数学建模Matlab数据拟合详解

用Matlab進行数据拟合1.多项式曲线拟合:polyfit.y0=polyval(p,x0)p=polyfit(x,y,m)其中,x,y為已知数据點向量,分别表达横,纵坐標,m為拟合多项式的次数,成果返回m次拟合多项式系数,從高次到低次寄存在向量p中.可求得多项式在x0处的值y0.例1已知观测数据點如表所示xy0-0.4470.11.9780.23.280.36.160.47.080.57.340.67.660.79.560.89.480.99.3111.2分别用3次和6次多项式曲线拟合這些数据點.x=0:0.1:1y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2]plot(x,y,'k.','markersize',25)axis([01.3-216])p3=polyfit(x,y,3)p6=polyfit(x,y,6)编写Matlab程序如下:t=0:0.1:1.2s=polyval(p3,t)s1=polyval(p6,t)holdonplot(t,s,'r-','linewidth',2)plot(t,s,'b--','linewidth',2)gridx=0:0.1:1y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2]plot(x,y,'k.','markersize',25)axis([01.3-216])p3=polyfit(x,y,3)p6=polyfit(x,y,6)例2用切削机床進行金属品加工時,為了合适地调整机床,需要测定刀具的磨损速度.在壹定的時间测量刀具的厚度,得数据如表所示:切削时间t/h030.0129.1228.4328.1428.0527.7627.5727.2827.0刀具厚度y/cm切削时间t/h926.81026.51126.31226.11325.71425.31524.81624.0刀具厚度y/cm解:描出散點图,在命令窗口输入:t=[0:1:16]y=[30.029.128.428.128.027.727.527.227.026.826.526.326.125.725.324.824.0]plot(t,y,'*')解:描出散點图,在命令窗口输入:t=[0:1:16]y=[30.029.128.428.128.027.727.527.227.026.826.526.326.125.725.324.824.0]plot(t,y,'*')a=-0.301229.3804holdonplot(t,y1),holdoffa=polyfit(t,y,1)y1=-0.3012*t+29.3804例2用切削机床進行金属品加工時,為了合适地调整机床,需要测定刀具的磨损速度.在壹定的時间测量刀具的厚度,得数据如表所示:切削時间t/h030.0129.1228.4328.1428.0527.7627.5727.2827.0刀具厚度y/cm切削時间t/h926.81026.51126.31226.11325.71425.31524.81624.0刀具厚度y/cm拟合曲线為:y=-0.3012t+29.3804例3壹种15.4cm×30.48cm的混凝土柱在加压试验中的应力-应变关系测试點的数据如表所示1.552.472.933.03已知应力-应变关系可以用壹条指数曲线来描述,即假设式中,表示应力,单位是N/m2;表示应变.2.89已知应力-应变关系可以用壹条指数曲线来描述,即假设式中,表示应力,单位是N/m2;表示应变.解选用指数函数作拟合時,在拟合前需作变量代换,化為k1,k2的线性函数.于是,令即在命令窗口输入:x=[500*1.0e-61000*1.0e-61500*1.0e-6*1.0e-62375*1.0e-6]y=[3.103*1.0e+32.465*1.0e+31.953*1.0e+31.517*1.0e+31.219*1.0e+3]z=log(y)a=polyfit(x,z,1)k1=exp(8.3009)w=[1.552.472.933.032.89]plot(x,w,'*')y1=exp(8.3009)*x.