《等差数列的性质及应用》课件

第四章

4.2.1第2课时等差数列的性质及应用课程标准1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质.2.能够运用等差数列的性质解决有关问题.3.能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1

等差数列与一次函数的关系

名称等差数列一次函数解析式an=dn+(a1-d)f(x)=kx+b(k≠0)不同点①定义域为N*.②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点①定义域为R.②图象是一条直线相同点①当d≠0时,等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式.②等差数列中的a1,d,n,an四个量中知三求一和一次函数中求k,b的方法都是解方程(组)名称等差数列一次函数利用一次函数判断等差数列的方法若一个数列的通项公式的等号右边是关于n的一次式,则此数列一定是等差数列且n的系数为公差d过关自诊1.[人教B版教材习题]根据下列等差数列的通项公式,求数列的首项与公差.(1)an=3n+5;(2)an=12-2n.解

(1)a1=3×1+5=8,a2=3×2+5=11,公差d=a2-a1=11-8=3.(2)a1=12-2×1=10,a2=12-2×2=8,公差d=8-10=-2.2.[北师大版教材习题]已知等差数列的通项公式为an=-2n+7.(1)求首项a1和公差d;(2)画出数列{an}的图象;(3)判断数列{an}的单调性.解

(1)a1=-2×1+7=5,a2=-2×2+7=3,d=a2-a1=3-5=-2.(2){an}的图象如图所示.(3)由(1)知d<0,数列{an}是递减数列.知识点2

等差数列的常用性质

性质1通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*)性质2若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an

当k+l=2m时,ak+al=2am性质3若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为

性质4若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列性质5若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为

的等差数列

2dmd性质6若ap=q,aq=p,则ap+q=

(p,q∈N*)

性质7有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,都等于首末两项之和:a1+an=a2+an-1=…=ai+an+1-i=…性质8若数列{an}为等差数列,公差为d,则{λan+m}(λ,m为常数)是公差为

的等差数列

0λd过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列{an}中,必有a10=a1+a9.(

)(2)若数列a1,a2,a3,a4,…是等差数列,则数列a1,a3,a5,…也是等差数列.(

)(3)若数列{an}是公差为d的等差数列,则an+1=an-1+2d,n>1,且n∈N*.(

)×√√2.[人教B版教材习题]如果{an}是等差数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,求证:as+at=ap+aq.证明设等差数列{an}的首项和公差分别为a1,d.则as=a1+(s-1)d,at=a1+(t-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d.∴as+at=2a1+(s+t-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d.又s+t=p+q,∴as+at=ap+aq.重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一等差数列性质的应用【例1】

(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值.分析

根据各个题的特征,选择相应等差数列的性质求解.(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.解

由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.解

令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.规律方法

求等差数列基本运算的两种方法一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.变式训练1(1)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=

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答案20.解析

由已知得3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a3+a8)=20.(2)设等差数列{an}满足a1+a3+a5=9.①求a3;②若a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为18的等差数列,求数列{an}的通项公式.解

①在等差数列{an}中,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3=3.②设等差数列{an}的公差为d,因为a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为18的等差数列,所以3a2,3a5,3a8是公差为18的等差数列,所以a8-a5=3d=6,所以d=2,所以an=a3+(n-3)d=3+2(n-3)=2n-3.探究点二等差数列的综合问题【例2】

(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.分析

由于已知条件中含等差数列前3项的和与积,因此可考虑利用等差中项及等差数列性质求解解

设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.分析

涉及四个数成等差数列,因此可考虑用“对称性”设出这四个数.解

设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则

规律方法

等差数列设未知量的技巧如下:(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….这种设法称为对称项设法,这样可减少计算量.变式训练2已知三个数成等差数列,且数列是递增数列,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.解

(方法1)由题意设这三个数分别为a,b,c,a<b<c,则

由①得a=6,代入②得d=±2.∵该数列是递增数列,∴d=-2舍去,∴d=2,∴这三个数分别为4,6,8.探究点三等差数列的实际应用【例3】

《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积之和为3升,最下面3节的容积之和为4升,则从上往下数,第5节的容积为(

)分析

设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.B规律方法

解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤:①审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;②建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;③判型,即判断该数列是不是等差数列;④求解,即求出该问题的数学解;⑤还原,即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.变式训练3某同学参加《二十四节气日中影长变化规律》课题的研究,并测得冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气日中同一固定时刻校内旗杆的影长.由于不慎将大部分数据丢失如下表,表中旗杆影长为19m是在下列哪个节气日中同一固定时刻测得的(注:据《周髀算经》记载这十二节气日中同一固定时刻的影长依次构成等差数列)(

)A.谷雨

B.立夏

C.小满

D.芒种B本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列中任意两项或多项之间的关系.(2)等差数列项的设解技巧.(3)等差数列的实际应用.2.方法归纳:公式法、转化法、数学建模.3.常见误区:实际问题中的还原问题重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测1234561.已知等差数列{an},a7+a19=19,a5=1,则a21的值为(

)A.20 B.18

C.15

D.17B解析

在等差数列{an}中,因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.1234562.[北师大版教材习题]设数列{an},{bn}是项数相同的等差数列,若a1=25,b1=75,a2+b2=100,则数列{an+bn}的第37项为(

)A.1 B.0

C.100

D.3700C解析

由题意知{an+bn}是等差数列,首项a1+b1=100,公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=0,所以a37+b37=100.故选C.1234563.在等差数列{an}中,a2,a4是方程x2-3x-4=0的两根,则a3=(

)D解析

因为a2,a4是方程x2-3x-4=0的两根,所以a2+a4=3.又{an}是等差数列,所以a2+a4=2a3,所以a3=.1234564.由公差d≠0的等差数列{an}中的项组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是(

)A.新数列不是等差数列

B.新数列是公差为d的等差数列

C.新数列是公差为2d的等差数列

D.新数列是公差为3d的等差数列C解析

∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.1234565.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于

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