冀教版初中数学几何讲义

冀教版初中数学几何讲义前言同学们，当你们开始接触几何，你们便打开了一扇通往奇妙图形世界的大门。几何学是数学的重要分支，它不仅帮助我们理解空间的奥秘，更能培养我们的逻辑思维能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。本讲义将伴随大家一同探索冀教版初中数学几何的核心内容，从最基本的点线面开始，逐步深入到复杂的图形性质与证明。希望大家能在学习过程中，多观察、多思考、多动手，真正体会到几何的魅力。第一部分：几何图形初步1.1几何图形与平面图形我们生活在一个充满形状和大小的世界里。环顾四周，房屋的结构、书本的轮廓、各种器物的造型，都给我们以图形的印象。在数学中，我们把从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。几何图形根据其构成元素是否都在同一平面内，可以分为平面图形和立体图形。像我们熟悉的三角形、正方形、圆形，它们的所有部分都在同一个平面上，这样的图形就是平面图形。而长方体、圆柱体、球体等，则是立体图形，我们将在后续的学习中专门研究。本阶段，我们主要聚焦于平面图形。思考与小结：尝试列举生活中你所见到的平面图形和立体图形，体会它们的区别与联系。1.2点、线、面、体几何图形都是由基本的元素构成的。点是构成图形的最基本元素，它没有大小，通常用一个大写字母来表示，如点A、点B。线是由无数个点组成的，它有长度，但没有宽度和厚度。线可以分为直线、射线和线段。*直线：可以向两端无限延伸，没有端点。我们通常用直线上的两个点来表示，如直线AB，或者用一个小写字母表示，如直线l。直线的基本性质是：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。*射线：由直线上的一点和它一旁的部分组成，这个点叫做射线的端点。射线可以向一端无限延伸，有一个端点。射线用表示端点和射线上另一点的两个字母表示，且端点字母必须写在前面，如射线OA。*线段：直线上两点及两点间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。线段有两个端点，不能延伸，可以度量长度。线段用表示它两个端点的字母表示，如线段AB，或线段BA，也可以用一个小写字母表示，如线段a。面是由线运动形成的，它有平的面和曲的面之分。平静的水面、黑板面都是平的面，而篮球的表面则是曲的面。体是由面围成的。例如，长方体是由六个长方形的面围成的。点、线、面、体之间存在着密切的联系：点动成线，线动成面，面动成体。例题：如图，已知平面上有A、B、C三点，过其中每两点画直线，一共可以画几条直线？分析：这道题需要考虑三点的位置关系。如果三点在同一条直线上，那么过这三点只能画一条直线；如果三点不在同一条直线上，那么过每两点可以画一条直线，共三条。解答：当A、B、C三点共线时，可画1条直线；当A、B、C三点不共线时，可画3条直线。1.3线段的比较与度量线段有长度，所以我们可以比较两条线段的长短。比较的方法有两种：1.叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使它们的一个端点重合，然后观察另一个端点的位置。2.度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，再进行比较。两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。线段的中点：如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，那么点M叫做线段AB的中点。这时，AM=MB=1/2AB。例题：已知线段AB=8cm，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，求线段AD的长度。分析：首先根据中点的定义求出AC和BC的长度，再求出CD的长度，最后AD=AC+CD。解答：因为点C是AB的中点，所以AC=BC=1/2AB=4cm。又因为点D是BC的中点，所以CD=1/2BC=2cm。因此，AD=AC+CD=4cm+2cm=6cm。答：线段AD的长度为6cm。1.4角角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角也可以看作是由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。角的表示方法：1.用三个大写字母表示，如∠AOB，其中O是顶点，A、B分别是角的两条边上的点，顶点字母必须写在中间。2.用一个大写字母表示，当顶点处只有一个角时，如∠O。3.用一个数字表示，如∠1。4.用一个希腊字母表示，如∠α。角的度量：角的度量单位是度、分、秒。把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。它们之间的换算关系是：1°=60′，1′=60″。角的比较：类似于线段的比较，角的比较也有叠合法和度量法。角的分类：*锐角：大于0°而小于90°的角。*直角：等于90°的角。*钝角：大于90°而小于180°的角。*平角：等于180°的角（一条射线绕其端点旋转，当终边和始边成一条直线时所成的角）。*周角：等于360°的角（一条射线绕其端点旋转一周所成的角）。角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。例题：已知∠AOB=120°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数。分析：先由OC平分∠AOB求出∠AOC和∠BOC的度数，再由OD平分∠AOC求出∠AOD和∠DOC的度数，最后∠BOD=∠BOC+∠COD。解答：因为OC是∠AOB的平分线，∠AOB=120°，所以∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB=60°。因为OD是∠AOC的平分线，所以∠AOD=∠DOC=1/2∠AOC=30°。因此，∠BOD=∠BOC+∠COD=60°+30°=90°。答：∠BOD的度数为90°。1.5相交线与平行线1.5.1相交线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行（特殊情况下重合，我们暂不考虑）。