5.5.2 简单的三角恒等变换 第3课时

5.5.2简单的三角恒等变换基础练巩固新知夯实基础1.eq\r(\f(1＋cos260°,2))的值等于()A．sin40°B．cos40°C．cos130° D．±cos50°2..eq\f(2sin2α,sin2α)·eq\f(2cos2α,cos2α)等于()A．tanαB．tan2αC．1 D．eq\f(1,2)3.若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，且sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，则sinθ＝()A．eq\f(3,5)B．eq\f(4,5)C．eq\f(\r(7),4) D．eq\f(3,4)4.若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝()A．1B．－1C．0 D．±15.设3π<α<4π，coseq\f(α,2)＝m，那么coseq\f(α,4)等于()A．eq\r(\f(m＋1,2))B．－eq\r(\f(m＋1,2))C．－eq\r(\f(1－m,2)) D．eq\r(\f(1－m,2))6.(多选题)下列各式中，值为eq\f(1,2)的是()A．eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°) B．tan15°cos215°C．eq\f(\r(3),3)cos2eq\f(π,12)－eq\f(\r(3),3)sin2eq\f(π,12) D．eq\f(tan30°,1－tan230°)7.(多选题)下列各值中,函数y=2sinx+23cosx可能取得的是 (A.3 B.3.5 C.4 D.4.58.已知cos2α＝eq\f(1,2)，且eq\f(π,2)<α<π，则tanα＝____.9.已知taneq\f(α,2)＝eq\f(1,3)，则cosα＝____.10.若α∈(0,π2),sin2α=12,则sin(α+π4)=11.已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(12,13)，求coseq\f(α－β,2)与taneq\f(α－β,2)的值．能力练综合应用核心素养12.若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，则sin2θ＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)13.若tanα=26,π<α<3π2,则cosα2A.-155 B.155 C.-14.设a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，则有()A．c<b<a B．a<b<cC．a<c<b D．b<c<a15.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,0≤x<π2,则f(x)的最大值是 (A.1B.2C.3+1 D.3+216.已知tan(α＋eq\f(π,4))＝2，则eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)的值为()A．－eq\f(1,6)B．eq\f(1,6)C．eq\f(5,2) D．－eq\f(5,6)17.(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))2＋2sin2(eq\f(π,4)－eq\f(α,2))的值等于____.18.已知sinθ＝－eq\f(3,5)，3π<θ<eq\f(7π,2)，则taneq\f(θ,2)＝____.19.设0<θ<eq\f(π,2)，且sineq\f(θ,2)＝eq\r(\f(x－1,2x))，则tanθ等于____.20.已知函数f(x)=(sin(1)求f(x)的定义域及最小正周期.(2)求f(x)的单调递增区间.【参考答案】1.A解析：eq\r(\f(1＋cos260°,2))＝eq\r(\f(1＋2cos2130°－1,2))＝eq\r(cos2130°)＝|cos130°|＝－cos130°＝sin40°，故选A．2.B解析：原式＝eq\f(2sinαcosα2,sin2αcos2α)＝eq\f(sin22α,sin2αcos2α)＝eq\f(sin2α,cos2α)＝tan2α.3.D解析：本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式．∵θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，∴2θ∈[eq\f(π,2)，π，∴sinθ>0，cos2θ<0，∴cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(1,8)，又sin2θ＝eq\f(1－cos2θ,2)，∴sin2θ＝eq\f(9,16)，∴sinθ＝eq\f(3,4)．4.C解析：因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.5.B解析：由于coseq\f(α,2)＝2cos2eq\f(α,4)－1，可得cos2eq\f(α,4)＝eq\f(1＋cos\f(α,2),2).又3π<α<4π，所以eq\f(3π,4)<eq\f(α,4)<π.所以coseq\f(α,4)<0.所以coseq\f(α,4)＝－eq\r(\f(m＋1,2)).6.A解析：原式＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq\f(1,2)tan45°＝eq\f(1,2)；B不符合，原式＝sin15°·cos15°＝eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(1,4)；C符合，原式＝eq\f(\r(3),3)·coseq\f(π,6)＝eq\f(1,2)；D不符合，原式＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan30°,1－tan230°)＝eq\f(1,2)tan60°＝eq\f(\r(3),2)，故选AC．7.ABC解析:因为y=2sinx+23cosx=4(12sinx+32cosx)=4sin(x+π3)≤4,所以函数y=2sinx+23cosx不能取得的是4.5.8.－eq\f(\r(3),3)解析：∵eq\f(π,2)<α<π，∴tanα＝－eq\r(\f(1－cos2α,1＋cos2α))＝－eq\f(\r(3),3).9.eq\f(4,5)解析：∵taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))，∴tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα).∴eq\f(1－cosα,1＋cosα)＝eq\f(1,9)，解得cosα＝eq\f(4,5).10.32解析:因为1-2sin2(α+π4)=cos(2α+π2)=-sin2α,所以sin2(α+π4)=34.因为α∈(0,π2),所以α+π4∈(π411.解因为α为钝角，β为锐角，sinα＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(12,13)，所以cosα＝－eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(5,13).