《匀速圆周运动的数学模型》课件

第五章三角函数§5.6.1匀速圆周运动的数学模型探要点·究所然情境导学生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮落、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻画周期变化数量的典型函数模型，这节课我们就来通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.探究点一利用基本三角函数的图象研究其他函数思考怎样作出函数y＝|sinx|的图象，并根据图象判断其周期和单调区间？答函数y＝sinx位于x轴上方的图象不动，位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sinx|的图象，如下图所示：小结一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：(1)由函数y＝f(x)的图象要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.(2)由函数y＝f(x)的图象要得到y＝f(|x|)的图象，应保留y＝f(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.例1

(1)作出函数y＝|cosx|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.解y＝|cosx|图象如图所示.由图象可知：T＝π；y＝|cosx|是偶函数；(2)作出函数y＝sin|x|的图象并判断其周期性.解∵sin(－x)＝－sinx，∴其图象如图.由图象可知，函数y＝sin|x|不是周期函数.

跟踪训练1

求下列函数的周期：探究点二三角函数模型的应用思考1

数学模型是什么，什么是数学模型的方法？答简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.思考2

上述的数学模型是怎样建立的？答解决问题的一般程序是：1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.思考3

怎样处理搜集到的数据？答画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型.小结利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析.探究点三三角函数模型在物理学中的应用例2

如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求这一天6～14时的最大温差；解由图可知：这段时间的最大温差是20℃；(2)写出这段曲线的函数解析式.反思与感悟①本例中所给出的一段图象实际上只取6～14即可，这恰好是半个周期，注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被忽略掉.②如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型.跟踪训练2

下图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)

在同一周期内的图象.(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

故最小正整数为ω＝629.例3

某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t(时)03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)试在图中描出所给点；解描出所给点如图所示：(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；解由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适.令A>0，ω>0，|φ|<π.故所求拟合模型的解析式为(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间.即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.反思与感悟数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题.在求解具体问题时需弄清A，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤：1.根据原始数据给出散点图.2.通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.3.根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4.利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.跟踪训练3

某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象.(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)

∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港.若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.当堂测·查疑缺12341.方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内(

)A.没有根 B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根C12342.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(

)(1234答案C123412344.如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.1234(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；1234(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.故此人有10s相对于地面的高度不小于17m.呈重点、现规律1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.1234567891011A级必备知识基础练C1234567891011C12345678910113.函数f(x)=sinxcosx+cos2x-1的值域为(

)A12345678910114.[2024全国甲,文14]函数f(x)=sinx-cosx在[0,π]上的最大值是

.

212345678910115.若3sinx-cosx=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ=

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12345678910116.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的最值及取得最值时x的集合.1234567891011123456789101112345678910111234567891011B级关键能力提升练A12345678910119.

已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x,x∈R,则(