2023年河北省邢台市高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(其中第2、3、6题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.(5分)设全集U={2,4,6,8},若集合M满足CvM={2,8},则()A.4CMB.6MC.4∈MD.6M2.(5分)已知复数z=1-i,则|z²+z|=()3.(5分)为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是3:1,被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是()A.16B.244.(5分)函的大致图象为()5.(5分)已知非零向量a,b满足a+6=a-b,则a-b在6方向上的投影向量为()6.(5分)中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列.现有一个“堆垛”,共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…,按此规律，则第50层小球的个数为()A.2400B.24017.(5分)已知圆台的上、下底面圆的半径之比为,侧面积为9π,在圆台的内部有一球0,该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为()A.3πB.5π8.(5分)已知在x∈(0,+∞)上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(其中第2题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.(5分)在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点),且x,则zx的值可以是()A.±2B.0C.±12.(5分)先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“两次掷出的点数之和是6”,事件B=“第一次掷出的点数是奇数”,事件C=“两次掷出的点数相同”,则()A.A与B互斥B.B与C相互独立3.(5分)已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,过点M(0,m)(m≠0)分别向抛物线C与圆F:(z-1)²+y²=1作切线，切点为分别为P,Q(P,Q不同于坐标原点),则下列判断正确的是()A.MP|OQB.MP⊥MFC.P,Q,F三点共线D.|MF|=|0Q|4.(5分)定义：对于定义在区间I上的函数f(x)和正数α(0<a≤1),若存在正数M,使得不等式|f(x₁)-f(z₂)≤M|z₁-2₂1对任意x₁,x₂∈I恒成立，则称函数f(x)在区间I上满足a阶李普希兹条件，则下列说法正确的有()A.函数f(x)=√x在(1,+∞)上满足阶李普希兹条件B.若函数f(x)=xlnx在[1,e]上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为2C.若函数f(x)在[a,b]上满足M=k(0<k<1)的一阶李普希兹条件，且方程f(z)=x在区间[a,b]上有解x₀,则x₀是方程f(x)=x在区间[a,b]上的唯一解D.若函数f(x)在[0,1]上满足M=1的一阶李普希兹条件，且f(0)=f(1),则存在满足条件的函数f(z),存在x₁,x₂∈[0,1],使得二、惧工咫：平遇共4小咫，母小遇万，共4UT·1.(5分)某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布N(4,²),且P(2≤X≤4)=0.4,若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为·2.(5分)已知,则cos2α=3.(5分)已知椭圆C:)的左、右焦点分别为F₁,F₂,过F₁的直线与C交于P,Q两点，若PF₁IPF₂,且,则椭圆C的离心率为4.(5分)长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1,AA₁=2,平面AB₁C与直线D₁C₁的交点为M,现将旋转一周，在旋转过程中，动直线CM与底面A₁B₁C₁D₁内任一直线所成最小角记为α,则sina的最大值是·四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(其中第1、2、3题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.(10分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,(n∈N*),a5-a1=30,S₄=30.(1)求数列{an}的通项公式；2.(12分)已知△ABC内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,2√2a²cosB+b²=2abcosC+a²+c².(2)若△ABC为锐角三角形，且a=4,求△ABC面积的取值范围.3.(12分)为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为,甲队其余4名队员对(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(II)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(ⅢI)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.4.