2026年甘肃省定西市渭源县第一中学等学校高考数学最后一卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年甘肃省定西市渭源县第一中学等学校高考数学最后一卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x=4k+1,k∈Z}，B={x|x=4k+3,k∈Z}，U=Z，则∁U(A∪B)=(

)A.{x|x=4k,k∈Z} B.{x|x=4k+2,k∈Z}

C.{x|x=2k,k∈Z} D.⌀2.已知p：log2(x+1)≤2，q：1x≥13，则pA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设实数a，b>0，在△ABC中，D为BC上一点，若AD=aAB+bAC，则1A.22 B.4 C.2+24.设数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，且对任意正整数n，点(an+1A.−16 B.16 C.−32 D.325.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x−y+2=0，圆M：x2+y2−4x=0，平面内一点Q(a,b)满足a2−3lna−b=0，设圆上一点P到直线l的距离为d，A.32 B.22+2 6.已知复数z满足2(sin30°+icos45°)z=1+i，则z−在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.如图，分别以等边三角形ABC三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为(

)A.π+3

B.π−3

C.8.圆锥的底面半径为6，高为6，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为(

)A.4π B.8π C.16π D.32π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知在△ABC中，tanA+tanB+tanC=3tanAtanB.设函数f(x)=sinx−sinA.C=π3 B.f(x)在区间[−π3,π3]上单调递增

C.f(A+3B)+f(3A+B)=010.已知数列{an}满足2an+2+an+1A.{an+1+an}是等比数列 B.{an−12n11.已知函数f(x)=lnxx，则下列结论正确的是(

)A.函数f(x)的极大值为1e

B.函数f(x)的极小值为−e

C.直线x−y−1=0是函数f(x)图象的一条切线

D.若关于x的不等式f(x)>a有唯一的整数解，则实数三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。12.某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有

种不同的分法.(用数字作答)13.在(x−1)(x+2)(x+3)(x+4)的展开式中，x3的系数为

．四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题5分)

已知函数f(x)=exx−kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数15.(本小题13分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinC−sinBsinA+sinB=a−bc．

(1)求角A；

(2)已知b=2，求16.(本小题15分)

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，D，E分别为AB，A1C1的中点．

(1)证明：A1D//平面EBC；

(2)17.(本小题15分)

小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响．

(1)求小张周日打羽毛球的概率；

(2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率；

(3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为X，求X的数学期望．18.(本小题17分)

已知点A在圆x2+y2=6上运动，过点A作x轴的垂线，垂足为B，点D满足条件BA=2BD．

(1)求点D的轨迹C的方程；

(2)在点D的轨迹C上存在两点E、F，使得以EF为直径的圆恰与C交于点G(2,1)，过点G作直线EF的垂线，垂足为H．

(ⅰ)求点H的轨迹方程；

(ⅱ)当点E在点F左侧时，若F′是C上一点，直线GF与GF′关于直线x=2对称，是否存在圆K：(x−a)219.(本小题17分)

已知函数f(x)=x(1−lnx)．

(1)求函数f(x)在x=e处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)设a，b为两个不相等的正数，且blna−alnb=a−b，证明：2<1a+1参考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.C

8.D

9.AC

10.AD

11.ACD

12.540

13.8.

14.(0,e15.解：(1)因为sinC−sinBsinA+sinB=a−bc．

所以c−ba+b=a−bc，

得(a−b)(a+b)=(c−b)c，

整理得b2+c2−a2=bc，

故cosA=b2+c2−a22bc=12，又A∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)由(1)知B+C=2π3，C=2π3−B，

由于△ABC是锐角三角形，

则0<B<π16.解：(1)证明：因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，D，E分别为AB，A1C1的中点，

所以作出示意图如下：

设BC的中点为M，又E，D分别为A1C1，AB的中点，

所以DM//AC，且DM=12AC，

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1E//AC，且A1E=12AC，

所以DM//A1E，且DM=12A1E，

所以四边形DMEA1为平行四边形，

所以EM//A1D，又EM⊂平面EBC，A1D⊄平面EBC，

所以A1D//平面EBC；

(2)我们以A为原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设直三棱柱的侧棱长AA1=h，可得

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,h)，D(1,0,0)，E(0,1,h)

