《等差数列的概念及通项公式》课件

第1课时等差数列的概念及通项公式第四章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解等差数列的概念,理解等差中项的概念.(数学抽象)2.掌握等差数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.(数学运算)3.掌握等差数列的判断与证明方法.(逻辑推理)课前篇自主预习【激趣诱思】下面是某篮球运动员一周训练时投球的个数:第一天6000,第二天6500,第三天7000,第四天7500,第五天8000,第六天8500,第七天9000.得到数列:6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000.你发现这个数列有什么特点?【知识梳理】

一、等差数列

顺序不能颠倒一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母

d表示.名师点析

等差数列概念的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.(4)公差可以是正数、负数、零.(5)等差数列的单调性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.微练习判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.①1,3,5,7,9,…;②9,6,3,0,-3,…;③1,3,4,5,6,…;④7,7,7,7,7,…;解

①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.二、等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式

2A=a+b.

任意两个数均有等差中项且唯一微思考在数列{an}中,当n≥2时,an是an-1和an+1的等差中项,那么数列{an}是等差数列吗?为什么?提示

是.因为an是an-1和an+1的等差中项,所以an-an-1=an+1-an,由等差数列的定义知数列{an}是等差数列.三、等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为

an=a1+(n-1)d.名师点析

(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.微练习(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是

.

(2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d=

.

答案

(1)an=10-5n

(2)4解析

(1)易知首项a1=5,公差d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.课堂篇探究学习探究一等差数列的通项公式及其应用例1(1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2022,则n=(

)A.504 B.505C.506 D.507(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是(

)A.第13项

B.第14项C.第15项

D.第16项(3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为

.

分析(1)(2)均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.答案

(1)C

(2)C

(3)an=5n-3解析

(1)根据题意,数列{an}是首项a1=2,公差d=4的等差数列,则an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2

022,则有4n-2=2

022,解得n=506.(2)首项a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.令an=43-3n<0,解得n>.因为n∈N*,所以n≥15,即第一个负数项是第15项.方法技巧等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.(3)通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.变式训练

1在等差数列{an}中,求解下列各题:探究二等差中项及其应用例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2020项.(2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数.分析(1)先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入n=2

020求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即方法技巧等差中项的应用策略(1)求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得(2)证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.变式训练

2(1)(海南天一大联考高三模拟)等差数列1,2a,4a2,…的第五项等于(

)答案

(1)B

(2)等边三角形

探究三等差数列的判断与证明角度1

等差数列的判断例3判断下列数列是不是等差数列.(1)在数列{an}中,an=3n+2;(2)在数列{an}中,an=n2+n.分析根据等差数列的定义,判断an+1-an是不是常数.解

(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故该数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.方法技巧用定义法判定数列{an}是等差数列的基本步骤:(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.变式训练

3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).(1)判断数列{an}是不是等差数列,并说明理由;(2)求{an}的通项公式.解

(1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2,∴{an}不是等差数列.(2)由(1)得,当n≥2时,an是等差数列,公差为2,∴an=1+2(n-2)=2n-3(n≥2),又a1=1不适合上式,∴{an}的通项公式为角度2

等差数列的证明(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.分析先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.方法技巧证明等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.(3)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列.易错警示

(1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N*)成立,则无法确定等差数列{an}的公差.(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.(4)已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项.

素养形成构造等差数列解题

方法点睛求解数列问题时,若已知条件中隐含等差数列的定义形式或等差中项公式,则可以转化为等差数列问题求解.

当堂检测1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列(

)A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列答案

A解析

∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.2.(广西桂林高二期末)在等差数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(

)A.6 B.8 C.16 D.32答案

B解析

因为等差数列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,则a4=a1+3d=2+3×2=8.3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,则a20=(

)A.38 B.40 C.-36 D.-38答案

B解析

∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40.4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为

.

答案

3解析

由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.所以m和n的等差中项为

=3.5.在等差数列{an}中,a1=23,公差d为整数,若a6>0,a7<0.(1)求公差d的值;(2)求{an}的通项公式.解

(1)因为{an}是等差数列,a1=23,a6>0,a7<0,又公差d为整数,所以d=-4.(2)因为等差数列