大学物理（上册）课件 第5章 气体动理论

一、平衡态、状态参量、准静态过程

热学的研究对象是大量微观粒子(分子、原子等)组成的宏观物体,通常称为热力学系统,简称系统。系统分为三种：一是孤立系统:与外界既无能量交换,又无物质交换的理想系统;二是封闭系统:与外界只有能量交换,而无物质交换的系统;三是开放系统:与外界既有能量交换,又有物质交换的系统。在国际单位制中,压强的单位是帕斯卡,简称帕(Pa),它与大气压(atm)及毫米汞柱(mmHg)的关系为:气体的体积是气体分子所能达到的空间,并非气体分子本身体积的总和。气体体积的单位是m3。

在工程上和日常生活中,目前常使用摄修斯温标,简称摄氏温标。在摄氏温标中温度的符号为t,单位符号是℃。摄氏温度与热力学温度之间的关系为t=T-273.15或T=273.15+t。如果两个系统分别与第三个系统的同一平衡态达到热平衡,那么这两个系统彼此也处于热平衡,这个结论称为热力学第零定律。热力学第零定律说明,处在相互热平衡状态的系统必定具有某一个共同的宏观物理性质。若两个系统的这一共同性质相同,当两系统热接触时,系统之间不会有热传导,彼此处于热平衡状态;若两系统的这一共同性质不相同,两系统热接触时就会有热传递。

当一热力学系统的状态随时间改变时,系统就经历了一个热力学过程(以下简称过程)。由于中间状态不同,热力学过程又分为非静态过程和准静态过程。过程进展的速度可以很快,也可以很慢。实际过程通常是比较复杂的,如果过程进展得十分缓慢,使所经历的一系列中间状态都无限接近平衡状态,这个过程叫做准静态过程或平衡过程。显然,准静态过程是个理想的过程,它和实际过程是有差别的,但在许多情况下,可近似地把实际过程当做准静态过程处理,所以准静态过程是个很重要的理想模型。非准静态过程即迅速压缩,快到无法和外界进行热交换(即使不是绝缘的压缩,也不会和外界热交换)

上面指出,一定质量的气体的每一个平衡状态可用一组(p,V,T)的量值来表示。由于p、V、T

之间存在着式(5-1)所示的关系,所以通常用p-V

图上的一点来表示气体的平衡状态。气体的一个准静态过程,在p-V图上则用一条相应的曲线来表示。如图5.1所示,A→B曲线表示从初状态(p1,V1,T1)向末状态(p2,V2,T2)缓慢变化的一个准静态过程。一、分子的热运动、分子力

事实表明,常见的宏观物体—气体、液体、固体等都是由大量分子或原子组成的。实验证明,1mol任何物质中所含的分子(或原子、离子)数都是相同的,其值为这就是阿伏伽德罗常数。分子直径(或线度)的数量级约为10-10m;分子的质量很小,如氢分子的质量为0.332×10-26kg,氧分子的质量为5.31×10-26kg。1.物体的分子在永不停息地作无序热运动人们在较远的地方能闻到物体发出的气味,一滴墨水滴入水中会慢慢地扩散开来,这类现象说明了气体、液体中的分子在永不停息地运动着。固体中也会发生扩散现象,把两块不同的金属紧压在一起,经过较长时间后,会在每块金属接触面的内部发现另一种金属的成分。总之,一切物体中的分子都在永不停息地运动着,大量分子的无规则运动叫做分子的热运动。布朗(R.Brown)在1827年用显微镜观察到,浮悬在水中的植物颗粒(如花粉等)不停地在作纷乱的无定向运动(见图5.2),这就是所谓的布朗运动。布朗运动是由杂乱运动的液体分子碰撞植物颗粒引起的,它虽不是液体分子本身的热运动,却如实地反映了液体分子热运动的情况。液体的温度愈高,这种布朗运动就愈剧烈。2.分子力分子只有相互接近到一定距离(约10-9m)时,引力才会发生。分子间的引力和斥力统称为分子力,分子力与分子间距离r的关系如图5.3所示。当r<r0(约10-10

