大学《高等数学》考试复习练习题及答案 (八)

习题课八

一、选择题

（1）设在［0,1］上，/"（x）＞0,则下列不等式成立的是（A）

（A）r（i）＞/（i）-/（o）＞/z（o）；（B）r（i）＞,r（o）＞/（D-/（o）；

（C）/（l）-/（O）＞/r（l）＞/z（O）；（D）/7D＞/（0）-/（1）＞/Wo

解题思路：利用微分中值定理及一阶导数的单调性。

解：由Lag阳〃ge定理可知,华（0,1）,使得/⑴-/（0）=广©），

・・・/〃a）＞0,・,・广⑶严格单增,故广（0）5951）,

r（o）＜/（i）-/（o）＜r（i）o

（A）一个极小值点和两个极大值点;

（B）两个极小值点和一个极大值点;

（C）两个极小值点和两个极大值点;

（D）三个极小值点和一个极大值点;

(4)在区间(-8,+8)内方程|币+凶5-COSX=0(C)

(A)无实根；(B)有且只有一个实根；(C)恰有两个实根；(D)有无穷多个根。

,1.1

解:设/(x)=|x|4+|率-COSX,则/(幻为偶函数，只要考察/(%)在［0,欣)内零点

的情况。

..1.J..1

；X£(l,+8)时，/(x)=|x|4+|x|2-COSX>|x|2>1,/(X)在(1,+OO)内无零点，

［一31_1

・・•/(幻在［0』上连续、可导，f\x)=-X4+—X2+sinx>0,

42

・•・f(x)在［0』严格单增,

V/(0)=-1<0,/(l)=2-cosl>0,由零点定理知，^G(OJ),使/化)=0,

故/(x)在(0,1)内有且只有一个零点，/(x)在［0,口)内有且只有一个零点。

综上可知在(-00,+8)内方程+W3-COSX=0恰好有两个实根。

1

(5)曲线y=xe广()

(A)仅有水平渐近线；(B)既有垂直又有水平渐近线；

(C)仅有垂直渐近线；(D)既有垂直又有斜渐近线。

1

t2

解：1•令，=l，limxe"=Hm£—=oo,・，・曲线有一条垂直渐近线x=0。

xxfor->oot

I

~2-L

f(r)2I

•/a=limlim^^=1,b=lim［f(x)-ax\=lim(xex-x)=limx—=0,

X->8Xx—>O0X>00A—>coX-8尤^

・・・曲线有一条斜渐近线y=x,故应选(D)。

(6)设/(x)在x=0的某邻域内连续且/(0)=0,

lim"幻=2,则/(%)在x=0处(D)

x—01-COSX

(A)不可导；(B)可导且r(0)w0；(C)有极大值；(D)有极小值。

解题思路：四个结论都要考虑广(0)是否存在，是否为零。若/(0)存在，则

(A)不对；若八0)=0,则(B)不对；由/(0)=0,尸(0)=0可知，/(0)可能

是极值，是极大值还是极小值，只需看在"(0,3)内/(x)〉0还是/(幻<0。

/(v)1CQSV

解：•.・/(0)=lim小)—八°)=lim=1加.~=2xO=0，

K)X-0xT)X入T)1-COSXX

：.(A)、(B)都不对c

由limJ(x)=2>0的保号性以及l—cosx>0,可知在小(0,3)内恒有

x^Ol-COSX

/(x)>0,故/(0)是极小值。

(7)设函数八为在闭区间[。刈上有定义，在开区间3。)内可导，则(B)

(A)当/⑷/®<0时,存在03力),使筮)=0;

(B)V&£(9),有

(C)当/(4)=fS)时，存在"(a力),使广⑹=0；

(D)存在斥(a力)，使/®—/(.)=尸©)0—〃)。

(8)设/G)三阶可导/'(0)=0,且对一切x满足广(x)+"'(x)]2=x，贝lj(C)

⑷/(0)是/'(x)的极大值；

(B)/(0)是/'(x)的极小值；

(C)点(0,/(0))是曲线)，=/'(%)的拐点；

(D)/(。)不是“X)的极值，点(0"(0))也不是曲线y=f(x)的拐点o

解：把x=0代入等式，得了"(0)+"'(0)]2=0,=>/70)=0o

vf\x)=x—[r(x)]2，・•・r\x)=1-2f\x)f\x)，・•・一(0)=1

而"(0)=lim~~~~~~~~~~~~~~—lim~~~~~~=]>0,

xf0Xx—0X

・・・/"。)在点工=0两侧与工同号，由负变正，故(0"(0))是拐点。

2n

(9)设〃为正整数，则函数/(幻=(1+工+二+…+二)6-(D)

2!〃！

(A)有极小值；(B)有极大值；

(C)既无极小值也无极大值；(D)/(尢)有无极值依赖于"的取值。

2n-\2nn

解：・1/r(x)=(l+x+—+•••+-----)e~x-(1+x+—+•--+—)e~x=--e~x,

2!(71-1)!2!〃!nl

，当九为偶数时，/(x)<0，/(x)单调减少，既无极小值也无极大值;

