2026年排列与排列数说课稿

2026年排列与排列数说课稿教学课题课时备课时间授课时间教学内容一、教学内容本节课选自高中数学选择性必修第二册第十章“计数原理”第一节“排列”，主要内容包括排列的概念（从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排成一列）、排列数的定义（所有排列的个数，记作A_n^m）、排列数公式A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)的推导过程，以及利用排列数公式解决简单的排列应用问题（如数字排列、人员顺序问题等）。核心素养目标二、核心素养目标通过排列概念的抽象概括，发展数学抽象素养；经历排列数公式的逻辑推导过程，强化逻辑推理能力；运用排列数公式解决排列应用问题，提升数学运算与数学建模素养。学习者分析1.学生已掌握分步乘法计数原理及组合的基础知识，理解从n个元素中取m个无序组合的概念，具备初步的符号运算能力。

2.学生对生活中的排列问题（如排队、密码设置）兴趣较高，逻辑推理能力较强，但抽象思维和符号化表达存在个体差异，部分学生偏好通过实例理解概念。

3.学生可能混淆排列与组合的区别，忽略顺序性；排列数公式的推导涉及阶乘符号，符号运算易出错；应用题中识别排列类型（如重复元素、限制条件）存在困难，需强化模型构建能力。教学资源四、教学资源多媒体教室（含投影仪、电子白板）；黑板、粉笔、排列演示教具（数字卡片、字母卡片）；校内在线教学平台（学习通、雨课堂）；PPT课件（排列概念动画、公式推导流程图、例题情境视频）；互动习题软件（即时反馈答题情况）；排列数计算小程序；学生练习本、草稿纸。教学过程设计基本内容**（总时长：45分钟）**

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**（一）导入环节（5分钟）**

1.**情境创设**：展示“手机解锁密码”问题（4位数字，可重复），提问：“若密码不能重复，有多少种可能？”

2.**问题引导**：学生尝试列举（如1234,1243...），发现顺序不同结果不同，引出“排列”概念。

3.**互动提问**：教师追问：“生活中还有哪些类似场景？”（如排队、比赛名次），学生举例，教师板书关键词：**顺序性、不重复**。

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**（二）讲授新课（15分钟）**

1.**概念形成（5分钟）**

-**定义讲解**：结合板书，明确排列定义：“从n个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列”。

-**对比辨析**：教师展示“组合”问题（如选3人小组），提问：“与排列有何区别？”学生讨论，强调“顺序是否影响结果”。

-**符号引入**：教师书写排列数符号\(A_n^m\)，说明含义：“所有排列的个数”。

2.**公式推导（7分钟）**

-**阶梯式提问**：

-“从3个元素中取2个排列，有多少种？”（学生列举：AB,AC,BA,BC,CA,CB→共6种）

-“如何用乘法原理计算？”（引导学生分步：第一步3选1，第二步2选1→\(3×2=6\)）

-“推广到一般情况：从n个取m个？”（学生推导：\(n×(n-1)×...×(n-m+1)\)）

-**师生共板书**：教师书写公式\(A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\)，学生同步填写课本空白处。

3.**公式简化（3分钟）**

-**阶乘关联**：教师提问：“能否用阶乘表示？”（学生尝试，教师补充：\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)）。

-**特例强调**：\(A_n^n=n!\)，举例“5人全排列”计算。

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**（三）巩固练习（15分钟）**

1.**基础应用（5分钟）**

-**例题1**：计算\(A_5^3\)，学生独立完成，教师巡视指导符号运算。

-**即时反馈**：使用互动软件展示答案，学生互评错误点（如漏乘项）。

2.**分层训练（7分钟）**

-**组内讨论**：

-组任务1：用数字1,2,3组成无重复三位数，有多少个？

-组任务2：5人站成一排，甲不在首位，有多少种排法？

-**小组展示**：每组派代表讲解思路，教师追问限制条件处理方法（如“特殊元素优先法”）。

3.**错题辨析（3分钟）**

-**典型错误**：展示“\(A_4^2=4×3×2\)”的错误案例，学生纠错并说明原因。

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**（四）课堂小结（5分钟）**

1.**学生自主梳理**：

-用3句话总结本节课核心：排列定义、公式推导、应用关键。

2.**教师板书强化**：

-重点框出\(A_n^m\)公式及“顺序性”核心特征。

3.**拓展提问**：

-“若元素可重复，排列数如何计算？”（为下节课埋下伏笔）。

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**（五）作业布置（5分钟）**

1.**基础题**：课本PXX第1、2题（公式计算）。

2.**提升题**：设计一个生活中的排列问题并求解。

3.**预习任务**：阅读“排列应用”例题，思考限制条件处理策略。

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**板书设计**

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排列与排列数

一、排列定义：n个取m个，按顺序排列→顺序性！

二、排列数：\(A_n^m=n(n-1)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\)

