小学奥数排列组合学生版

小学奥数排列组合学生版同学们，在我们的数学世界里，常常会遇到这样的问题：从一些不同的物品中选出几个，或者把它们按一定的顺序排好，有多少种不同的方法呢？比如，我们要从3个不同的气球中选出2个送给好朋友，有多少种选法？如果要把这3个气球挂成一排装饰教室，又有多少种不同的挂法呢？这些问题，都需要用到我们今天要学习的排列与组合知识。它们是解决计数问题的重要工具，能帮助我们有条理地思考，不重复、不遗漏地算出所有可能的结果。一、什么是排列？排列，简单来说，就是指从一些不同的元素中，取出一部分（或者全部），按照一定的顺序排成一列。这里的“顺序”非常关键，顺序不同，就算选出来的元素一样，也算是不同的排列。比如，我们有甲、乙、丙三个人，要从中选出两个人站成一排拍照，有多少种不同的站法呢？我们来列举一下：1.甲站在左边，乙站在右边，这是一种：甲、乙2.乙站在左边，甲站在右边，这又是一种：乙、甲3.甲站在左边，丙站在右边：甲、丙4.丙站在左边，甲站在右边：丙、甲5.乙站在左边，丙站在右边：乙、丙6.丙站在左边，乙站在右边：丙、乙所以一共有6种不同的站法。1.1简单的排列计算如果我们有`n`个不同的元素，要从中选出`m`个（`m≤n`），并按一定顺序排列，有多少种不同的排列方法呢？我们可以这样想：*第一个位置，我们有`n`种选择；*选好第一个位置后，第二个位置就只剩下`n-1`种选择了（因为不能重复选同一个元素）；*第三个位置，就有`n-2`种选择；*……*以此类推，第`m`个位置，就有`n-(m-1)`种选择，也就是`n-m+1`种选择。所以，总的排列方法数就是这`m`个数相乘：`P(n,m)=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)`这个公式读作“从n个元素中取m个的排列数”。特别地，当`m=n`时，也就是把所有`n`个元素都拿来排列，叫做“全排列”。这时：`P(n,n)=n×(n-1)×(n-2)×…×1`这个乘积有个专门的名称，叫做`n`的“阶乘”，记作`n!`。比如，3个人全排列，`P(3,3)=3!=3×2×1=6`，这和我们刚才列举的结果是一样的。1.2排列的例题例题1：用数字1、2、3可以组成多少个没有重复数字的两位数？分析：这是从3个不同数字中选2个进行排列。第一位（十位）有3种选择（1、2、3）。选完十位后，第二位（个位）就只剩下2种选择了（因为不能重复）。所以，总共的两位数个数是：`3×2=6`（种）。具体是：12、13、21、23、31、32。例题2：书架上有5本不同的故事书，小明想从中选2本，一本自己看，一本送给弟弟。有多少种不同的选法？分析：这里“自己看”和“送给弟弟”是不同的“顺序”，所以是排列问题。从5本中选2本的排列数：`P(5,2)=5×4=20`（种）。二、什么是组合？组合，则是指从一些不同的元素中，取出一部分（不考虑顺序），不管它们之间的顺序如何，只算做一种情况。还是刚才的例子：有甲、乙、丙三个人，要从中选出两个人参加一个活动，有多少种不同的选法呢？这次，选出甲和乙，与选出乙和甲，其实是同一种选法，因为参加活动的两个人没有顺序之分。所以：1.甲和乙2.甲和丙3.乙和丙只有3种不同的选法。2.1简单的组合计算从`n`个不同的元素中，选出`m`个（`m≤n`），不考虑顺序，有多少种不同的组合方法呢？我们已经知道，从`n`个元素中选`m`个进行排列的方法数是`P(n,m)`。而每一个组合，都可以对应`m!`种不同的排列（因为这`m`个元素可以全排列）。所以，组合数就应该是排列数除以`m!`。`C(n,m)=P(n,m)/m!