*exp(-494.5209*x)plot(x,w,'*',x,y1,'r-')已知应力-应变关系可以用壹条指数曲线来描述,即假设式中,表示应力,单位是N/m2;表示应变.拟合曲线為:令则求得于是在实际应用中常見的拟合曲线有:直线多项式壹般n=2,3,不适宜過高.双曲线(壹支)指数曲线2.非线性曲线拟合:lsqcurvefit.功能:x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)[x,resnorm]=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)根据給定的数据xdata,ydata(對应點的横,纵坐標),按函数文献fun給定的函数,以x0為初值作最小二乘拟合,返回函数fun中的系数向量x和残差的平方和resnorm.例4已知观测数据點如表所示xy03.10.13.270.23.810.34.50.45.180.560.67.050.78.560.89.690.911.25113.17求三個参数a,b,c的值,使得曲线f(x)=aex+bx2+cx3与已知数据點在最小二乘意义上充足靠近.首先编写存储拟合函数的函数文献.functionf=nihehanshu(x,xdata)f=x(1)*exp(xdata)+x(2)*xdata.^2+x(3)*xdata.^3保留為文献nihehanshu.m例4已知观测数据點如表所示xy03.10.13.270.23.810.34.50.45.180.560.67.050.78.560.89.690.911.25113.17求三個参数a,b,c的值,使得曲线f(x)=aex+bx2+cx3与已知数据點在最小二乘意义上充足靠近.编写下面的程序调用拟合函数.xdata=0:0.1:1;ydata=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17];x0=[0,0,0];[x,resnorm]=lsqcurvefit(@nihehanshu,x0,xdata,ydata)编写下面的程序调用拟合函数.xdata=0:0.1:1;ydata=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17];x0=[0,0,0];[x,resnorm]=lsqcurvefit(@nihehanshu,x0,xdata,ydata)程序运行後显示x=3.00224.03040.9404resnorm=0.0912例4已知观测数据點如表所示xy03.10.13.270.23.810.34.50.45.180.560.67.050.78.560.89.690.911.25113.17求三個参数a,b,c的值,使得曲线f(x)=aex+bx2+cx3与已知数据點在最小二乘意义上充足靠近.阐明:最小二乘意义上的最佳拟合函数為f(x)=3ex+4.03x2+0.94x3.此時的残差是:0.0912.f(x)=3ex+4.03x2+0.94x3.拟合函数為:练习:1.已知观测数据點如表所示xy03.10.13.270.23.810.34.50.45.180.560.67.050.78.560.89.690.911.25113.17求用三次多项式進行拟合的曲线方程.2.已知观测数据點如表所示xy1.617.72.7491.313.14.1189.43.6110.82.334.50.644.9409.13652.436.9求a,b,c的值,使得曲线f(x)=aex+bsinx+clnx与已知数据點在最小二乘意义上充足靠近.插值問題已知n+1个节点其中互不相同,不妨设求任一插值点处的插值节点可视为由产生,g体現式复杂,甚至無体現式