三、应用关键：

1.分步乘法原理2.限制条件处理（特殊元素优先）

```教学资源拓展**一、拓展资源**

1.**数学史中的排列起源**

古代《易经》中“八卦排列”蕴含的排列思想，印度数学家婆什迦罗对排列问题的研究，以及17世纪帕斯卡在《算术三角形》中对排列组合的系统阐述。这些资料可帮助学生理解排列概念的历史发展脉络，体会数学文化的延续性。

2.**生活中的排列实例库**

体育赛事中的赛制安排（如循环赛、淘汰赛的对阵组合），密码学中的排列加密原理（如凯撒密码的变体），DNA序列中的碱基排列与遗传信息传递，以及彩票号码、车牌号码设计中的排列应用。这些实例能强化学生对“顺序性”的实际感知，建立数学与生活的紧密联系。

3.**排列公式的深化推导材料**

递推法推导排列数公式：通过“第m个元素的n-m+1种选择”与剩余元素的排列关系，建立\(A_n^m=(n-m+1)A_n^{m-1}\)的递推式；概率视角推导：从n个元素中取m个的排列概率与全排列的比值关系；集合映射法：将排列问题转化为从m个位置到n个元素的单射计数。这些方法能拓展学生的逻辑思维，深化对公式本质的理解。

4.**跨学科应用案例集**

计算机科学中排列算法的时间复杂度分析（如全排列的递归与迭代实现），物理学中量子态的排列与概率分布，化学中同分异构体的排列结构分析，以及语言学中字母排列与单词生成的可能性研究。这些案例能帮助学生体会排列的广泛应用价值，培养跨学科素养。

5.**易错点辨析资源**

含重复元素的排列问题（如“有重复数字的三位数个数”），有限制条件的排列模型（如“相邻问题”“不相邻问题”“特殊位置优先法”），以及排列与组合的对比辨析题组（如“选3人committee”与“选3人并排序”的区别）。这些资源能针对性突破学生的认知误区，强化模型的准确构建能力。

**二、拓展建议**

1.**生活实例收集实践**

要求学生观察生活中的排列现象，记录至少3个实例（如班级座位调换方案、比赛出场顺序设计、数字密码组合），并尝试用排列数公式计算可能性。通过实例撰写报告，培养“用数学眼光观察世界”的能力，体会排列的实用价值。

2.**数学史专题探究**

小组合作完成“排列概念的发展历程”小课题，重点研究古代文明中的排列思想（如中国的“洛书”排列、阿拉伯的密码排列）与近代数学的系统化过程（如莱布尼茨对排列符号的贡献）。通过查阅书籍、文献资料（非网络资源），撰写1000字以内的探究报告，在班级分享交流，增强数学文化认同感。

3.**公式推导多路径挑战**

鼓励学生独立探索排列数公式的其他推导方法，如利用二项式系数关系、容斥原理或数学归纳法。要求至少选择一种新方法完成推导过程，并与课本中的乘法原理推导进行对比分析，提炼不同方法的适用场景，提升逻辑推理和创新思维能力。

4.**跨学科问题解决**

结合物理、化学或计算机学科中的实际问题，设计排列应用任务。例如：用排列计算10个电子在能级轨道上的可能分布状态（物理）；分析同分异构体C₅H₁₂的结构种类（化学）；编写程序实现从1-9中取3个数字的排列生成（计算机）。通过跨学科实践，深化对排列模型的理解，培养综合应用能力。

5.**易错模型专项突破**

针对含限制条件的排列问题，建立“问题类型-解题策略”思维导图。例如：相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊元素优先法等。通过完成10道典型易错题（含重复元素、多重限制条件），总结解题通法与注意事项，提升模型识别和转化能力。

6.**排列问题创意设计**

鼓励学生以“校园生活”“社会热点”为主题，自主设计1-2个排列应用问题，并附详细解答过程。例如：设计“校园开放日参观路线规划”中的排列问题，或“核酸检测顺序安排”中的限制条件排列问题。通过设计问题，反向深化对排列概念的理解，培养数学建模和创新意识。板书设计①核心概念

排列定义：从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排成一列

关键词：顺序性、不重复、有序

排列与组合区别：组合无序，排列有序

②排列数公式

基本公式：\(A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\)

阶乘形式：\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)

特例：\(A_n^n=n!\)

③应用关键方法

特殊元素优先法：先安排限制元素，再安排其他元素

相邻问题捆绑法：将相邻元素视为整体排列

不相邻问题插空法：先排无限制元素，再插入限制元素典型例题讲解例1：从5名同学中选3人排成一排，有多少种排法？

答案：A₅³=5×4×3=60种

例2：7人站成一排，甲不在首位，有多少种