湖南省师范大学附属中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

高一下学期期中考试数学时量：分钟满分：分一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集.集合.则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.B.C.D.3.如图，在中，，为CD的中点，设，，则（）A.B.C.D.4.函数的图象关于直线对称的图象大致是（）A.B.第1页/共5页C.D.5.若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（）A.B.C.D.6.若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知函数，当时，方程的根的个数是（）A.3B.4C.5D.68.已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（）A.B.C.D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在中，，则的面积可以是（）A.B.1C.D.10.将函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（）第2页/共5页A.B.函数的最小正周期为C.函数的图象关于点成中心对称D.函数的一个单调递减区间为已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（）A.该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等B.平面截该正方体所得截面面积的最大值为C.直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为D.当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共分）12.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．13.已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1BC分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________．14.已知函数在区间的取值范围为______．四､解答题（本题共5小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.16.如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．第3页/共5页（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．17.为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为桃树林和散养走地鸡，区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知.（1）若，求和的长度；（2）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？18.已知函数.（1）若集合.（i）若函数为奇函数，求不等式的解集；（ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围；（2若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.19.已知复数的三角形式是是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的第4页/共5页几何意义：若，则.即模相乘，辐角相加.（1）写出复数的三角形式，并计算的三角形式；（2）设复平面上单位圆内接正十六边形的16个顶点对应的复数依次为.求复数在复平面所对应不同点的个数；（3）设复数不全为实数，，证明：.第5页/共5页高一下学期期中考试数学时量：分钟满分：分一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集.集合.则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合，再利用集合的交集求解.【详解】又，所以故选：B2.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数乘法运算求解判断.【详解】因为，所以.故选：C.3.如图，在中，，为CD的中点，设，，则（）第1页/共20页A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案.【详解】由已知得.故选：D.4.函数的图象关于直线对称的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出函数的图象，再结合对称性可得合适的选项.【详解】函数的图象可视为将函数的图象向上平移个单位，所以，函数的图象如下图所示：第2页/共20页所以，函数的图象关于直线对称的函数的图象如A选项中的图象.故选：A.5.若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】已知等式由正弦定理边化角解得，又，可求的值.【详解】由，有，得，因为，所以，所以或，又，所以应舍去，则.又，解得.6.若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向第3页/共20页，，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，，，，，，三者直接各自的夹角都为锐角，，，，，，即在上的投影为1，在上的投影为3，，，如图，即，且则，由基本不等式得，，与的夹角为锐角，，由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，第4页/共20页故选：C.7.已知函数，当时，方程的根的个数是（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】可得到结果.【详解】设，则，即，故，因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，故原方程共有6个根.故选：D.8.已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先找出平面截球面的截面圆的圆心是的中点，再找到截面圆的半径和交线.【详解】如图，取的中点为因为，直四棱柱的棱长均为2，第5页/共20页所以为等边三角形，所以，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，又在平面内，故，因为侧面，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，取的中点为的中点为，连接、，则，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，则，所以，根据弧长公式可得.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在中，，则的面积可以是（）A.B.1C.D.【答案】AD【解析】【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案．