2025年高起专上海市数学（文科）真题试卷及答案

2025年高起专上海市数学（文科）练习题试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.180种

B.360种

C.540种

D.720种

解析：甲必须站在正中间，有1种站法。乙和丙两位同学必须站在一起，视为一个整体，与剩下的4名同学一起排列，共有5!种排列方式。乙和丙两位同学内部排列有2!种方式。所以，总共有1×5!×2!=120种站法。但乙和丙可以站在中间的左边或右边，所以实际站法是120×2=240种。由于甲在中间，两边对称，所以实际不同的站法为240/2=120种。故选A。

2.若函数f(x)=x^22x+1在区间（1，3）内的一个子区间是减函数，则这个子区间是（）

A.（1，2）

B.（1，3）

C.（2，3）

D.（1，2）

解析：函数f(x)=x^22x+1可以写成f(x)=(x1)^2。对称轴为x=1，开口向上。在区间（1，3）内，函数在x=1处取得最小值，因此在（1，2）区间内函数是减函数。故选A。

3.设函数f(x)=(xa)^2+b(a<b)，则函数f(x)的图像（）

A.对称轴为x=a

B.开口向下

C.最小值为a

D.最小值为b

解析：函数f(x)=(xa)^2+b的标准形式为f(x)=(xa)^2+b，对称轴为x=a，开口向上，最小值为b。故选A。

4.若x、y是方程组

\[

\begin{cases}

x+y=3\\

x^2+y^2=17

\end{cases}

\]

的解，则x^2+4y的值等于（）

A.10

B.15

C.20

D.25

解析：由方程组x+y=3和x^2+y^2=17，将x=3y代入第二个方程得(3y)^2+y^2=17，解得y=2或y=1。当y=2时，x=1；当y=1时，x=2。代入x^2+4y得1^2+4×2=9或2^2+4×1=10。故选B。

5.已知函数f(x)=|x1|+|x+2|的最小值为3，则x的取值范围是（）

A.x≤2

B.x≥1

C.2≤x≤1

D.x≤2或x≥1

解析：f(x)=|x1|+|x+2|表示x到1和2的距离之和。当x在2和1之间时，距离之和最小，为3。所以x的取值范围是2≤x≤1。故选C。

6.若等差数列{an}的前n项和为S_n=n^2n+1，则该数列的通项公式为（）

A.an=2n3

B.an=2n1

C.an=2n2

D.an=2n4

解析：由等差数列前n项和S_n=n^2n+1，得a_n=S_nS_{n1}=(n^2n+1)[(n1)^2(n1)+1]=2n2。故选C。

7.在三角形ABC中，BC=4，AC=5，AB=3，则三角形ABC的面积为（）

A.6

B.10

C.12

D.15

解析：由海伦公式，半周长p=(BC+AC+AB)/2=(4+5+3)/2=6。面积S=√[p(pBC)(pAC)(pAB)]=√[6(64)(65)(63)]=√[6×2×1×3]=6。故选A。

8.已知函数g(x)=x^33x^2+4在区间（∞，a）上是减函数，在区间（a，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a≥2

C.1<a<2

D.a≥3

解析：g'(x)=3x^26x，令g'(x)=0得x=0或x=2。当x<0或x>2时，g'(x)>0，g(x)是增函数；当0<x<2时，g'(x)<0，g(x)是减函数。所以a的取值范围是1<a<2。故选C。

二、填空题（每题5分，共40分）

9.若函数f(x)=2x3在区间（1，3）上是减函数，则实数a的取值范围是________。

答案：a≤1

解析：函数f(x)=2x3的导数f'(x)=2，恒大于0，所以f(x)在整个实数域上都是增函数。题目条件与实际情况不符，因此a的取值范围为a≤1。

10.已知等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，则该数列的通项公式为________。

答案：an=4n1

解析：由等差数列前n项和S_n=2n^2+n，得a_n=S_nS_{n1}=(2n^2+n)[2(n1)^2+(n1)]=4n1。

11.在三角形ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，则三角形ABC的面积为________。

答案：24

解析：由勾股定理知，三角形ABC是直角三角形。面积S=1/2×BC×AC=1/2×6×8=24。

12.若函数f(x)=|x1||x+2|的最大值为3，则x的取值范围是________。

答案：x≤2或x≥1

解析：f(x)=|x1||x+2|表示x到1的距离减去x到2的距离。当x≤2或x≥1时，f(x)取得最大值3。

13.已知函数g(x)=x^33x^2+4在区间（∞，a）上是减函数，在区间（a，+∞）上是增函数，则实数a的值为________。

答案：2

解析：g'(x)=3x^26x，令g'(x)=0得x=0或x=2。所以a的值为2。

14.若x、y是方程组

\[

\begin{cases}

x+y=2\\

x^2+y^2=8

\end{cases}

\]

的解，则x^2+y的值等于________。

答案：6

解析：将x+y=2代入x^2+y^2=8得(x+y)^22xy=8，即42xy=8，解得xy=2。由x+y=2得y=2x，代入x^2+y得x^2+(2x)=x^2x+2=(x1/2)^2+7/4。因为x^2+y^2=8，所以x^2+y=8y^2+y=6。

三、解答题（共20分）

15.（10分）已知函数f(x)=x^24x+3，求函数f(x)的图像的对称轴、开口方向和最小值。

答案：对称轴为x=2，开口向上，最小值为1。

解析：函数f(x)=x^24x+3可以写成f(x)=(x2)^21。对称轴为x=2，开口向上