。

操作演示滞后期自相关系数偏自相关系数自相关系数直方图偏自相关系数直方图偏自相关系数>0.5自相关系数>0.5④BG检验：在方程窗口中点击所以只要取显著水平=0.0033，就可以认为辅助回归模型是显著的，即存在自相关性。又因为et-1,et-2的回归系数均显著的不为零，表明居民存款模型存在一、二阶自相关性。

操作演示nR2=21×0.54309临界概率

如果模型被检验证明存在序列相关性，首先应分析模型是否遗漏了重要的解释变量，或模型的函数形式是否设置不当。排除这些因素的影响后，如仍有自相关性，则需要发展新的方法估计模型。

最常用的方法是广义最小二乘法（GLS:Generalizedleastsquares）和广义差分法(GeneralizedDifference)。四、序列相关的解决方法

1、广义差分法设线性回归模型

yt=a+bxt+εt存在一阶自相关性：εt=ρεt-1+υt将模型滞后一期，得:yt-1=a+bxt-1+εt-1在方程两边同乘以ρ，并与原模型相减得：

yt-ρyt-1=a(1-ρ)+b(xt-ρxt-1)+(εt-ρεt-1)作广义差分变换：则称为广义差分模型，其中，A=a(1-ρ)。变换后模型的随机误差项υt满足回归模型的基本假定，所以可以利用OLS法估计参数A、b，进而得到：

若ρ=1，则可得到一阶差分模型

yt-yt-1=b(xt-xt-1)+υt如果自相关类型为高阶自回归形式：

εt=ρ1εt-1+ρ2εt-2+…+ρpεt-p+νt则广义差分变换为（以一元线性回归模型为例）：同理得到满足基本假定的模型：这样就可以对变换后的模型进行OLS估计，得到的仍然最佳估计量。

2．自相关系数ρ的估计方法

利用广义差分法处理自相关性时，需要事先估计出ρ的值。ρ的常用估计方法有：（1）近似估计法在大样本(n≥30)情况下，因为DW≈2（1-ρ），所以可以用DW值近似估计ρ：对于小样本(n<30)，泰尔（Thei1.H）建议使用下述近似公式：其中k为解释变量个数，当n→∞时，=1-DW/2。（2）迭代估计法

迭代估计法的具体步骤为：①利用OLS法估计模型，计算第一轮残差et(1)；②根据残差et(1)

计算ρ的（第一轮）估计值：③利用估计的ρ值进行广义差分变换：并估计广义差分模型④计算（第二轮）残差和ρ的估计值：⑤重复执行③、④两步，直到ρ的前后两次估计值比较接近，即估计误差小于事先给定的精度δ时为止：迭代估计法又称为科克伦-奥克特（Cochrane-Orcutt）估计法，EViews软件就是采用这种方法来估计自相关性模型。

3．广义差分法的EViews软件实现（1）利用OLS法估计模型，系统将同时计算残差序列RESID：

LS Y C X（2）判断自相关性的类型：

IDENT RESID根据et和et-s(s=1,2……p)的偏相关系数，初步确定自相关的类型；（3）利用广义差分法估计模型：在LS命令中加上AR项，系统将自动使用广义差分法来估计模型。如自相关类型为一阶自回归形式，则命令格式为

LSYCXAR(1)

如果模型为高阶自相关形式，则命令格式为

LSYCXAR(1)AR(2)……AR(k)k阶自相关（4）迭代估计过程的控制：EViews软件按照默认的迭代次数（100次）和误差精度（0.001）来控制迭代估计程序。例4．中国城乡居民储蓄存款模型（自相关性调整）。(1)迭代估计法：根据例3的检验结果，模型存在一、二阶自相关性，即

εt=ρ1εt-1+

ρ2εt-2νt

键入命令

LSYCXAR(1)AR(2)操作演示输出结果表明，估计过程经过5次迭代后收敛；模型已消除了自相关性的影响，中国城乡居民储蓄存款模型应该为:ρ1的估计值ρ2的估计值调整后的DW值R2的值对应的标准差(2)广义差分变换法

为了便于理解迭代估计法的估计过程，再利用广义差分变换直接估计模型。取ρ1=0.9531，ρ2=-0.5966。做广义差分变换（首先生成Y、X的对数变量）：GENR LNY=log(Y)GENR LNX=log(X)GENR NY=LNY－0.9531*LNY(-1)＋0.5966*LNY(-2)GENR NX=LNX－0.9531*LNX(-1)＋0.5966*LNX(-2)再利用OLS法估计变换后的模型：LSNYCNX估计结果如下图所示:

