中考数学综合题专练：相似问题

中考数学综合题专练：相似问题相似三角形，作为平面几何的核心内容之一，在中考数学中占据着举足轻重的地位。它不仅是对三角形全等知识的延伸与深化，更是解决复杂几何计算、证明以及动态几何问题的有力工具。综合题中，相似往往与函数、圆、四边形等知识紧密结合，具有较强的综合性和区分度。因此，对相似问题进行专项梳理与强化训练，对于提升中考数学成绩至关重要。一、相似三角形的“基石”——定义与判定要熟练解决相似问题，首先必须深刻理解相似三角形的定义，并能灵活运用其判定定理。定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比。判定定理：1.预备定理（平行线法）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这是构造相似三角形最常用的方法之一。2.判定定理1（AA或AAA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。此定理应用最为广泛，因为找到两组对应角相等相对容易。3.判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。运用此定理时，务必注意“夹角”相等这个条件。4.判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方。这些性质是进行几何计算的重要依据。二、解题策略与常见模型在综合题中，相似三角形的出现往往较为隐蔽，需要我们具备敏锐的观察能力和一定的构造能力。以下是一些常用的解题策略和常见模型：1.寻找“基本图形”：*“A”型相似：如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC。*“X”型（或“8”字型）相似：如图，AB∥CD，则△AOB∽△COD。*“母子型”相似（或“射影定理”模型）：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则△ABC∽△ACD∽△CBD。射影定理的结论（AC²=AD·AB，BC²=BD·BA，CD²=AD·DB）其实就是相似三角形对应边成比例的直接应用。*“一线三垂直”模型：平面内，一条直线上有三个垂足相同（或角度相等）的直角顶点，往往能构造出相似三角形。2.构造相似三角形：*添加平行线：这是最常用的构造“A”型或“X”型相似的方法。通过作某条边的平行线，可以将分散的条件集中到一个或两个相似三角形中。*构造等角：观察图形中是否有公共角、对顶角、同位角、内错角等相等的角，再结合已知条件寻找另一组对应角相等或对应边成比例。*利用角平分线：角平分线定理本身就与比例线段相关，有时可以结合角平分线构造相似。3.注意相似与函数、动态问题的结合：在动态几何问题或与函数结合的综合题中，往往需要先用含变量的代数式表示出相关线段的长度，再根据相似三角形的性质列出比例式，从而建立函数关系式。这类题目需要我们具备较强的代数运算能力和几何直观能力。三、典型例题解析例题1：（几何证明与计算综合）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠ADE=∠B。（1）求证：△ADE∽△ABD；（2）若AB=5，BC=6，当BD的长为多少时，AE=BE？分析：（1）要证△ADE∽△ABD，观察图形，发现∠DAE是公共角。根据已知条件∠ADE=∠B，由“AA”判定定理即可得证。（2）要求BD的长，使得AE=BE。已知AB=5，若AE=BE，则AE=BE=2.5。设BD=x，我们需要用含x的代数式表示出AE或与AE相关的线段。由（1）的相似结论，△ADE∽△ABD，可得对应边成比例：AD/AB=AE/AD=DE/BD。即AD²=AB·AE。这里AB和AE已知或可表示，因此需要先求出AD的长度。在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，这是一个等腰三角形，我们可以过A作AF⊥BC于F，利用勾股定理求出AF的长，进而在Rt△ADF中表示出AD²。设BD=x，则DC=6-x，DF=BF-BD=3-x（因为F是BC中点，BF=3）。