所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－eq\f(3,5))×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(33,65).因为eq\f(π,2)<α<π，且0<β<eq\f(π,2)，所以0<α－β<π，即0<eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2)，所以coseq\f(α－β,2)＝eq\r(\f(1＋cosα－β,2))＝eq\r(\f(1＋\f(33,65),2))＝eq\f(7\r(65),65).由0<eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2)，得sineq\f(α－β,2)＝eq\r(1－cos2\f(α－β,2))＝eq\f(4\r(65),65)，所以taneq\f(α－β,2)＝eq\f(sin\f(α－β,2),cos\f(α－β,2))＝eq\f(4,7).12.D解析：由eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝4，得eq\f(1,sinθ·cosθ)＝4，所以eq\f(2,sin2θ)＝4，sin2θ＝eq\f(1,2).13.C解析:因为tanα=sinαcosα=26,sin2α+cos2α=1,所以cos2α=125.又因为π<α<3π2,所以cosα=-15,π2<α2<3π14.C解析：a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝sin26°，c＝eq\r(\f(2sin225°,2))＝sin25°，∴b>c>a．15.B解析:f(x)=(1+3tanx)·cosx=(1+3sinxcosx)·cosx=3sinx+cosx=2sin(x因为0≤x<π2,所以π6≤x+π6<2π3,所以当x+π6=π216.A解析：tanα＝tan[(α＋eq\f(π,4))－eq\f(π,4)]＝eq\f(tanα＋\f(π,4)－1,1＋tanα＋\f(π,4))＝eq\f(1,3)，原式＝eq\f(cosα2sinα－cosα,2cos2α)＝tanα－eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,6)．17.2解析：原式＝1＋sinα＋2·eq\f(1－cos\f(π,2)－α,2)＝1＋sinα＋1－sinα＝2.18.－3解析：根据角θ的范围，求出cosθ后代入公式计算，即由sinθ＝－eq\f(3,5)，3π<θ<eq\f(7π,2)，得cosθ＝－eq\f(4,5)，从而taneq\f(θ,2)＝eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(－\f(3,5),1－\f(4,5))＝－3.19.eq\r(x2－1)解析：∵0<θ<eq\f(π,2)，sineq\f(θ,2)＝eq\r(\f(x－1,2x))，∴coseq\f(θ,2)＝eq\r(1－\f(x－1,2x))＝eq\r(\f(x＋1,2x)).∴taneq\f(θ,2)＝eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝eq\r(\f(x－1,x＋1))，tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq\f(2\r(\f(x－1,x＋1)),1－\f(x－1,x＋1))＝eq\r(\f(x－1,x＋1))·(x＋1)＝eq\r(x2－1).20.解:(1)由sinx≠0,得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.因为f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx=2cosx(sinx-cosx)=sin2所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π(2)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2](k由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,x≠kπ(k∈Z),得kπ-π8≤x≤kπ+3π8,x≠所以f(x)的单调递增区间为[kπ-π8,kπ)和(kπ,kπ+3π8](k∈A级必备知识基础练1.[探究点一]已知cosα=15,α∈(3π2,2π),则sinαA.105 B.-10C.265 D2.[探究点一·2024甘肃武威高一期末]已知sinα=55,cosα=255,则tanαA.2-5 B.2+5 C.5-2 D.±(5-2)3.[探究点二]2cos(2x+π3)sin(2x-π3)=(A.12+cos4x B.12-C.32+cos4x D.-32+4.[探究点二]若sinα+sinβ=1213,cosα+cosβ=613,则tanα+A.2 B.12C.-2 D.-15.[探究点三·2024四川资阳高二阶段练习]函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期为()A.π4 B.πC.π D.2π6.[探究点二·苏教版教材习题改编]sin20°-sin40°cos207.[探究点一]已知180°<α<270°,且sin(α+270°)=45,则sinα2=,tanα28.[探究点二]若cosπ4+θcosπ4-θ=14,则sin4B级关键能力提升练9.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,则fπ12=(A.6-22 B.C.1 D.210.若3π<x<4π,则1+cosx2+1A.2cos(π4−x2) B.-2C.2sin(π4−x2) D.-211.设函数f(x)=2cos2x+3sin2x+a(a为实常数)在区间0,π2上的最小值为-4,那么aA.4 B.-6 C.-4 D.-312.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为(A.34 B.35 C.12 13.若cosθ=-725,θ∈(π,2π),则sinθ2+cosθ2=,sinθ2-cosθC级学科素养创新练14.已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32答案：1.A∵α∈(3π2,2π),∴α2∈(3π4,π),sin2.C∵sinα=55,cosα=255,∴tanα3.D2cos(2x+π3)sin(2x-π3)=sin[(2x+π3)+(2x-π3)]-sin[(2x+π3)-(2x-π3)]=sin4x-sin2π3=sin4.A由sinα+sinβ=sin(α+β2+α-β2)+sin(cosα+cosβ=cos(α+β2+α-β2)+cos(两式相除得tanα+β2=12135.C由二倍角公式和辅助角公式化简f(x)=sinxcosx+cos2x,可得f(x)=12sin2x+cos2x=52sin(2x+φ),其中tanφ由三角函数的周期公式可得最小正周期T=2π2=π.故选6.-3原式=sin(30°-10°)-7.31010-3∵sin(α+270°)=-cosα=∴cosα=-45又180°<α<270°,∴90°<α2<∴sinα2=1-cosα2=1+8.58cosπ4=cosπ4+θ=12sin=12cos2θ=1∴cos2θ=12∴sin4θ+co