变换后的模型为：操作演示

=-5.0499/(1-0.9531+0.5966)=-7.8476，所以使用广义差分变换直接估计出的模型为：对应的标准差R2的值DW的值除了计算误差之外，两种方法的估计结果是一致的。练习题：1、简述自相关性产生的原因及其后果。

2、简述DW检验的基本原理和步骤。3、简述BG检验的基本原理。

1、广义最小二乘法

对于多元线性回归模型

Y=X

+

如果存在序列相关，同时存在异方差，即有

是一n阶实对称（正定）矩阵，如果则满足古典回归模型中关于同方差和非自相关性的假设，可用OLS法估计参数；，这时，存在一可逆矩阵D，使得：

=DD’变换原模型（两边同乘以D-1）：

D-1Y=D-1X

+D-1

即

Y*=X*

+

*(*)(*)式的OLS估计：这就是原模型的广义最小二乘估计量(GLSestimators)，是无偏的、有效的估计量。该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性：可见：GLS估计即对不满足基本假定的模型做适当线性变换后使其满足基本假定，从而可用OLS法！

如何得到矩阵

？

对

的形式进行特殊设定后，才可得到其估计值。如设定随机扰动项为一阶序列相关形式

i=

i-1+

i则2、广义差分法

广义差分法是将原模型变换为满足OLS法的差分模型，再进行OLS估计。如果原模型为多元线性回归模型：由此可见;对存在自相关性的模型进行广义差分变换，就可以消除模型中的自相关性！然后对变换后的模型进行OLS估计，得到BLUE.这种方法称为“广义差分法”注意：(P103)（1）广义差分法与广义最小二乘法是等价的！（2）OLS,WLS,和广义差分法都是GLS法的特例！（3）当模型存在异方差性，自相关性时，GLS估计才是BLUE!3、随机误差项相关系数的估计

应用广义最小二乘法或广义差分法，必须已知随机误差项的相关系数

1,

2,…,

L。

实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行估计。

常用的估计方法有：近似估计法科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。杜宾（durbin）两步法（1）近似估计法(P93)（2）科克伦-奥科特迭代法。

以一元线性模型为例：首先，采用OLS法估计原模型

Yi=

0+

1Xi+

i得到的

的“近似估计值”，并以之作为观测值使用OLS法估计下式

i=

1

i-1+

2

i-2+

L

i-L+

i求出

i新的“近拟估计值”，

并以之作为样本观测值，再次估计

i=

1

i-1+

2

i-2+

L

i-L+

i

类似地，可进行第三次、第四次迭代。

关于迭代的次数，可根据具体的问题来定。一般是事先给出一个精度，当相邻两次

1,

2,,

L的估计值之差小于这一精度时，迭代终止。实践中，有时只要迭代两次，就可得到较满意的结果。两次迭代过程也被称为科克伦-奥科特两步法。Eviews软件即用此方法来估计自相关模型的！（3）杜宾（durbin）估计法（3*）杜宾（durbin）两步法

该方法仍是先估计

1,

2,,

l，再对差分模型进行估计第一步，变换差分模型为下列形式进行OLS估计，得各Yj（j=i-1,i-2,…,i-l)前的系数

1,

2,,

l的估计值应用软件中的广义差分法

在Eview软件包下，广义差分采用了科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法估计

。在解释变量中引入AR(1)、AR(2)、…，即可得到参数和ρ1、ρ2、…的估计值。

其中AR(m)表示随机误差项的m阶自回归。在估计过程中自动完成了ρ1、ρ2、…的迭代。如果能够找到一种方法，求得Ω或各序列相关系数

j的估计量，使得GLS能够实现，则称为可行的广义最小二乘法（FGLS,FeasibleGeneralizedLeastSquares）。FGLS估计量，也称为可行的广义最小二乘估计量（feasiblegeneralleastsquaresestimators）可行的广义最小二乘估计量不再是无偏的，但却是一致的，而且在科克伦-奥科特迭代法下，估计量也具有渐近有效性。前面提出的方法，就是FGLS

注意：

4、虚假序列相关问题由于随机项的序列相关往往是在模型设定中遗漏了重要的解释变量或对模型的函数形式设定有误，这种情形可称为虚假序列相关(falseautocorrelation)

，应在模型设定中排除。

避免产生虚假序列相关性的措施是在开始时建立一个“一般”的模型，然后逐渐剔除确实不显著的变量。五、案例：中国商品进口模型

经济理论指出，商品进口主要由进口国的经济发展水平，以及商品进口价格指数与国内价格指数对比因素决定的。由于无法取得中国商品进口价格指数，我们主要研究中国商品进口与国内生产总值的关系。（下表）。

1.通过OLS法建立如下中国商品进口方程：

（2.32）（20.12）