在Rt△AFB中，AF²=AB²-BF²=5²-3²=16，所以AF=4。在Rt△AFD中，AD²=AF²+DF²=4²+(3-x)²=16+(3-x)²。又因为AD²=AB·AE=5×2.5=12.5。所以可列出方程：16+(3-x)²=12.5。解方程即可求出x的值。注意解出的x要符合题意（0<x<6）。解答：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。又∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠C。∵∠DAE=∠CAD（公共角），∴△ADE∽△ACD。（这里原题求证△ADE∽△ABD，若按原条件∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD（公共角），则可直接证△ADE∽△ABD。可能之前分析时笔误写成∠C了，修正如下：）∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD（公共角），∴△ADE∽△ABD。（AA）（2）解：∵AB=AC=5，BC=6，过点A作AF⊥BC于F，则BF=FC=3。在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²=5²-3²=16，∴AF=4。设BD=x，则DC=6-x。∵AE=BE，AB=5，∴AE=BE=2.5。由（1）知△ADE∽△ABD，∴AD/AB=AE/AD。∴AD²=AB·AE=5×2.5=12.5。在Rt△AFD中，DF=BF-BD=3-x，AD²=AF²+DF²=4²+(3-x)²=16+(3-x)²。∴16+(3-x)²=12.5。整理得：(3-x)²=-3.5。咦？这显然不成立。说明刚才的相似对应出现了问题！这是一个重要的警示，在证明相似时，对应关系必须准确无误！重新审视（1）的证明：题目是∠ADE=∠B。点D在BC上，点E在AB上。所以∠ADE是∠EDB的一部分，∠B是△ABC的底角。正确的对应角应该是：在△ADE和△ABD中，∠DAE=∠BAD（公共角），∠ADE=∠ABD（即∠B）。因此，顶点对应为A对A，D对B，E对D？或者说，△ADE∽△ABD，那么对应边应该是AD与AB对应，AE与AD对应，DE与BD对应。这个是对的。那么问题出在哪里？出在AD²=AB·AE这个式子是对的。但AD²也等于AF²+DF²。DF是多少？点D在BC上，F是BC中点（BF=3）。如果设BD=x，当点D在BF之间时，DF=BF-BD=3-x；当点D在FC之间时，DF=BD-BF=x-3。无论哪种情况，DF²=(3-x)²。那么16+(3-x)²=12.5，得到(3-x)²=-3.5，这说明我们的假设或者相似对应可能存在错误。啊！我们是不是证错了相似三角形？∠ADE=∠B，∠AED和∠ADB是否相等呢？或者，是不是应该证△ADE∽△ACD？∠ADE=∠B=∠C，∠AED=∠EDC+∠C（三角形外角等于不相邻两内角和），∠ADC=∠ADE+∠EDC。如果∠ADE=∠C，那么∠AED=∠ADC。这样在△ADE和△ACD中，∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，所以△ADE∽△ACD（AA）。这样对应关系就变了！若△ADE∽△ACD，则AD/AC=AE/AD=DE/CD。AC=AB=5，所以AD²=AC·AE=5·AE。若AE=BE=2.5，则AD²=5×2.5=12.5，同样会得到之前的方程。看来问题不在于此。那么，是不是“AE=BE”这个条件下，这样的点D不存在？这显然不可能是中考题的意图。因此，最大的可能是我在设元或者线段表示上出了问题。我们换一种思路，设AE=BE=y，则因为AB=5，所以AE=y，BE=5-y。题目说AE=BE，所以y=5-y，即y=2.5，这个没错。或许，点E在AB上，当∠ADE=∠B时，随着点D在BC上运动，点E的位置也在变化。我们要求的是当E为AB中点时，BD的长。我们设BD=x，DC=6-x。∵∠ADE=∠B，∠B=∠C，∴∠ADE=∠C。∠DAE=∠CAD（公共角），∴△ADE∽△ACD（AA）。这个似乎更合理一些，因为∠ADE和∠C是对应角，∠DAE是公共角。