=[n×(n-1)×…×(n-m+1)]/[m×(m-1)×…×1]`这个公式读作“从n个元素中取m个的组合数”。比如，从3个人中选2个人的组合数：`C(3,2)=P(3,2)/2!=(3×2)/(2×1)=3`，这和我们刚才列举的结果一致。2.2组合的例题例题3：从苹果、香蕉、橘子、梨这4种水果中，选出2种做水果沙拉，有多少种不同的选法？分析：选苹果和香蕉，与选香蕉和苹果，做出来的沙拉是一样的，所以不考虑顺序，是组合问题。`C(4,2)=(4×3)/(2×1)=6`（种）。具体是：苹果香蕉、苹果橘子、苹果梨、香蕉橘子、香蕉梨、橘子梨。例题4：一个小组有7名同学，要选出3名同学参加数学竞赛，有多少种不同的选法？分析：选出的3名同学去参加竞赛，没有顺序上的差别，所以是组合问题。`C(7,3)=(7×6×5)/(3×2×1)=35`（种）。三、排列与组合的区别排列和组合最根本的区别就在于：是否考虑顺序。*排列：有顺序，“谁在前，谁在后”是不一样的。*组合：无顺序，“谁和谁一组”才是关键，顺序无关紧要。为了帮助大家区分，我们来看几个对比：*从5个人中选2个人担任正、副班长：这是排列，因为正班长和副班长是不同的“职位”，有顺序。*从5个人中选2个人参加一个会议：这是组合，因为参会的两个人没有顺序之分。*用1、2、3三个数字组成不同的三位数：这是排列，因为数字的位置不同，数就不同。*从1、2、3三个数字中选出两个数字求和：这是组合，因为1+2和2+1的结果是一样的。小窍门：如果把选出的元素交换位置后，结果发生了变化，那就是排列；如果结果没变，那就是组合。四、解题小技巧1.仔细审题，明确是排列还是组合：这是解决问题的第一步，也是最关键的一步。看清楚问题中是否涉及到“顺序”、“位置”、“名次”等词语，如果有，通常是排列；如果只是“选出”、“组成一组”等，通常是组合。2.优先考虑特殊情况：如果问题中存在一些限制条件（比如某些元素不能在某个位置，或者必须包含某个元素等），要优先考虑这些特殊情况，再处理其他部分。3.学会“分类”和“分步”：*分类：如果完成一件事情有几种不同的途径，每种途径都能独立完成这件事，那么总的方法数就是各种途径方法数的和（加法原理）。*分步：如果完成一件事情需要分成几个步骤，每个步骤都完成了，事情才算完成，那么总的方法数就是各个步骤方法数的乘积（乘法原理）。排列数公式的推导其实就用到了乘法原理。4.多练习，多总结：排列组合的题目变化较多，需要通过练习来熟悉不同的题型和解题思路，并注意总结规律。五、巩固练习1.有4个小朋友：小明、小红、小刚、小芳，每两个人握一次手，一共要握多少次手？（提示：握手没有顺序）2.用0、1、2这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？（提示：0不能在十位）3.从5种不同的颜色中选出2种给一幅画涂色（一种颜色涂背景，一种颜色涂主体），有多少种不同的涂法？（提示：背景和主体颜色不同，有顺序）4.学校要从6名候选人中选出3名三好学生，有多少种不同的选法？5.有5本不同的书，要借给3个同学，每人借1本，有多少种不同的借法？答案与提示：1.6次。这是组合问题，`C(4,2)=(4×3)/(2×1)=6`。2.4个。十位可以是1或2（2种选择），个位则可以是剩下的两个数字（包括0），所以`2×2=4`，分别是10、12、20、21。3.20种。这是排列问题，`P(5,2)=5×4=20`。4.20种。这是组合问题，`C(6,3)=(6×5×4)/(3×2×1)=20`。5.60种。这是排列问题，第一本书有5种借法，第二本书有4种借法，第