2026年秋季北师大版八年级数学上册第4章《4.1函数》学案

2026年秋季北师大版八年级数学上册第4章《4.1函数》学案学习目标1.通过具体实例，感受在一个变化过程中两个变量之间的依赖关系，初步理解函数的概念。2.能结合具体情境，判断两个变量之间是否存在函数关系。3.能识别简单问题中的自变量与因变量，了解函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），并能根据具体情况选择合适的表示方法。4.在探索函数概念的过程中，体会数学与现实生活的密切联系，培养抽象思维能力和应用意识。学习重点与难点*重点：理解函数的概念，能判断两个变量之间是否存在函数关系。*难点：对函数概念中“对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应”这一核心内涵的理解。课前准备1.回顾小学阶段学过的一些数量关系，如路程、速度、时间的关系；总价、单价、数量的关系等。2.预习课本中关于函数的相关内容，尝试理解什么是变量，什么是常量。课堂探究一、情境引入，感知变化问题1：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶的时间为t小时，行驶的路程为s千米。（1）请填写下表：时间t（小时）123...----------------------------路程s（千米）...（2）在这个过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？（3）路程s的值是随着哪个量的变化而变化的？当t取一个确定的值时，s的值能确定吗？问题2：如图是某地一天的气温变化图（此处可想象一个简单的气温曲线图，横轴为时间，纵轴为气温）。（1）这天的6时、12时、18时的气温分别是多少？（2）在这个过程中，哪些量在发生变化？（3）气温的值是随着哪个量的变化而变化的？当时间取一个确定的值时，气温的值能确定吗？思考与讨论：上述两个问题有什么共同的特点？二、抽象概括，形成概念1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量。*在问题1中，变量是_______和_______，常量是_______。*在问题2中，变量是_______和_______。2.函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。*关键词理解：*“两个变量”：一个变化过程中至少有两个变量。*“x的每一个确定的值”：自变量x在某个范围内可以取不同的值。*“y都有唯一确定的值与其对应”：对于x的每一个值，y不能有两个或更多个不同的值。试一试：判断下列问题中两个变量之间是否存在函数关系。（1）长方形的长为5cm，宽为xcm，面积为ycm²。y是x的函数吗？（2）一个数x，它的平方根为y。y是x的函数吗？为什么？（3）小明的年龄x岁，他的身高为ycm。y是x的函数吗？（结合实际思考）三、函数的表示方法函数关系是多种多样的，常用的表示方法有以下三种：1.解析法：用数学式子表示函数关系的方法。例如：问题1中，路程s与时间t的关系可表示为s=60t。这种用等式来表示函数关系的方法就是解析法。优点：能准确地反映整个变化过程中两个变量之间的关系，便于进行理论分析和计算。2.列表法：通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法。例如：问题1中填写的表格，以及我们学过的平方表、平方根表等。优点：能直接看出自变量取某些值时对应的函数值。3.图象法：用图象来表示函数关系的方法。例如：问题2中的气温变化图，它是用平面直角坐标系中的曲线来表示时间和气温之间的关系。优点：能直观形象地反映函数值随自变量变化的趋势。做一做：某种笔记本每本定价2元。（1）填写下表（用列表法表示购买笔记本的数量x（本）与总价y（元）之间的关系）：x（本）12345...-----------------------------y（元）...（2）用解析法表示y与x之间的关系：_________________。（3）尝试用图象法在坐标系中表示出这种关系（提示：x取正整数）。四、辨析与深化议一议：下列图象中，哪些表示y是x的函数？（可在学案中画出几个简单的图象供学生判断，如：一条直线、一个圆、一个抛物线、一个“V”字形等）归纳：对于函数的图象，一个重要的判断标准是：过x轴上任意一点作垂直于x轴的直线，若该直线与函数图象最多只有一个交点，则y是x的函数。这通常称为“垂直于x轴的直线检验法”（或简称为“竖线检验法”）。典型例题分析例1：下列变量之间的关系中，哪些是函数关系？为什么？（1）圆的周长C与半径r之间的关系；（2）人的身高与体重之间的关系；（3）等腰三角形的顶角的度数α与底角的度数β之间的关系。分析：（1）圆的周长C与半径r之间存在确定的关系C=2πr，对于半径r的每一个确定的值，周长C都有唯一确定的值与之对应，所以C是r的函数。（2）人的身高与体重之间有一定的关联，但不是确定的关系。相同身高的人，体重可能不同；同样，相同体重的人，身高也可能不同。因此，体重不是身高的函数。（3）等腰三角形的两个底角相等，所以α+2β=180°，即β=(180°-α)/2。对于顶角α的每一个确定的值（0°<α<180°），底角β都有唯一确定的值与之对应，所以β是α的函数。例2：已知函数y=2x-1。（1）当x=-1时，求y的值；（2）当y=3时，求x的值。分析：（1）将x=-1代入函数关系式y=2x-1中，得y=2×(-1)-1=-3。（2）当y=3时，可得方程2x-1=3，解这个方程得x=2。课堂练习1.指出下列变化过程中的变量和常量：（1）购买单价为0.5元的铅笔，买x支铅笔的总价为y元。（2）一个盛满30升水的水箱，每小时流出0.5升水，t小时后，水箱中剩余的水量为Q升。2.判断下列关系是否为函数关系：（1）y=±x；（2）y=x²；（3）人的年龄与学历。3.已知函数y=3x+2。（1）当x=0时，y=______；（2）当x=______时，y=8。4.某种储蓄的月利率是0.3%，存入1000元本金后，本息和y（元）与所存月数x之间的函数关系式是什么？（本息和=本金+利息）课堂小结与反思1.通过本节课的学习，你对“函数”有了哪些新的认识？2.函数概念中的核心是什么？你是如何理解“唯一确定”的？3.函数有哪几种表示方法？它们各有什么特点？4.在学习过程中，你遇到了哪些困难？是如何解决的？拓展延伸生活中还有很多函数关系的例子，比如一天中不同时刻的杆影长度与时间的关系，弹簧的伸长量与所挂重物质量的关系等。请你选择一个生活中的实例，尝试分析其中的变量关系，并判断是否为函数关系，若可能，用适当的方法表示出来。课后作业1.完成课本对应练习题。2.一个三角形的底边长为5cm，高为hcm，面积为Scm²。（1）写出S