当〃为奇数时，由于尸(0)=0,当x<0时，/⑴>0；

x>0时，/r(x)<0,故尢=。是/(x)的极大值点。

综上可知，应选(D)c

(10)若则方程/(X)=13+办2+乐+。=0()o

(A)无实根；(B)有唯一实根；(C)有两个实根；(D)有三个实根。

解：Vf(x)=3x2+2^+/?>0,，/(幻在(—8,+8)内单增，

,:limf(x)=+oo,limf(x)=-oo,，/(幻有唯一实根。

X->-K0Xf-CO

二、证明题

1.求证：当Ovxv九时，有sin±>±。

271

.X

sin—1

证明：只须证一(0<X<7l)

X71

sin—1

设/(%)=—2——,则f(x)在(0,冗］上连续，在(0㈤内可导,且八兀)=0。

x兀

XX.XX,XX\

cos——sin—cos—(——tan—)

则r(x)=2—4―2=R2.

x1%**

:当Ovx<兀时，cos—>0,tan—>—,

222

・・・尸。)<0,从而f(x)在(0,KJ内严格单减,

sin—1

，/(x)>/(兀)=。(0<x<7i),即...->—।sin—>—(0<x<7i)o

XJU271

另证：设g(x)=sin士」,则g(x)在[0,兀]上连续、可导，

2兀

，/、1x1"/、1.x

gW="cos——,g(x)=­7sinTJ

22兀42

♦・,在（0㈤内g\x）＜0，，在（0,兀）内g（x）的图形向上凸的,

.x

sin—[

又g(0)=g(兀)=。，***g(x)>0,艮|J--------->—(0<x<7i)o

xn

2.设x>0,常数。>e,证明：(a+x)"<ci"+'。

分析:要证(a+x)",只须证Qln(〃+x)<m+x)ln。，

on.-rln(tz+x)In。，八、

即证二-----<——(x>0)

a-\-xa

证明：设/(幻=处J>。)，则/。)=匕9，

%%2

二•当x>e时，尸(幻<0,・,•当时，/(x)单调减少，

・..//、//、nnln(<2+x)\na

.a+x>a>ey..f(a+x)<f{d),K|J-------------------------<——,

a+xa

41n(Q+x)v(Q+x)ln。，从而(Q+X)"VQ"+"O

mn

3.设〃z,〃>0,G<x<a,证明：xm{a-x)n<—m--a"""。

(m+n),n+n

证明：设f(x)=xm{a-x)n,则/(X)GC[0,6/J,

f,(x)=nucm~^(a-x)n+x”'-n(a-x)n~^(Q-X)”—,

ma

・・・/(元)在(0M)内的驻点为介

m+n

・・・/(0)=/(。)=0,于(x°)=f(胆-)=-〃"：+〃""〃，

m+n(〃2+〃)6+“

"(%)在［OM］上的最大值为f(x。),故/(x)<f(xo),

mn

即”m-x)〃)m〃/+〃。

(〃2+〃严+〃

4.没0<〃<人，证明不等式下之Jn.ln晨工。

a+/b-aNab

(学生自证)

5.设/(x)在［〃,+8)上可导,且当％>a时,f\x)>k>09其中％为常数。

证明如果/3)<0,则方程/(x)=。在(。,a-华内有且仅有一个实根。

证明：记。=a-2色,显然Z?>a,由中值定理可知，韭£(。力),

k

a=/，&)(}—〃)=一华/，©)>一华k=—f(a),

kk

・•・/0)>0,

又•・・/3)v0,・,・由零点定理可知,至少存在一点昨32),使/(“)=(),

即方程/(x)=0在(。⑼内至少有一个实根。

(x)>Q0,・・・/(x)在(〃力)内单调增加，.・・/(x)在①力)内只有一个零点,

即方程/(x)=0在5,岁内有且仅有一个实根。

三、解答题

1.设x>0,求满足不等式InxWAVI的最小正数A。

Inj\nx

分析：由InxWA五故该问题实际上是求在(0,+8)上的最大值。

4xVx

1

一InX'

解:设加喉，八止2A/7_2-lnx

3

2x2

令/(x)=0，得唯一驻点x=e?

，・,当Ocxce2时，ff(x)>0；当62cx<+oc时，ff(x)<0,

，x=e2是f(x)的极大值点，也是最大值点,

2Ine22

A=/(e)=-^=-即为所求。

77右

2.讨论曲线产41nx+Z与>=4x+ln。的交点个数。(2003年考研题)

解：问题等价于讨论方程ln4x_41nx+4x-Z=0有几个不同的实根。

(p(x)=In4x-41nx+4x-Z:,则(|/(工)=4面."尢)

x

不难看出，x=l是<p(x)的驻点。

当0cx<1,<(/(幻<。，即5。)单调减少；当x>Ld(x)>。，即①(x)单调增加，故

(P⑴=4-攵为函数(p(x)的最小值。

当％<4,即4-2>0时,q)(x)=0无实根,即两条曲线无交点。

当％=4,即4-2=0时，弧幻=0有唯一实根，艮J两条曲线只有一个交点。

当人>4,即4一%<0时，曰于

lim(p(x)=lim[ln4x-41nx+4x-Z:]=+oo；

x->0+x田+

lim(p(x)=lim\\n4x-4\nx+4x-k]=-w,

+00Xf+OC

故(p(x)=0有两个实根，分别