m)时,分子力表现为斥力,并且斥力的大子力为零小;随而rr0小而时,急剧增大分子力表。当现r引0时力。,分当r>10-9m时,分子力就可以忽略不计了。

分子力的作用会使分子聚集在一起,甚至形成某种有规律的空间分布,称为分子的有序排列。而分子的热运动将破坏这种有序排列,使分子趋于分散。事实上,物质在不同温度下之所以表现为各种不同的聚集态,是由这两种对立的作用决定的。温度较低时,分子热运动不够剧烈,分子在分子力的作用下被束缚在各自的平衡位置附近作微小振动,这时便表现为固态。温度升高,分子热运动剧烈到一定程度时,分子力已不能把分子束缚在固定位置,但还不至于使其分散远离,这时表现为液态。温度继续升高,分子热运动更加剧烈,这时分子不但没有固定位置而且也不能维持一定的距离,从而分散远离,并且分子的运动近似于自由运动,这时表现为气态。一、分子热运动的无序性及统计规律性

分子热运动的基本特征是分子的永恒运动和频繁地相互碰撞。显然,具有这种特征的分子热运动是一种比较复杂的物质运动形式,它与物质的机械运动有本质上的区别。因此,不能简单地用力学方法来解决。在大量分子中,每个分子的运动状态和经历(状态变化的历程)和其它分子都有显著的差别,这些都说明了分子热运动的混乱性或无序性。

如图5.4所示,有一块竖直平板,上部钉上一排排等间隔的铁钉,下部用隔板隔成等宽的狭槽,板顶装有漏斗形入口,小球可通过此入口落入狭槽内。这个装置称为伽尔顿板。

若在入口处投入一个小球,小球在下落过程中将与一些铁钉发生碰撞,最后落入某一槽中。再投入另一小球,它落入槽中的位置与前者可能完全不相同。这说明,小球从入口处下落后,与哪些铁钉相碰撞以及落入哪个槽中完全是偶然的。但是,如果把很多小球从入口中投入,可以发现落入中间狭槽的小球较多,而落入两端狭槽的小球则较少,出现如图5.4所示的有规律的分布。重复这个实验也得到相似的结果。因此这个实验表明,尽管单个小球落入哪个狭槽是完全偶然的,而小球在各个狭槽内的分布则是确定的,小球的分布具有统计规律性。一、理想气体的分子模型

理想气体的微观模型是:

(1)分子本身的大小与分子间平均距离相比可以忽略不计,分子间的平均距离很大,分子可以看做是质点。(2)除碰撞的瞬间外,分子间的相互作用力可忽略不计。因此在两次碰撞之间,分子的运动可看做匀速直线运动。(3)处于平衡态的气体的宏观性质不变,这表明系统的能量不因碰撞而损失。因此分子间及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞。综上所述,理想气体的分子模型是具有弹性的、自由运动的质点。平衡态时,理想气体分子的统计假设有:(1)在无外力场作用时,气体分子在各处出现的概率相同。平均而言,分子的数密度n处处相同,沿各个方向运动的分子数相同。(2)分子可以有各种不同的速度,速度取向在各方向上是等概率的。平衡态时,气体的性质与方向无关,每个分子速度按方向的分布完全相同,各个方向上速率的各种平均值相等,即二、理想气体的压强

假设有一边长分别为l1、l2

和l3

的长方形容器,贮有N

个质量为m

的同类气体分子。如图5.5所示,在平衡态下器壁各处压强相同,任选器壁的一个面,例如选择与x

轴垂直的A1

面,计算其所受的压强。在大量分子中,任选一个分子i,设其速度为当分子i与器壁A1碰撞时,由于碰撞是完全弹性的,故该分子在x方向的速度分量由vix变为-vix,所以在碰撞过程中该分子的x