(12分)如图(1),在□ABCD中，AD=2BD=4,AD⊥BD,将△ABD沿BD折起，使得点A到达点P处，如图(2).(2)若PC=2√5,求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值.5.(12分)已知函(1)当a=1时，求f(x)的极小值.(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.6.(12分)已知双曲线Γ:,F为双曲线I的右焦点，过F作直线l₁交双曲线I于A,B两点，过F点且与直线l₁垂(2)设直线AB,AP,AM,AN的斜率分别为k₁,k₂,k₃,k₄,且k₁k₂k3k4≠0,k₁+k₂≠0,记k₁+k₂=u,k₁k₂=v,k₃+k4=w,试探究v与u,w满足的方程关系，并将v用w,u表示出来.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(其中第2、3、6题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.解：由题意可得：M={4,6},【解析】根据元素与集合的关系及补集运算即可.【解析】利用复数乘法的几何意义求复数的模即可.3.解：设被抽取参与调研的乙村村民有x人，则甲村被抽取参与调研的有3x人，所以3x-x=8,即x=4,所以参加调研的总人数为x+3x=16.【解析】根据分层抽样的要求计算即可.故函数为非奇非偶函数，排除B、C;【解析】应用定义判断函数奇偶性，比较f(一π),),结合排除法即可得答案.所以α-b在6方向上的投影向量为【解析】由已知可得(a.b=0,,根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.6.解：不妨设第n层小球个数为an,由题意，a₂-a₁=3,a₃-a₂=5……,即各层小球之差成以3为首项，2为公差的等差数列，所以an-an-1=3+2(n-2)=2n-1(n≥2,n∈N*),故a5o=2499+2=2501.【解析】依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可.7.解：设圆台的上底面圆半径为r,则底面圆半径为2r,母线长为l,如图所示，作出圆台与球的轴截面.由于球0与圆台的上下底面及母线均相切，根据圆台的侧面积公式S=(πr+2πr)l=9π,可得r=1,所以球的直径为HG=2√2,故半径为√2,表面积为：8πDAEH0GBFC【解析】由圆台的侧面积公式及球的表面积公式计算即可. ∴要使与y=Ina在(0,+∞)上有两个交点，单调递减，【解析】根据题意可得：,两边取对数可得,从而根据题意可)上有两个交点，,再利用导数研究f(x)的单调性及最值，从而建立不等式，即可求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(其中第2题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)1.解：因为终边经过点【解析】由已知结合三角函数的定义即可求解.2.解：对于A项，互斥事件指不可能同时发生的两个事件，事件A可以有以下情况：第一次掷出1,第二次掷出5或第一次掷出3,第二次掷出3等，如此与事件B有同时发生的可能，故A错误；对于B项，,故B正确；对于D项，点数和为6,且两次点数相同仅有都是3点一种情况，,故D项正确.【解析】对于A、B选项，根据事件的对立与互斥定义即可分辨；对于C、D选项利用概率公式计算即可.3.解：由题意可知抛物线的焦点F(1,0),要求P,Q不同于一点，所以切线MP,MQ的斜率存在，且直线PM的斜率不为0,设抛物线的切线方程为y=k₁x+m,设m>0,则P在x轴上方，k₁>0,圆的切线方程为y=k₂x+m,Q在x轴上方，联立,整理可得k²z²+(2k₁m-4)x+m²=0,可得△=0,即(2km-4)²-4k2m²=0,则km=1,」即P(m²,2m);联立,整理可得：由题意可得∴MF|≠|0Q|,故D不正确.【解析】设抛物线的切线方程为y=k₁π+m,设m>0,则P在轴上方，k₁>0,圆的切线方程为y=k₂x+m,Q在x轴上方，分别与抛物线联立方程组求得点P,Q的坐标，进而结合每个选项的条件进行计算可判断结论.4.解：对于A,假设函数f(z)=√Z在(1,+∞)上满足·阶李普希兹条件，所以存在正数M≥1,对Vz₁,T₂∈(1,+∞),均有I√c1-√T2|≤M|x₁-x₂|2成立，故A正确；B选项：不妨设x₁>x2,因为f(x)=xlnxr在[1,e]上单调递增，即f(x₁)-Mr₁≤f(x2)-Mx₂对Vx₁>22,T₁,x₂∈[1,e]恒成立，即f(x)-Mx在[1,e]上单调递减，所以f'(x)-M≤0对Vr∈[1,e]恒成立，所以M≥1+lnx对Vr∈[1,e]恒成立，即M≥2,即M的最小值为2,B选项正确；C选项：假设方程f(x)=x在区间[a,b]上有两个解x₀,t,这与|f(x₀)-f(t)|=|x₀-t|矛盾，故只有唯一解，C选项正确；【解析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB选项；再利用反证法判断C选项；通过分类讨论可判断D选项.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1.解：由题设μ=4,所以P(X<2)=PX≤4)-P(2≤X≤4)=0.1.故答案为：0.1.【解析】由正态分布的性质知.,结合P(X<2)=P(X≤4)-P(2≤X≤4)即可求概率.