17.解：(1)小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，

同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球，

在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3，

在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5，

在其他天气这4人不打球，

周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响，

设小张周日打羽毛球为事件A，

根据题目可知，周日下雨的概率为0.1，周日晴天或阴天的概率为0.5，小张在雨天打羽毛球的概率为0.3，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为0.5，

由全概率公式可得P(A)=0.5×0.5+0.1×0.3+(1−0.5−0.1)×0=0.28．

(2)设晴天或阴天打乒乓球的人数为Y，

根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为0.4，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为0.4，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为0，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为0.4，

P(Y≥2)=1−P(Y=0)−P(Y=1)，

P(Y=0)=(1−0.4)×(1−0.4)×(1−0.4)×(1−0)=0.63=0.216，

P(Y=1)=0.4×0.6×0.6×1+0.6×0.4×0.6×1+0.6×0.6×0.4×1=0.144×3=0.432，

故P(Y≥2)=1−0.216−0.432=0.352．

(3)根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为0.3+0.3=0.6，

小王雨天打球的概率为0.3，小周雨天打球的概率为0.3，

X可能的取值为0，1，2，3，

则P(X=0)=(1−0.6)×(1−0.3)2=0.196，

P(X=1)=0.6×(1−0.3)2+0.3×(1−0.6)×(1−0.3)×2=0.462，

P(X=2)=0.6×0.3×(1−0.3)×2+(1−0.6)×0.32=0.288，

P(X=3)=0.6×0.3×0.3=0.054，

则E(X)=0×0.196+1×0.462+2×0.288+3×0.054=1.2．

18.解：(1)因为点A在圆x2+y2=6上运动，过点A作x轴的垂线，垂足为B，点D满足条件BA=2BD，

设A(x0,y0)，D(x,y)，则B(x0,0)，x02+y02=6，

则BA=(0,y0)，BD=(x−x0,y)

所以(0,y0)=2(x−x0,y)，

则有x0=xy0=2y，消去x0，y0，可得点D的轨迹C的方程为：x26+y23=1；

(2)(ⅰ)当直线EF的斜率存在时，

设直线EF：y=kx+b，E(x1,y1)，F(x2,y2)，

联立y=kx+bx26+y23=1，得(1+2k2)x2+4kbx+2b2−6=0，

则x1+x2=−4kb1+2k2，x1x2=2b2−61+2k2，

由题意GE⋅GF=0，

即(x1−2)(x2−2)+(y1−1)(y2−1)=0，

所以(k2+1)x1x2+(kb−k−2)(x1+x2)+b2−2b+5=0，

代入化简得4k2+3b2+8kb−2b−1=0，

所以有(2k+3b+1)(2k+b−1)=0，

所以2k+b−1=0或2k+3b+1=0，

若2k+b−1=0，则直线EF：y=k(x−23)−13，所以直线EF过定点P(23,−13)；

若2k+3b+1=0，则直线EF：y=k(x−2)+1，此时直线EF过点G(2,1)(不合题意，舍去)．

当直线EF的斜率不存在时，E(x1,y1)，F(x1,−y1)，

由GE⋅GF=0有19.解：(1)已知函数f(x)=x(1−lnx)，

因此f(e)=e(1−lne)=0，因此切点(e,0)，

由f(x)=x(1−lnx)得，f′(x)=−lnx，k切=f′(e)=−lne=−1，

因此切线方程为：y−0=−1(x−e)，即：x+y−e=0；

(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，

由f(x)=x(1−lnx)得，f′(x)=−lnx，

当x=1时，f′(x)=0；当x∈(0,1)时f′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，

故f(x)在区间(0,1]内为增函数，在区间[1,+∞)内为减函数；

(3)证明：blna−alnb=a−b变形为lna+1a=lnb+1b，

令1a=m, 1b=n.则上式变为m(1−lnm)=n(1−lnn)，

于是命题转换为证明：2<m+n<e，

因为f(x)=x(1−lnx)，则有f(m)=f(n)，不妨设m<n，

由(2)知0<m<1，1<n<e，先证m+n>2，

要证：m+n>2⇔n>2−m⇔f(n)<f(2−m)⇔f(m)<f(2