方向动量增量为由动量定理知,它等于器壁施于该分子的冲量,又由牛顿第三定律可知,分子i在每次碰撞时对器壁的冲量为2mvix。

所有分子对A1

面的平均作用力为上式对所有分子求和,即由压强定义得

所以有或

在式(5-2a)中,nm=ρ为气体的密度,故理想气体压强公式也可写成

一、理想气体分子的平均平动动能与温度的关系

设质量为m'的气体的分子数为N,分子的质量为m,又已知1mol气体的分子数为

NA,1mol气体的质量为M,故有m'=mN

和'M=mNA。把它们代入理想气体状态方程可得式(5-3)中,R

为摩尔气体常量,NA

为阿伏伽德罗常数。它们的比R/NA

也为一常量,用

k

表示,叫做玻尔兹曼常量,有式(5-3)中,N/V=n,为分子数密度。于是,式(5-3)可写成将上式与理想气体压强公式(52b)

将上式与理想气体压强公式(5-2b)相比较,可得

二、分子的自由度

刚性双原子分子可用两个质点通过一个刚性键联结的模型(哑铃型)来表示。设点C为双原子分子的质心,并选如图5.6(b)所示的坐标轴。

其中,m为双原子分子的质量(即m=m1+m2),vCx、vCy和vCz

是质心的速度在x、y、z轴上的分量。而绕y轴和z轴的平均转动动能其中,J

为双原子分子绕通过点C的y

轴或z

轴的转动惯量,ωy

和ωz分别为双原子分子绕通过点C

的y

轴和z轴的角速度。所以刚性双原子分子的平均能量为

在常温下,大多数气体分子属于刚性分子。在高温下,气体分子原子间会发生振动,则应视为非刚性分子。例如,非刚性双原子分子的两原子之间还有相对微振动,需要有一个坐标来确定两原子间的相对距离,这时有振动自由度v,因此,有

三、能量均分定理在平衡态下,理想气体分子的平均平动动能又代入后,可得

四、理想气体的内能

一、测定气体分子速率分布的实验

继施特恩之后,分子速率分布实验装置有了不少改进,图5.7所示的是其中一种装置。

实验时,要保证蒸气源温度固定。当R

以匀角速度ω旋转时,虽然射线中各种速率的分子都能进入R

上的细槽,但并不是所有分子都能通过细槽从出口狭缝飞出。只有那些速率v满足下列关系的分子才能通过细槽到达检测器D,即必须有其它速率的分子将沉积在槽壁上。由此可见,圆柱体R

实际上是一个速率选择器。

图5.8是直接从实验结果作出的金属气体分子射线中分子速率分布图线。二、麦克斯韦气体分子速率分布定律

设在平衡状态下,一定量的气体分子总数为N,其中速率在v~v+Δv

区间内的分子数为ΔN。从上面的实验知道,ΔN/N

与速率区间有关,在不同的速率区间,它的数值不同(见图5.8)。所取的速率区间Δv越大,ΔN/N

就越大。当取Δv→0时,ΔN/(NΔv)的极限值变成v

的一个连续函数,并用f(v)表示,函数f(v)叫做速率分布函数,即于是有

f(v)表示速率分布在v

附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分率。对单个分子来说,它表示分子所具有的速率在该单位速率间隔内的概率,即图5.8中小长方形的面积,故有

上式表明,f(v)Δv表示分子的速率在间隔v~v+Δv

内的概率,也表示在该间隔内的分子数占总分子数的百分率。如图5.8所示,在不同的间隔内,有不同面积的小长方形,说明不同间隔内的分布百分率不相同。面积越大,表示分子具有该间隔内的速率值的概率越大。当Δv足够微小时,无数矩形的面积的总和将渐近于曲线下的面积,这个面积为麦克斯韦经过理论研究,指出在平衡状态中气体分子速率分布函数的具体形式是式(5-10)中的f(v)叫做麦克斯韦速率分布函数。表示速率分布函数的曲线叫做麦克斯韦速率分布曲线,如图5.9所示。三、三个统计速率

