2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第2讲 等差数列

第七章数列第2讲

等差数列1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的___都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，公差通常用字母d表示．数学语言表示为_______________(n∈N*)，d为常数．(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时____叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝____．第2项差同一个常数公差an＋1－an＝dAa＋b2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝_______________．(2)前n项和公式：Sn＝_________________＝_____________．a1＋(n－1)d

等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．1．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，则a5＝(

)A．－6 B．6C．－10 D．10解析：∵an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差d＝2的等差数列，又a1＝－2，∴a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6.故选B.3．(人教B选择性必修第三册5.2.2练习AT2改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＝5，a7＝20，则S8＝(

)A．90 B．100C．120 D．2004．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．955．(人教A选择性必修第二册4.2.2练习T5改编)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为________．解析：设项数为2n－1，则该数列的中间项为an＝S奇－S偶＝319－290＝29.29核心考向突破考向一等差数列的基本运算(1)(多选)记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知S4＝0，a5＝5，则下列说法正确的是(

)A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2

等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量转换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．1.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(

)A．25 B．22C．20 D．152．(2025·重庆模拟)中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是_____秒．12考向二

等差数列的判定与证明

等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立．(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．考向三

等差数列的性质(2)(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的是(

)A．a7 B．a8

C．S15 D．S16

等差数列项的性质利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量．1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n的值为(

)A．17 B．15C．13 D．11角度2等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝(

)A．7 B．8C．9 D．10(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，则该数列的公差d＝_____．5角度3等差数列前n项和的最值问题

等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1<0，S3＝S11，则当n＝________时，Sn最小．7

(2025·山东济宁模拟)等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a7＝3a5，则下列说法正确的是(

)A．d<0B．a1>0C．当n＝5时，Sn最小D．当Sn>0时，n的最小值为8课时作业一、单项选择题1．(2024·河北石家庄三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S9＝6a5＋27，则S5＝(

)A．25 B．27C．30 D．35二、多项选择题9．(2024·山东临沂二模)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列命题为真命题的是(

)A．若a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，则a1＋a2＝5B．若a2＋a13＝4，则S14＝28C．若S15<0，则S7>S8D．若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>010.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，且a2＝18，a4＋a6＝90，则(

)A．a1＝6 B．{an}的公差为9C．a6＝3a3 D．S9＝40511．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是(

)A．若d<0，则S1是数列{Sn}的最大项B．若数列{Sn}有最小项，则d>0C．若数列{Sn}是递减数列，则对任意的n∈N*，均有Sn<0D．若对任意的n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列三、填空题12．(2025·河北省级期末联考)已知公差大于0的等差数列{an}满足a4＋a2－a1＝3，a4a6＝－7，则数列{an}的前8项和为________．813．(2025·山东济宁模拟)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，已