直线与平面垂直（第1课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直第八章

立体几何初步8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的概念与判定复习引入1.空间中两条直线垂直的含义是什么？2.判定直线与平面平行有哪些理论依据？3.对于“直线与平面平行”，已构建了定义、判定定理和性质定理等相关理论，对于“直线与平面相交”还只停留在概念层面上，有待作进一步研究.4.基于上述直观认识，理论上如何定义、判定直线与平面垂直？1.空间中两条直线垂直的含义是什么？如果两条直线的夹角是90°，则称这两条直线互相垂直.2.判定直线与平面平行有哪些理论依据？（1）定义：如果直线l与平面α没有公共点，则l∥α.αβlm（2）判定定理：若l⊄α，m⊂α，且l∥m，则l∥α.（3）面面平行性质：若α∥β，l⊂β，则l∥α.3.对于“直线与平面平行”，已构建了定义、判定定理和性质定理等相关理论，对于“直线与平面相交”还只停留在概念层面上，有待作进一步研究.对于地面上直立的旗杆，其所在直线与地面不仅相交，而且给人垂直的形象.一般地，当直线l与平面α垂直时，对于平面α内的直线m，它与直线l的位置关系如何？思考1相交或异面，且m⊥l.思考2过点P且与平面α垂直的直线有几条？有且只有一条.如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，则可断定l⊥α，但这种方法不便于操作.①如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能判定l⊥α吗？不能判定.②如果直线l与平面α内的两条直线a，b都垂直，能判定l⊥α吗？思考3若直线a，b平行，则不能判定；若直线a，b相交，则似乎可以判定.猜想：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则l⊥α.4.基于上述直观认识，理论上如何定义？如何判定直线与平面垂直？请大家阅读教材.教材导学

1.

直线与平面垂直的含义是什么？2.

点到平面的距离的含义是什么？3.直线与平面垂直的判定定理是什么？用符号语言如何表述？4.例3是线面垂直的一个判定原理，用符号语言如何表述？1.直线与平面垂直的含义是什么？如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.线面垂直的含义

α直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们的交点P叫做垂足.2.

点到平面的距离的含义是什么？过一点作垂直于平面的直线，

α

则该点与垂足间的线段PQ，叫做这个点到平面的垂线段，

垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.3.直线与平面垂直的判定定理是什么？用符号语言如何表述？线面垂直判定定理a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b.

α如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.

⇒l⊥α.

符号语言图形语言若l∥m，m⊥α，则l⊥α.4.例3是线面垂直的一个判定原理，用符号语言如何表述？如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么，另一条直线也垂直于这个平面.判定原理

α

符号语言具体情况请大家阅读教材.拓展探究1.

如何证明直线与平面垂直的判定定理？2.

图，直线l与平面α相交但不垂直，它在平面α内的正投影为b，直线a在平面α内，如果a⊥b，那么a与l垂直吗？反之成立吗？3.

如图，过平面α外一点P作平面α的垂线，垂足为O，点A、B在平面α内.如果PA≥PB，则OA与OB的大小关系如何？反之成立吗？1.

如何证明直线与平面垂直的判定定理？证明：如图，O，A，B为平面α内不共线三点，C为平面α任意一点，若OP⊥OA，OP⊥OB，则

α

2.

如图，直线l与平面α相交但不垂直，它在平面α内的正投影为b，直线a在平面α内，如果a⊥b，那么a与l垂直吗？反之成立吗？三垂线原理：a⊥b⇔a⊥lα

3.如图，过平面α外一点P作平面α的垂线，垂足为O，点A、B在平面α内.如果PA≥PB，则OA与OB的大小关系如何？反之成立吗？斜线长度定理：PA≥PB⇔OA≥OB.

α

巩固应用

例1在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.

例2.

在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，侧面A₁ACC₁为正方形，M、N分别为B₁C₁，A₁B的中点，求证：直线MN⊥平面A₁BC.【证明】连结AB₁，A₁C，则N是AB₁的中点.

例3

在半径为13的球面上有A，B，C三点，已知AB＝6，BC＝8，CA＝10，求球心O到平面ABC的距离.【解析】过点O作平面ABC的垂线，垂足为M，

例4

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA₁＝2，AC＝A₁C，求四棱锥A₁－BB₁C₁C的高.

过A₁作A₁D⊥CC₁，垂足为D，

则A₁D⊥BC，小结1.直线与平面垂直可以理解为直线与平面内的所有直线都垂直.判断或证明直线l与平面α垂直，一般用判定定理作为逻辑依据，即在平面α内找出两条相交直线，并说明它们都与直线l垂直.2.线线垂直与线面垂直相互依存，相互转化.判断或证明两直线垂直，可以转化为判断或证明其中一条直线垂直于经过另一条直线的平面.3.掌握两个原理：①如果两条