16-1 黑体辐射与普朗克能量子假设

一、黑体与黑体辐射

对物体加热时,物体的颜色会发生变化,而且用手靠近物体时会感觉到有热量辐射。事实上,任何宏观物体在任何温度下都以电磁波的形式向外辐射能量。这种由于物体中分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射。温度越高,原子中的带电粒子受到热激发其振动就越剧烈,向周围空间辐射电磁波的本领就越大。每个物体都有热辐射,这就会导致物体能量的损失,所以它会吸收从外界来的电磁波来补充能量,否则物体的能量就会枯竭。当物体获得的能量恰好等于所损失的能量时,辐射达到平衡,这时称为平衡热辐射。若有一物体,它能完全吸收一切外来的电磁辐射,则将这种物体称为绝对黑体,简称黑体。用一个不透明的绝缘材料做成的密闭空腔上开一个小孔,空腔内壁具有不规则的形状,如图16.1所示。

二、黑体辐射的实验规律

若将空腔加热到不同的温度,小孔就可看作不同温度下的黑体,利用分光技术测出它辐射电磁波的能量按照波长的分布,就可以得到黑体辐射的能谱曲线。图16.2为黑体辐射的能谱实验曲线。纵坐标Mλ(T)是温度为T

的黑体单位面积上、单位时间内,在波长λ附近的单位波长范围内所辐射出的电磁波能量,称为单色辐射出射度,简称单色辐出度。

1.斯特藩玻耳兹曼定律单位时间内,从温度为T

的黑体的单位面积上,所辐射出的各种波长的电磁波的能量总和称为辐射出射度,简称辐出度。1879年奥地利物理学家斯特藩发现,黑体的辐出度

M(T)与黑体的热力学温度T

的4次方成正比,即玻耳兹曼于1884年也由热力学理论得出上述结果,因而上式称为斯特藩玻耳兹曼定律。比例系数σ叫作斯特藩玻耳兹曼常数,其值为5.670×10-8W·m-2·K-4。

2.维恩位移定律由图16.2所示曲线可以看出,随着温度的升高,黑体辐射能谱曲线峰值所对应的波长λm

向短波方向移动。维恩于1893年找到了和λm

之间的关系(即维恩位移定律)为式中,b=2.898×10-3m·K,称为维恩常数。

【例16.1】太阳单色辐出度的峰值波长为465nm,假设太阳是一个黑体,试计算太阳表面的温度和单位面积辐射的功率。

【解】根据维恩位移定律可得太阳表面的温度为根据斯特藩玻耳兹曼定律,太阳单位面积所辐射的功率为

三、黑体辐射的理论解释

在经典物理学中,将组成黑体空腔壁的分子或原子看作带电的线性谐振子。1896年,维恩根据经典统计物理学理论及实验数据分析,假定谐振子能量按频率的分布类似于麦克斯韦速率分布,导出的理论公式为其中,c1、c2

为常数。式(16-3)称为维恩公式。这一公式给出的结果在短波部分和实验符合得很好,但在长波区域则与实验有较大差别,而且公式中的常数只能由实验确定,理论中不能给出。1900年瑞利和金斯假定当体系达到热平衡状态时,空腔内的电磁波形成一切可能的驻波,并且根据能量均分定理导出Mλ(T)的数学表达式为式中,k

为玻耳兹曼常量,k=1.381×10-23J/K;c为光速。此式称为热辐射的瑞利金斯公式。

根据图16.3所示的瑞利金斯公式与实验曲线的比较可以看出,在长波(低频)部分,理论曲线和实验曲线符合得很好,但到短波(高频)部分则相差甚大。

为了解决经典物理学处理黑体辐射的困难,得到和实验曲线相一致的数学表达式,普朗克根据实验数据,利用内插法得到了一个新的公式:这就是著名的普朗克黑体辐射公式,它与实验符合得很好。式中,h

为普朗克常数,h=6.626×10-34J·s。热力学温度为T的黑体,在波长为λ~λ+dλ范围内,单位时间从单位面积辐射的电磁波能量为Mλ(T)dλ。若用频率表示,则在频率ν~ν+dν范围内,该能量为Mν(T)dν。

显然,用这两种方式表示的能量应该相等,由于dλ与dν的符号始终相反,所以有由于λν=c,所以有故有由式(16-6)普朗克黑体辐射公式还可写成

参照式(16-6),上式可写为显然,此式就是维恩公式。

【例16.3】有一质量为20g的小球悬挂于弹性系数为2.0N·m-1

的弹簧的一端。假定普朗克量子化条件可以应用于该系统,试求振动的振幅。【解】令振幅为A,则振子的能量εn

为按照普朗克假设式式中,ν为振动频率,其表达εn式