2025年高起专宁夏数学（理科）考试真题及答案

2025年高起专宁夏数学（理科）考试练习题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=2x+3在区间（∞，a）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤3

B.a≥3

C.a≤3

D.a≥3

答案：A

解析：由于f(x)=2x+3是线性函数，斜率k=2>0，因此函数在区间（∞，a）上是减函数，即x的取值范围应满足x≤3，所以a≤3。

2.已知函数f(x)=x²4x+3的最小值为1，则a的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：C

解析：将f(x)=x²4x+3写成顶点式，得f(x)=(x2)²1。最小值为1，即顶点坐标为(2,1)。由题意得a=2+2=4。

3.已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，则该数列的通项公式为（）

A.an=2n3

B.an=2n+3

C.an=3n5

D.an=3n+5

答案：B

解析：由题意得a1+a2+a3+a4+a5=25，a5=15。由于{an}是等差数列，设公差为d，则a5=a1+4d。解得a1=3，d=2。所以an=a1+(n1)d=3+2(n1)=2n+3。

4.已知三角形ABC的三个角分别为A、B、C，且A+B+C=180°，若sinA=3/5，cosB=4/5，则sinC的值为（）

A.1/5

B.2/5

C.3/5

D.4/5

答案：B

解析：由于sinA=3/5，cosB=4/5，且A、B、C为三角形的内角，所以A、B、C均小于180°。根据sin²A+cos²A=1，得cosA=√(1sin²A)=√(1(3/5)²)=4/5。由cosB=4/5，得sinB=√(1cos²B)=√(1(4/5)²)=3/5。根据三角形内角和定理，sinC=sin(180°AB)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(3/5)(4/5)+(4/5)(3/5)=2/5。

5.若直线L的斜率为2，过点(3,4)，则直线L的方程为（）

A.2xy2=0

B.2xy+2=0

C.x2y+5=0

D.x2y5=0

答案：A

解析：直线L的斜率为2，过点(3,4)，根据点斜式方程yy1=k(xx1)，得y4=2(x3)。整理得2xy2=0。

6.若函数f(x)=(x1)²2在区间（∞，a）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a≥1

C.a≤2

D.a≥2

答案：A

解析：由于f(x)=(x1)²2是二次函数，且开口向上，最小值点为x=1。函数在区间（∞，a）上是减函数，即x的取值范围应满足x≤1，所以a≤1。

7.已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，则该数列的前8项和为（）

A.63

B.127

C.255

D.511

答案：C

解析：等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1q^n)/(1q)。代入a1=3，q=2，n=8，得S8=3(12^8)/(12)=255。

8.若直线L1：x2y+5=0与直线L2：x2y5=0所围成的三角形面积S为（）

A.20

B.25

C.30

D.50

答案：B

解析：两直线平行，距离d为|5(5)|/√(1²+(2)²)=10/√5=2√5。直线L1与x轴交点为(5,0)，直线L2与x轴交点为(5,0)，所以底为10。三角形面积S=(底高)/2=(102√5)/2=10√5=25。

二、填空题（每题5分，共40分）

9.已知函数f(x)=3x²2x+1在区间（∞，a）上是增函数，则实数a的取值范围是______。

答案：a≥2/3

解析：f(x)=3x²2x+1是二次函数，开口向上，最小值点为x=b/2a=(2)/(23)=1/3。函数在区间（∞，a）上是增函数，即x的取值范围应满足x≥2/3，所以a≥2/3。

10.已知等差数列{an}的前5项和为20，第5项为10，则该数列的公差d为______。

答案：2

解析：由题意得a1+a2+a3+a4+a5=20，a5=10。由于{an}是等差数列，设公差为d，则a5=a1+4d。解得a1=104d。又因为a1+a2+a3+a4+a5=5a1+10d=20，代入a1得104d+10d=20，解得d=2。

11.若函数f(x)=2x3在区间（∞，a）上是减函数，则实数a的取值范围是______。

答案：a≤3/2

解析：f(x)=2x3是线性函数，斜率k=2>0，因此函数在区间（∞，a）上是减函数，即x的取值范围应满足x≤3/2，所以a≤3/2。

12.若三角形ABC的三个角分别为A、B、C，且A+B+C=180°，若sinA=4/5，cosB=3/5，则cosC的值为______。

答案：1/5

解析：由于sinA=4/5，cosB=3/5，且A、B、C为三角形的内角，所以A、B、C均小于180°。根据sin²A+cos²A=1，得cosA=√(1sin²A)=√(1(4/5)²)=3/5。由cosB=3/5，得sinB=√(1cos²B)=√(1(3/5)²)=4/5。根据三角形内角和定理，cosC=cos(180°AB)=cos(A+B)=[cosAcosBsinAsinB]=(3/53/54/54/5)=1/5。

13.若直线L的斜率为3，过点(2,1)，则直线L的方程为______。

答案：3x+y7=0

解析：直线L的斜率为3，过点(2,1)，根据点斜式方程yy1=k(xx1)，得y1=3(x2)。整理得3x+y7=0。

14.若函数f(x)=(x2)²1在区间（∞，a）上是减函数，则实数a的取值范围是______。

答案：a≤2

解析：由于f(x)=(x2)²1是二次函数，且开口向上，最小值点为x=2。函数在区间（∞，a）上是减函数，即x的取值范围应满足x≤2，所以a≤2。

三、解答题（每题20分，共60分）

15.已知函数f(x)=x²2x+3，求f(x)的单调递增区间。

解：f(x)=x²2x+3是二次函数，开口向上，对称轴为x=b/2a=(2)/(21)=1。函数在x=1处取得最小值，因此在区间（1，+∞）上单调递增。

答案：单调递增区间为（1，+∞）。

16.已知等差数列{an}的前8项和为56，第8项为15，求该数列的通项公式。

解：由题意得a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=56，a8=15。由于{an}是等差数列，设公差为d，则a8=a1+7d。解得a1=157d。又因为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=8a1+28d=56，代入a1得157d+28d=56，解得d=1。所以a1=1571=8。通项公式为an=a1+(n1)d=8+(n1)1=n+7。

答案：通项公式为an=n+7。

17.在三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+b²=2c²。求证：角C为60°。

证明：由题意得a²+b²=2c²。根据余弦定理，cosC=(a²+b²c²)/(2ab)。代入a²+b²=2c²，得cosC