5.5.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时

两角和与差的正弦、余弦、正切公式（三）一、选择题1．已知点P(1，a)在角α的终边上，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,3)，则实数a的值是()A．2B.eq\f(1,2)C．－2D．－eq\f(1,2)2.eq\f(\r(3)－tan18°,1＋\r(3)tan18°)的值等于()A．tan42°B．tan3°C．1D．tan24°3．若tan(180°－α)＝－eq\f(4,3)，则tan(α＋405°)等于()A.eq\f(1,7)B．7C．－eq\f(1,7)D．－74．已知tan(α＋β)＝eq\f(3,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(13,18)B.eq\f(13,23)C.eq\f(7,23)D.eq\f(1,6)5．若tan28°tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝()A.eq\r(3)mB.eq\r(3)(1－m)C.eq\r(3)(m－1)D.eq\r(3)(m＋1)6．若2cosα－sinα＝0，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))等于()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－3D．37．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3eq\r(3)，tan2B＝tanA·tanC，则角B等于()A．30°B．45°C．120° D．60°二、填空题8．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))＝－eq\f(1,3)，则taneq\f(α＋β,2)＝________.9．在△ABC中，若tanA，tanB是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.10．化简：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于________．三、解答题11．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，tanβ＝eq\f(1,2)，(1)求tanα的值；(2)求eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β)的值．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5).求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．参考答案一、选择题1．C[∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝－eq\f(1,3)，∴tanα＝－2，∵点P(1，a)在角α的终边上，∴tanα＝eq\f(a,1)＝a，∴a＝－2.]2.A[∵tan60°＝eq\r(3)，∴原式＝eq\f(tan60°－tan18°,1＋tan60°tan18°)＝tan(60°－18°)＝tan42°.]3．D[∵tan(180°－α)＝－tanα＝－eq\f(4,3)，∴tanα＝eq\f(4,3)，∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1＋\f(4,3),1－\f(4,3))＝－7.]4．C[taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(\f(3,5)－\f(1,4),1＋\f(3,5)×\f(1,4))＝eq\f(7,23).]5．B[由公式变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)可得，tan28°＋tan32°＝tan60°(1－tan28°tan32°)＝eq\r(3)(1－m)．]6．B[taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3).]7．D[由公式变形得：tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝tan(180°－C)(1－tanAtanB)＝－tanC(1－tanAtanB)＝－tanC＋tanAtanBtanC，∴tanA＋tanB＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanAtanBtanC＝3eq\r(3).∵tan2B＝tanAtanC，∴tan3B＝3eq\r(3)，∴tanB＝eq\r(3)，B＝60°.]二、填空题8．eq\f(1,7)[taneq\f(α＋β,2)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2))))＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).]9．eq\f(3π,4)[由题意得tanA＋tanB＝eq\f(5,6)，tanAtanB＝eq\f(1,6)，∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(\f(5,6),1－\f(1,6))＝1.又A＋B＋C＝π，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－1，∴C＝eq\f(3π,4).]10．1[原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan20°＋tan10°)＝tan10°tan20°＋eq\r(3)tan(20°＋10°)(1－tan20°tan10°)＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.]三、解答题11．[解](1)∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，∴eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝2，∴eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，解得tanα＝eq\f(1,3).(2)原式＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ)＝eq\f(cosαsinβ－sinαcosβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(sinβ－α,cosβ－α)＝tan(β－α)＝eq\f(tanβ－tanα,1＋tanβtanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).12．