安徽省池州市多校2025~2026学年高二上学期第三次教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省池州市多校2025~2026学年高二上学期第三次教学质量检测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.对于直线，下列选项正确的是（）A.直线倾斜角为B.直线经过第四象限C.直线在轴上的截距为D.直线的一个方向向量为【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，，对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误；对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为，所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误；对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误；对于D，当时，，即直线过点，则，所以直线的一个方向向量为，故D正确.故选：D.2.已知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，且平面平面，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，且平面平面，所以得，则，得，，所以所以在上的投影向量为，故选：B3.已知拋物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】由在上，有，得，所以，，过点A作l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知，设l与x轴交于点G，则，有，又，所以为中点，有，．故选：A．4.已知圆与直线，若平分圆的面积，则的最小值为（）A.1 B.3 C.9 D.18【答案】C【解析】因为平分圆的面积，所以直线l过圆的圆心，即，即，所以，当且仅当时取等号.故选：C.5.已知数列是等差数列，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质和简单的三角运算．由，故，则，所以．故选：B.6.在四面体中，为的重心，在上，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】取的中点，连接，因为为的重心，所以，又，则，因为，所以为的中点，故.故选：B.7.阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，，，由题意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得或（舍去），所以，则，则.故选：C.8.已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可设：，则令，则，当，则，可知的图象开口向上，对称轴为，当，即时，可知在上的最小值为，则，整理得，解得，不合题意：当，即时，可知在内的最小值为，符合题意；综上所述：.可得椭圆的离心率.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则（）A. B.C.直线的斜率满足 D.【答案】BCD【解析】设抛物线方程为，焦点为，过焦点的直线与抛物线有两个交点，所以直线斜率不为，设直线方程为，直线与抛物线联立有：，整理有：，根据韦达定理有：，所以，所以；因为，根据焦点弦的性质可知，，所以A错误，B正确；因为，，所以，所以，所以C正确；因为，，所以，所以D正确.故选：BCD.10.在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A.若是等差数列，则是等方差数列B.是等方差数列C.若是等方差数列，则为常数也是等方差数列D.若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列【答案】BCD【解析】对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；对于C，数列中的项列举出来是，，，，，，，数列中的项列举出来是，，，，，，将这k个式子累加得，，，k为常数是等方差数列，故C正确；对于D，是等差数列，，则设.是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确.故选：BCD.11.如图，棱长为2的正方体的外接球的球心为O，E、F分别为棱AB、的中点，G在棱BC上，则（）A.对于任意点G，平面EFGB.存在点G，使得平面EFGC.直线EF被球O截得的弦长为D.过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，当与重合时，平面，平面，此时直线与平面相交，A错误；对于B，因为四边形为正方形，则，当为的中点时，，则，因平面，平面，则，因为，平面，则平面，因为平面，所以，同理，，因为，平面，所以平面，即平面，B正确；对于C，取的中点，因为，为的中点，则，所以，同理可得，则.因为平面，平面，则，所以，，则，球的半径为，所以直线被球截得的弦长为，C正确；设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.因为，则，所以截面圆面积，即截面圆面积的最小值为，D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间中有三点，则A到直线的距离为__．【答案】【解析】由题设，则A到直线的距离.故答案为：.13.一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和，设等和数列的公和为2，前项和为，若，则___________.【答案】【解析】，，．故答案为：.14.已知椭圆的左焦点为F，过原点的直线与C交于M，N两点，若的最小值为，则C的焦距为______．【答案】【解析】设椭圆右焦点为，则四边形为平行四边形，即，又，则，则，当且仅当时取等号，又的最小值为，则，解得，则，即C的焦距为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．解：（1）由题意，设圆心，圆经过点，与直线相切，所以，化简得，解得，则圆心，半径，所以圆的方程为．（2）由题意，直线l与圆C的距离，若斜率不存在，即，显然满足要求；若斜率存在，设直线l方程为，则，解得，则；直线l的方程为或．16.对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中.（1）若数列的通项公式，求的通项公式；（2）若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和.解：（1）依题意，且，所以；（2）因为，所以，所以．所以，且，故是首项为，公差为的等差数列.所以，所以数列的前n项和.17.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．（1）求的方程；（2）过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值．（1）解：由已知可得，所以，又因为，得①；将点代入双曲线方程，得②，联立①②得，所以，所以双曲线方程为：．（2）证明：由（1）得双曲线渐近线方程为，，设，则，，联立和，解得交点，则平行线和之间的距离，则平行四边形的面积，由于在双曲线上，则，所以，所以平行四边形的面积为定值1.18.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.（3）是否存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.（1）证明：因为平面，平面，所以，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，所以，所以即；（2）解：设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，由（1），又直线与平面所成角为，，所以，所以，又由（1）可得，所以点到平面的距离为.（3）解：由（2）平面的一个法向量为，显然平面的一个法向量为，则，假设存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为，则（舍去）或，所以存在点使得平面与平面所成角的正弦值为，为线段的中点.19.已知椭圆离心率为点在椭圆上，直线与x轴交于点B.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于E，F两点，直线AC，AD的斜率记为.①求证：为定值；②点G为CF中点，