四川省仁寿第一中学南校区2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

仁寿第一中学校南校区高一下期入学考试卷数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则

（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式以及对数函数的性质化简两个集合，即可根据并集的定义求解.【详解】或，，故.2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由否定的定义判断即可.【详解】命题“，”的否定为“，”.故选：D3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】；.因为“”是“”的必要不充分条件.所以“”是“”的必要不充分条件.4.函数

的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】结合选项可知，因为函数和在均为增函数，所以函数在上单调递增，又，，，所以函数的零点在区间上.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】将异名三角函数化为同名三角函数，在根据平移规则，再求解出答案.【详解】因为，所以，要得到函数，只需要将函数得图象向右平移个单位长度即可.故选：B.6.已知函数，设函数，则下列说法错误的是（）A.是偶函数 B.函数有两个零点C.在区间上单调递减 D.有最大值，没有最小值【答案】B【解析】【分析】画出函数图象，数形结合对各个选项逐个判断即可.【详解】在同一直角坐标系中，画出函数，的图象，由可得，可得，可得，解得，从而得函数图象，如图实线部分：对于A，因为函数图象关于轴对称，所以是偶函数，正确；对于B，根据零点的定义结合函数的图象知，函数有三个零点，分别为，错误；对于C，从函数图象观察得在区间上单调递减，正确；对于D，从函数图象观察得有最大值，没有最小值，正确；故选：B.7.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为，所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，又，所以为等边三角形，则，故，所以向量在向量上的投影向量为：．故选：A．8.已知函数的部分图象如图所示，则（）A1 B.2 C.3 D.6【答案】D【解析】【分析】结合正弦函数性质结合图象中最大最小值可先计算出，再利用点计算出，最后借助点代入计算即可得的值.【详解】因为，所以，解得，所以，则，因为，所以，可得，因为，所以，即，因为，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】对A，利用不等式的性质可以判断；对B，利用特殊值可以判断；对C、D通过作差比较可以判断.【详解】对A，因为，根据不等式的基本性质可得，故A正确；对B，当时，，故B不正确；对C，由，得，所以，故C正确；对D，由，得，且不同时为0，所以，故D正确.故选：ACD.10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.该图象对应的函数解析式为B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减【答案】AD【解析】【分析】由图象求出函数解析式，再根据正弦函数性质判断各选项.【详解】由题意，，则，，又，所以，所以，A正确；，所以是图象的对称轴，B错；，是图象的对称中心，C错；时，，递减，D正确.故选：AD.11.若平面向量两两的夹角相等，且，则（）A.2 B. C.5 D.【答案】AC【解析】【分析】由平面向量两两的夹角相等可知有两种可能，分类讨论可求解.【详解】因为平面向量两两的夹角相等，所以其夹角为或.当夹角为时，；当夹角为时，，所以或2.故选：AC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则_________.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的数量积的坐标表示即可求值.【详解】因为，所以，所以，解得.故答案为：.13.已知，且，则________．【答案】【解析】【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的值，利用的范围确定的符号.【详解】设,,那么,从而.于是.因为,所以.由,得.所以,所以.故答案为：.14.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c则a，b，c由小到大的顺序是________．【答案】a<c<b【解析】【详解】因为函数f(x)＝2x＋x的零点在(－1,0)上，函数g(x)＝log2x＋x的零点在(0,1)上，函数h(x)＝x3＋x的零点为0，所以a<c<b.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面直角坐标系中，点为原点，，．（1）求的坐标及；（2）若，，求及的坐标；（3）求．【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】（1）先求得，再根据向量模的坐标公式即可求解；（2）根据向量线性运算的坐标表示，即可求解；（3）根据数量积的坐标表示即可求解.【小问1详解】，.【小问2详解】，.【小问3详解】,.16.（1）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出的值，利用诱导公式化简可得结果.（2）根据条件计算，结合角的范围分析的正负，求出的值即可得到结果.【详解】（1）由题意得，，∴.（2）∵，∴，即，故，∵，∴，故，∴，故，∴.17.已知函数的最大值为.（1）求函数的最小正周期和常数的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）求使成立的的取值集合.【答案】（1）最小正周期为；.（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质即可求解；（2）利用正弦函数单调性求解即可；（3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式.【小问1详解】，此时函数的最小正周期，因为的最大值为，且函数的最大值为，所以，解得.【小问2详解】由（1）可知，由，解得，所以函数的单调递减区间为.【小问3详解】由，得，即，所以，解得，因此，满足的的取值集合为.18.设函数为奇函数．（1）确定的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）在上单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）奇函数满足恒成立，然后求解得，最后检验即可；（2）先设，然后判断的正负，利用定义证明即可；（3）利用函数的奇偶性与单调性求解即可.【小问1详解】由题可知恒成立，得，即恒成立，化简得，得，当时，，此时定义域为，满足，所以满足；当时，，此时定义域为，所以非奇非偶，所以不满足；故.【小问2详解】在上单调递增，证明如下：设，得，因为，所以，得，得，所以在上单调递增.【小问3详解】由题得，即，由（2）可得，解得，所以解集为：.19.对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”，（1）请证明：函数（）不存在“理想区间”；（2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”；（3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用的单调性，转化为，解方程即可证明；（2）利用二次函数的性质以及函数的值域，求出，结合对称轴，得到在上必为增函数，由求解即可；（3）由函数单调性和新定义知，方程有两个同号的实数根m，n，（），利用韦达定理表示，然后利用二次函数的性质求解即可.【小问1详解】由为上的增函数，则有，所以，所以，无解，所以（）不存在“理想区间”；小问