所故答案为【解析】利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数关系求得,即可求值.故答案为：【解析】由PF₁⊥PF₂,且,设P|F₂I=5m,由椭圆的定义可得|PF₁I,|QF₁I的表达a的关系，进而可得c,a的关系，求出椭圆的离心率.4.解：由题意，α为动直线CM与底面A₁B₁C₁D₁所成角，只需求旋转过程中直线CM与面A₁B₁C₁D₁所成角的最大角即又面A₁B₁C₁D₁I面ABCD,只需求直线CM与面ABCD最大夹角正弦值，所以△CMB₁为等腰三角形，过M作MH⊥CB₁于H,则H必在线段CB₁上，综上，△MCB₁绕CB₁旋转过程中，M点轨迹是以H为圆心，MH为半径的圆上，,则CH=√5-x,故CM²-CH²=B₁M²-B₁H²,,△MCB₁绕CB₁旋转过程中，CM是CB₁为轴，圆H为底面的圆锥的母线，所以∠MCB₁为圆锥轴截面顶角的一半，且恒定不变，又sin∠MC]而直线CB₁与面ABCD夹角为∠BCB₁,故答案为：【解析】根据题设，将问题转化为求直线CM与面ABCD夹角最大值，利用平面的基本性质找到M点位置，并确定其轨迹为圆锥底面圆周，进而确定圆锥轴线与面ABCD的夹角、CM与圆锥轴线的夹角，利用和差角正余弦公式求它们的差、和正余弦值，即可确定sinα的最值.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(其中第1、2、3题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)两式相除得，1-q=-1,【解析】(1)由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解；(2)先求出bn,然后利用裂项求和即可求解.,则(2)法一：△ABC为锐角三角形，A+B+C=π,,则所以,可得,即,而tanA>所以S△ABC∈(4,8),故△ABC面积的取值范围为(4,8).法二：由,a=4,画出如图所示三角形，∵△ABC为锐角三角形，二点A落在线段A₁A₂(端点A₁,A₂除外)上，【解析】(1)利用余弦定理可得2√2a²cosB=2a²,结合三角形内角性质求角的大小；(2)法一：由已知可得·,应用正弦边角关系及三角形面积公式可得S△,即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.3.解：(1)事件B=“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”,事件A;=“甲队第j局获胜”,其中j=1,2,3,4,A;相互独立.又甲队明星队员M前四局不出场，故,j=1,2,3,4,B=A₁A₂A₃A₄+A₁A2A₃A4+A₁A₂A₃A₄,(II)设C为甲3局获得最终胜利，D为前3局甲队明星队员M上场比赛，由全概率公式知，PC)=PCD)P(D)+P(CD)P(D),因为每名队员上场顺序随机，【解析】(1)事件B=“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”,事件A;“甲队第局获胜”,利用互斥事件的概率求法求概率即(II)讨论M上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)利用贝叶斯公式求甲队明星队员M上场的概率.(2)方法一：如图，过点D做DF||BC,且DF=BC,连接PF,CF,由题意可知，BD⊥PD,BD⊥DF,PDnDF=D,取DF中点0,连接PO,由PF=PD,得PO⊥DF,过0点作OM垂直于DF,建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得P(0,0,2√3),B(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,-2,0),PC=(2,2,-2√3),DC=(2,4,0),BC设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),平面PDC的法向量为n=(x′,y',z'),,令x=√3,则z=1,故平面PBC的一个法向量为m=(√3,0,1),故平面PDC为n=(2√3,-√3,1).所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为方法二：由BD⊥BC,建立如图所示的空间直角坐标系，设P(x,y,z)(其中z>0),,解得CP=(-2,2,2√3),CD=(-4,2,0),BP=(2,2,2√3),B又因为两个平面的夹角范围为：,平面PBC的法向量为n=(x′,y',z',故平面PDC的一个法向量则z=1,故平面PBC的一个法向量为n=(0,-√3,1).所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为故平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为【解析】(1)利用勾股定理可得DC⊥PD,继而可得PD⊥面BDC,如此得证；(2)方法一、建立P点及其在底面BDC的投影连线为轴，再构建底面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量求两面的夹角；方法二、直接分别以BD、BC方向为z、y轴，建立空间直角坐标系，利用线段长求得P点坐标，再利用空间向量求两面5.解：(1)f(x)的定义域为R,x00+单调递增因此，当z=0时f(x)有极小值，极小值为f(0)=2-e.(i)若a≤0,则f'(x)<0,f(x)在(-