[解]由条件得cosα＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5).∵α，β为锐角，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(7\r(2),10)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(5),5).因此tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝7，tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝eq\f(1,2).(1)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.(2)∵tan2β＝tan(β＋β)＝eq\f(2tanβ,1－tan2β)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(4,3)，∴tan(α＋2β)＝eq\f(tanα＋tan2β,1－tanα·tan2β)＝eq\f(7＋\f(4,3),1－7×\f(4,3))＝－1.∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜eq\f(3π,2)，∴α＋2β＝eq\f(3π,4).A级必备知识基础练1.[探究点一]cos57°cos3°-sin57°sin3°的值为()A.0 B.12 C.32 D2.[探究点一·2024广东佛山高一期末]cos(π3+θ)sin(π6-θ)+cos(π6-θ)sin(π3+θA.32 B.1 C.0 D.3.[探究点一](多选题)cosα-3sinα化简的结果可以是()A.12cos(π6-α) B.2cos(π3C.12sin(π3-α) D.2sin(π64.[探究点一]函数f(x)=cosx+π4-cosxA.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数5.[探究点二]已知tan(α-3π4)=23,则tanα=A.15 B.-15 C.5 D.6.[探究点一]若α+β=3π4,则(1-tanα)(1-tanβ)的值为(A.12 B.1 C.32 D7.[探究点二]已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cosαcosβ=8.[探究点二、三]已知tanα=2,tanβ=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则1tan(α+β)=,α9.[探究点一]化简求值:(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);(3)cos21°cos24°+sin159°sin204°.10.[探究点三·北师大版教材例题]已知tanα=2,tanβ=-13,其中0<α<π2<β<π(1)tan(α-β);(2)α+β.B级关键能力提升练11.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan2α=(A.16 B.22C.322 D.12.若tan110°=a,则tan50°的值为()A.a+31+3C.a-31-13.[2024江西高一期末](tan65°-1)(tan70°-1)的值为()A.-1 B.0 C.1 D.214.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则C的大小为()A.π6 B.5C.π6或5π15.函数y=cosx+cosx+π3的最小值是,最大值是16.形如abcd的式子叫做行列式,其运算法则为ab17.[2024江苏徐州高一期末](1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)=.

C级学科素养创新练18.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=2π3,(2)tanα2tanβ=2-3同时成立?若存在,求出锐角α,答案：1.Bcos57°cos3°-sin57°sin3°=cos(57°+3°)=cos60°=12.故选B2.Bcos(π3+θ)sin(π6-θ)+cos(π6-θ)sin(π3+θ)=sin(π3+θ+π6-θ)=sinπ3.BDcosα-3sinα=2(12cosα-32sinα)=2(cosαcosπ3-sinαsinπ3)=2cos(α+π3)=2sin(4.D因为f(x)=cosx+π4=-2sinx,所以函数f(x)的最小正周期为2π1=2又f(-x)=-2sin(-x)=2sinx=-f(x),x∈R,所以函数f(x)为奇函数.故选D.5.Btan(α-3π4)=tanα-tan3π41+tanα6.D因为α+β=3π4,所以tan(α+β)=tan3π4,所以tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1,所以tanα+tanβ=tanαtanβ-1,所以(1-tanα)(1-tanβ)=1-(tanα+tanβ)+tanαtanβ=1-(tanαtanβ-1)7.0由已知得cosαcosβ-sinαsinβ=45,cosαcosβ+sinαsinβ=-4两式相加得2cosαcosβ=0,故cosαcosβ=0.8.-7-45°1tan(α因为tan(α-β)=tanα-0°<α<90°,90°<β<180°,所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.9.解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin2α.(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-32(3)原式=cos21°cos24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos21°cos24°-sin21°sin24°=cos(21°+24°)=cos45°=2210.解(1)tan(α-β)=tanα-tan(2)tan(α+β)=tanα+tanβ因为0<α<π2,π2<β<π,所以π2<α由于在π2与3π2之间,只有5π4的正切值等于1,11.Dtan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=tan(12.D因为tan110°=a,所以tan50°=tan(110°-60°)=tan110°-故选D.13.D(tan65°-1)(tan70°-1)=-tan65°-tan70°+tan65°tan70°+1=-tan135°(1-tan65°tan70°)+tan65°tan70°+1=2.故选D.14.A由题意知3sin①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37,则sin(A+B)=12,∴在△ABC中,sinC=1∴C=π6或C=5若C=5π6,则A+B=π6,∴1-3cosA=4sin∴cosA<13.又13<12此时A+C>π,不符合题意,∴C≠5π6,经检验C=π15.-3