1.分段线性插值

xjxj-1xj+1x0xn实用插值措施机翼下轮廓线2.三次样条插值细木条:样条输入:节點x0,y0,插值點x(均為数组,長度自定义);输出:插值y(与x同長度数组).1.分段线性插值:已經有程序y=interp1(x0,y0,x)y=interp1(x0,y0,x,’linear’)2.三次样条插值:已經有程序y=interp1(x0,y0,x,’spline’)或y=spline(x0,y0,x)用Matlab作插值计算例5对在[-1,1]上,用n=20的等距分点进行分段线性插值,绘制f(x)及插值函数的图形.解在命令窗口输入:x=-1:0.1:1y=1./(1+9*x.^2)xi=-1:0.1:1yi=interp1(x,y,xi)plot(x,y,'r-',xi,yi,'*')例6对在[-5,5]上,用n=11个等距分点作分段线性插值和三次样条插值,用m=21个插值点作图,比较结果.解在命令窗口输入:n=11,m=21x=-5:10/(m-1):5y=1./(1+x.^2)z=0*xx0=-5:10/(n-1):5y0=1./(1+x0.^2)y1=interp1(x0,y0,x)y2=interp1(x0,y0,x,'spline')[x'y'y1'y2']plot(x,z,'r',x,y,'k:',x,y1,'b',x,y2,'g')gtext('Piece.-linear.'),gtext('Spline'),gtext('y=1/(1+x^2)')01.00001.00001.00000.50000.80000.75000.82051.00000.50000.50000.50001.50000.30770.35000.29732.00000.0.0.2.50000.13790.15000.14013.00000.10000.10000.10003.50000.07550.07940.07454.00000.05880.05880.05884.50000.04710.04860.04845.00000.03850.03850.0385例6对在[-5,5]上,用n=11个等距分点作分段线性插值和三次样条插值,用m=21个插值点作图,比较结果.xyy1y2解在命令窗口输入:例7在壹天24h内,從零點開始每间隔2h测得的环境温度為12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13(單位:)推测在每1s時的温度.并描绘温度曲线.t=0:2:24T=[129910182428272520181513]plot(t,T,'*')ti=0:1/3600:24T1i=interp1(t,T,ti)plot(t,T,'*',ti,T1i,'r-')T2i=interp1(t,T,ti,'spline')plot(t,T,'*',ti,T1i,'r-',ti,T2i,'g-')例8在飞机的机翼加工時,由于机翼尺寸很大,壹般在图紙上只能標出部分要點的数据.某型号飞机的机翼上缘轮廓线的部分数据如下:x04.749.051938577695114133y05.238.111.9716.1517.116.3414.6312.166.69x152171190y7.033.990例8在飞机的机翼加工時,由于机翼尺寸很大,壹般在图紙上只能標出部分要點的数据.某型号飞机的机翼上缘轮廓线的部分数据如下:x=[04.749.051938577695114133152171190]y=[05.238.111.9716.1517.116.3414.6312.169.697.033.990]xi=[0:0.001:190]yi=interp1(x,y,xi,'spline')plot(xi,yi)例9天文學家在198月份的7次观测中,测得地球与金星之间距离(單位:m),并取其常用對数值与曰期的壹组历史数据如下所示,试推断何時金星与地球的距离(單位:m)的對数值為9.9352.曰期18202224262830距离對数9.96189.95449.94689.93919.93129.92329.9150解由于對数值9.9352位于24和26两天所對应的對数值之间,因此對上述数据用三次样条插值加细為步長為1的数据:解由于對数值9.9352位于24和26两天所對应的對数值之间,因此對上述数据用三次样条插值加细為步長為1的数据:x=[18:2:30]y=[9.96189.95449.94689.93919.93129.92329.9150]xi=[18:1:30]yi=interp1(x,y,xi,'spline')A=[xi;yi]A=18.000019.000020.000021.000022.000023.000024.000025.000026.000027.000028.000029.000030.00009.96189.95819.95449.95069.94689.94309.93919.93529.93129.92729.92329.91919.9150练习:1.设在区间[-2,2]上用10等分點作為节點,分别用三种插值措施:(1)计算并输出在该区间的20等分點的函数值.(2)输出這個函数及两個插值函数的图形.(3)對输出的数据和图形進行分析.1.设在区间[-2,2]上用10等分點作為节點,分别用三种插值措施:(1)计算并输出在该区间的20等分點的函数值.zi=0.01830.03870.07730.14110.23690.36850.52730.69800.85210.95991.00000.95990.85210.69800.52730.36850.23690.14110.07730.03870.01831.设在区间[-2,2]上用10等分點作為节點,分别用两种插值措施:(2)输出這個函数及两個插值函数的图形.练习:2.已知某型号飞机的机翼断面下缘轮廓线上的部分数据如表所示:假设需要得到x坐標每变化0.1時的y坐標,分别用两种插值措施對机翼断面下缘轮廓线上的部分数据加细,并作出插值函数的图形.xy0031.251.772.092.1112.0121.8131.2141.0151.6例5給药方案。

一种新药用于临床之前,必须设计给药方案.在快速静脉注射的给药方式下,所谓给药方案是指,每次注射剂量多大,间隔时间多长.药物进入机体后随血液输送到全身,在这个过程中不断地被吸收,分布,代谢,最终排除体外.药物在血液中的浓度,即单位体积血液中的药物含量,称血药浓度.在最简单的一室模型中,将整个机体看作一个房室,称中心室,室内的血药浓度是均匀的.快速静脉注射后,浓度立即上升;然后逐渐下降.当浓度太低时,达不到预期的治疗效果;血药浓度太高,又可能导致药物中毒或副作用太强.临床上,每种药物有一个最小有效浓度c1和一个最大治疗浓度c2.设计给药方案时,要使血药浓度保持在c1-c2之间.设本题所研究药物的最小有效浓度c1=10,最大治疗浓度c2=25例5給药方案。

显然,要设计給药方案,必须懂得給药後血药浓度随時间变化的规律.為此,從试验和理论两方面著手.在试验方面,對某人用迅速静脉注射方式壹次注入该药物300mg後,在壹定期刻t(小時)采集血样,测得血药浓度c如表:

血药浓度c(t)的测试数据t0.250.511.523468c19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01例5給药方案