第6页/共20页【详解】解：∵，由余弦定理得，∴，∴，或，由的面积公式得或，故选：AD．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．10.将函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.B.函数的最小正周期为C.函数的图象关于点成中心对称D.函数的一个单调递减区间为【答案】BD【解析】的值并判断选项A性质逐项判断B，C，D即可得解.【详解】的图象向右平移个单位长度后得到，而，则，即，A不正确；此时，其周期，B正确；由，得，即的对称中心为()，C不正确；第7页/共20页由，解得，即的单调减区间为，当时，是函数的一个递减区间，D正确.故选：BD已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（）A.该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等B.平面截该正方体所得截面面积的最大值为C.直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为D.当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值【答案】ACD【解析】【分析】本题需要利用正方体的性质，且当平面位置变化时，平面始终与对角线垂直入手去考虑.【详解】对于A，因为平面与对角线垂直，又平面，所以平面与平面平行或重合，而正方体各棱与平面所成角，即为体对角线与正方体各棱所成角的余角，由正方体的对称性易得体对角线与正方体各棱所成角均相等，故直线与平面所成角也相等，故A正确；对于B，当平面沿对角线平行移动时，只有当平面移动到平面（分别为所在棱的中点）时，面积最大.又由题易知，六边形为正六边形，可求得，则平面截此正方体所得截面面积的最大值为，故B错误；第8页/共20页对于C，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值，即为直线与平面所成角的正弦值，不妨取平面为平面，又，故等价于求与平面所成角，设与平面交于点，因为平面，所以为所求角，，则，故C正确；对于D，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分，，同理可得当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值，故D正确.第9页/共20页三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共分）12.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．【答案】4【解析】【分析】根据题意画出圆台的轴截面，根据圆台的母线和高及相关的上下底面半径构成直角梯形，利用直角梯形的性质求得.【详解】由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形，其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示：作CD⊥AB与E,则CE为圆台的高h,∴高h＝.故答案为：413.已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1BC分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值.【详解】如图，过作交底面圆锥于点，连接，第10页/共20页因为，则为异面直线与所成角，所以，又，所以，即，因为，函数在上单调递减，所以，故异面直线与所成角的最小值为.故答案为：.14.已知函数在区间的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据题意可得，从而可求得的一个大范围，根据，可得，再由的范围分类讨论，结合正弦函数的性质即可得解.【详解】因为函数在区间上有且仅有一个零点，所以，所以，由，可得，由，得，当，即时，则，解得，第11页/共20页所以，当，即时，则，解得，综上所述：的取值范围为.故答案为：.【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为或的形式；（2）将看成一个整体；（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.四､解答题（本题共5小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】1）根据平面向量平行的坐标公式计算即可；（2公式及平方关系化弦为切即可得解.【小问1详解】因为，所以，即，第12页/共20页所以；【小问2详解】因为，所以，即，所以，即，所以，所以.16.如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】1）连接交于点，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）根据面面垂直的判定定理可得平面平面；第13页/共20页（3）根据线面垂直的判定定理证得平面为直线与平面所成的角可得答案．【小问1详解】连接交于点，连接．在中，为的中点，为的中点．是的中位线，，平面平面，平面；【小问2详解】在正三棱柱中，平面平面，，在等边中，为的中点，，又是平面内的两条相交直线，平面，又平面，平面平面；【小问3详解】连接，和都是直角三角形，且，，，，第14页/共20页由（2）得，平面平面，平面平面，又平面，平面，则为直线与平面所成的角．在中，，则所以直线与平面所成角的正切值为.17.为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为桃树林和散养走地鸡，区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知.（1）若，求和的长度；（2）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？【答案】（1），（2）15°时面积最小，最小值为.【解析】1；（2）设，应用正弦定理及三角形面积公式可得，再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母，最后由正弦型函数的性质求最值.第15页/共20页【小问1详解】在中，，则，所以，在中，，所以.于是，在中，，在中，，所以.【小问2详解】设，在中，得，在中，，得，所以的面积因为，所以当时面积最小，最小值为.18.已知函数.（1）若集合.第16页/共20页（i）若函数为奇函数，求不等式的解集；（ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围；（2）设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1i）ii）（2）.【解析】1i）由奇函数定义，求得，通过换元，求解得出得或，再解指数，通过换元，由单调性求得，原式化为，结合单调性即可求解.（2）根据偶函数特征与函数的单调性求得的值域为.由不等式恒成立，根据的正负分情况解不等式即可求得其取值范围.【小问1详解】（i）因为函数为上的奇函数，故，解得，则，此时因，函数为奇函数，则不等式，设，代入整理得，解得或，解得，故原不等式的解集为.（ii）因为函数为偶函数，故，即，因不恒为0，故，则，则（*第17页/共20页设，因，则，而函数在上单调递减，在上单调递增，故，由（*）左式可得，则（*）可化为，因函数在上单调递减，则，故.【小问2详