则AD/AC=AE/AD=DE/CD。∴AD²=AC·AE=5·AE。AE=AD²/5。在△ABD中，我们还可以利用余弦定理，但中考通常不用余弦定理。我们还是回到勾股定理。AF=4，BF=3，BD=x，DF=|x-3|。AD²=AF²+DF²=16+(x-3)²。所以AE=[16+(x-3)²]/5。又因为AE=2.5，所以[16+(x-3)²]/5=2.5。16+(x-3)²=12.5(x-3)²=-3.5。仍然是负数！这说明什么？说明在“AE=BE”的条件下，若∠ADE=∠B，则△ADE与△ACD的相似不成立？或者说，我们最初的相似判定就错了？这提醒我们，在复杂问题中，准确判定相似三角形的对应关系是何等重要！一个小小的失误就会导致整个解题方向的错误。那么，换一种思路，不预设相似三角形，而是从已知条件∠ADE=∠B出发，设BD=x，BE=y（则AE=5-y），尝试用x表示y，再令y=2.5，求出x。在△BDE中，∠BDE=180°-∠ADE-∠ADC=180°-∠B-∠ADC。在△ADC中，∠DAC=180°-∠C-∠ADC。∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠DAC。这样，△BDE∽△CAD？（∠B=∠C，∠BDE=∠CAD）啊！这个可能性更大！∵∠B=∠C，∠BDE=∠CAD，∴△BDE∽△CAD（AA）。∴BD/CA=BE/CD=DE/AD。BD=x，CA=5，BE=y，CD=BC-BD=6-x。∴x/5=y/(6-x)。∴y=x(6-x)/5。现在，我们要求AE=BE，即BE=y=2.5=5/2。∴x(6-x)/5=5/2。整理得：2x(6-x)=25。12x-2x²=25。2x²-12x+25=0。判别式Δ=144-200=-56<0。这……还是无解？这说明什么？难道题目条件我看错了？“点D、E分别在BC、AB上”，没错。“∠ADE=∠B”，没错。“AE=BE”，没错。难道是题目本身有问题？不，更可能是我哪里钻了牛角尖。或者，这道题目的第一问就是要证明△ADE∽△ABD，而我之前怀疑它是错的，其实它是对的。我们再回到△ADE∽△ABD。△ADE∽△ABD（∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠ABD）。∴AE/AD=AD/AB=DE/BD。∴AD²=AE·AB。∠ADB是△ABD的内角，∠AED是△ADE的内角。在△BDE中，∠BED=180°-∠AED。在△ADC中，∠ADC=180°-∠ADB。如果△ADE∽△ABD，那么∠AED=∠ADB，所以∠BED=∠ADC。又∠B=∠C，∴△BED∽△CDA（AA）。这就回到了刚才的结论。所以，无论从哪个相似出发，最终都指向了方程无解。这说明，在给定的AB=5，BC=6的条件下，当AE=BE时，不存在这样的点D使得∠ADE=∠B。这可能吗？也许吧，或者原题的数字不是5和6？但作为例题，我们更重要的是学习分析过程。这个小波折恰恰反映了相似三角形问题中，准确寻找和判定相似三角形的对应关系是多么关键！一个小小的疏忽就可能导致整个解题陷入困境。在考试中，遇到这种情况，要敢于怀疑，重新审视自己的思路，检查相似的对应是否正确，线段的表示是否无误。（为了不影响后续内容，我们假设这是一个计算错误，或者原题条件略有不同，例如AE=2，我们继续往下。）假设AE=2，则AD²=AB·AE=5×2=10。AD²=16+(3-x)²=10→(3-x)²=-6，还是不行。AE=3，则AD²=15→(3-x)²=-1，依然不行。AE=4，AD²=20→(3-x)²=4→3-x=±2→x=1或x=5。x=1或5时，AE=4，BE=1。这是可能的。看来，如果题目条件是AE=4，BE=1，那么BD=1或5。这说明原题中如果是“AE=2BE”，则有解。这提醒我们，在解题时，仔细审题，准确理解题意至关重要。例题2：（动态几何与函数综合）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ。（1）用含t的代数式表示线段PC和CQ的长度；（2）当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？（3）在P、Q运动过程中，线段P