1.最概然速率vp

气体分子速率分布曲线有极大值,与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率,常用vp表示,如图5.10所示。

它的物理意义是:

对所有的相同速率区间而言,速率在含有vp

的那个区间内的分子数占总分子数的百分比最大。按概率表述,它的物理意义为:对所有相同的速率区间而言,某一分子的速率取含有vp

的那个速率区间内的值的概率最大。由极值条件可求得满足麦克斯韦速率分布规律的平衡态下气体分子的最概然速率

将麦克斯韦函数f(v)代入,可得理想气体速率从0到∞整个区间内的算术平均速率为

同样把式(5-10)代入上式,经积分运算可得速率平方的平均值为由上式可得气体分子的方均根速率vrms为式(5-13)与由平均平动动能与温度关系式(5-9)所得的结果是相同的。

图5.12给出N2分子在不同温度下的速率分布图线,温度升高时(图中T2>T1),曲线显得较为平坦

麦克斯韦速率分布是一个统计规律,它以概率的方式揭示了自然界的规律。如果概率非常小,实际上是不会发生的。相对论指出,一切实物粒子的速率都不可能超过真空中的光速c,分子运动的速率不会趋于无限大。但表5.1已说明,分子运动的速率在远小于光速的一个很大范围内概率已基本为零,所以我们把这个最大速率值vmax定为无限大并不影响计算结果,然而在数学处理上却带来了很大的方便。【例5.1】

试分别求温度t=100℃、0℃和-150℃时,氮气分子的平均平动动能和方均根速率。一、玻尔兹曼分布律

麦克斯韦分布律是理想气体分子不受外力作用或者外力场可以忽略不计时,处于热平衡态下的气体分子速度分布律。由于没有外力场作用,分子在空间的分布是均匀的,即在容器中分子数密度n处处相同。当有保守外力(如重力场、电场等)作用时,气体分子在各空间位置的分布就不再均匀,不同位置处分子数密度不同

玻尔兹曼将麦克斯韦速度分布推广到理想气体处在保守力场的情况。他认为:二、重力场中的等温气压公式

把式(517)代入理想气体状态方程p=nkT

中,可得

应当指出,实际上大气层中气体的温度随高度变化,所以由式(5-18)所得的结果与实际情况略有差异。但是,当两点间的高度差不大时,式(5-18)与实际情况仍十分接近。

分子在任意两次连续碰撞之间自由通过的路程叫做分子的自由程。单位时间内一个分子与其它分子碰撞的次数称为分子的碰撞频率。由图5.13可知,分子的自由程有长有短,任意两次碰撞所需的时间多少也具有偶然性。一、分子的平均碰撞频率

为了使问题简化,假定每个分子都是有效直径为d

的弹性小球,并且假定只有某一个分子A

运动,其余分子都静止。在分子A的运动过程中,它的球心轨迹是一条折线。设想以分子A

的中心所经过的轨迹为轴,以分子的有效直径d

为半径作一圆柱体,如图5.14所示。

二、分子的平均自由程

表5.2列出了几种气体分子在标准状态下的平均自由程。一、黏滞现象

物体在流体中运动时要受到黏滞力的作用。气体中流动中的气体,如果各气层的流速不相等,那么相邻的两个气层之间的接触面上,会形成一对阻碍两气层相对运动的等值而反向的摩擦力,其情况与固体接触面间的摩擦力相似,这种摩擦力叫做黏性力,气体的这种性质叫做黏性。

黏性力所遵从的实验定律可用图5.15来说明。

在这个例子中

从气体动理论的观点来看,对黏滞现象可作如下的解释。如图5.16所示,在既作整体流动又有分子热运动的气体中,沿着流速的方向任选一平面P。

二、热传导

上式中的κ与物质的种类和状态有关,称为热导率或导热系数,它的单位是瓦/