当两条直线相交时，会形成四个角。*对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。对顶角相等。*邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角。邻补角的和是180°。垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直用符号“⊥”表示。垂线的性质：1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。1.5.2平行线平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示。平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。由平行公理可以推出：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行线的判定：1.同位角相等，两直线平行。2.内错角相等，两直线平行。3.同旁内角互补，两直线平行。平行线的性质：1.两直线平行，同位角相等。2.两直线平行，内错角相等。3.两直线平行，同旁内角互补。例题：如图，已知∠1=∠2，∠A=∠D。求证：AB∥CD。分析：要证AB∥CD，可考虑证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。已知∠A=∠D，若能证明∠A=∠AFD（或∠D=∠AFC），则可利用同位角相等证明平行。而∠1=∠2，它们是一对对顶角的补角吗？或者与∠AFD、∠AFC有关？证明：因为∠1=∠2（已知），又因为∠1=∠3（对顶角相等），所以∠2=∠3（等量代换）。所以AE∥FD（同位角相等，两直线平行）。所以∠A=∠AFD（两直线平行，内错角相等）。又因为∠A=∠D（已知），所以∠AFD=∠D（等量代换）。所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。第二部分：三角形2.1三角形的有关概念三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。三角形的高、中线与角平分线：*三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。*三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。*三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。2.2三角形的内角和与外角三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形外角的性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。例题：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求这个三角形各内角的度数。分析：设每一份为x，则∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，再根据三角形内角和定理列出方程求解。解答：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x。因为∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），所以2x+3x+4x=180°，9x=180°，x=20°。因此，∠A=2x=40°，∠B=3x=60°，∠C=4x=80°。答：这个三角形各内角的度数分别为40°、60°、80°。2.3全等三角形全等形与全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。例如，△ABC全等于△DEF，记作“△ABC≌△DEF”。在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。三角形全等的判定：1.边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。4.角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。例题：已知，如图，AB=AD，BC=DC。求证：∠B=∠D。分析：要证∠B=∠D，可以考虑证明△ABC≌△ADC。已知AB=AD，BC=DC，公共边AC=AC，所以可以利用“SSS”判定定理。证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD（已知），BC=DC（已知），AC=AC（公共边），所以△ABC≌△ADC（SSS）。所以∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）。第三部分：几何证明初步3.1命题与证明命题：判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设（或条件）和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。公理与定理：*公理：人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。*定理：经过推理证实的真命题叫做定理。定理可以作为继续推理的依据。证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。证明的一般步骤：1.根据题意，画出图形。2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。3.2辅助线在几何证明中，有时为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。辅助线通常画成虚线。添加辅助线的目的是构造全等三角形、平行线、或把分散的条件集中起来，以便于利用已知条件和相关定理进行证明。例题：已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。分析：要证DE=DF，可证它们所在的△BDE和△CDF全等。已知AB=AC，所以∠B