专项突破：待定系数法求一次函数的解析式（A题型）（解析版）

专题待定系数法求一次函数的解析式目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、已知一点求正比例函数的表达式 1题型二、已知一点求一次函数中K值或b值 3题型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 6题型四、两直线平移，求直线的表达式 8题型五、已知两点求一次函数的表达式 11B综合攻坚・能力跃升题型一、已知一点求正比例函数的表达式1.已知与成正比例，当时，．(1)求与之间的函数解析式；(2)当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键．（1）根据正比例的定义设，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；（2）求得和时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围．【详解】（1）解：设该正比例函数的解析式为，把，代入，得，∴y与x之间的函数解析式为；（2）解：当时，，当时，，，∴y随x的增大而减小，∴当时，．2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知关于的一次函数的图象经过原点．(1)求该函数的表达式；(2)若点在该函数图象上，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：（1）将代入求解即可；（2）将点代入（1）中求解的函数解析式，即可求解．【详解】（1）解：∵关于的一次函数的图象经过原点，∴将代入，则，解得∴该函数的表达式为；（2）解：若点在该函数图象上，则，解得．3．已知正比例函数的图象经过点，求：(1)该函数的表达式；(2)若点在此函数图象上，求的值.【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数图象上的点的特征，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．（1）将代入求出的值即可得出函数的表达式；（2）将代入得：，求出的值即可．【详解】（1）解：将代入得：，解得：，该函数的表达式为：；（2）解：将代入得：，解得：．4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知y是x的正比例函数，当时，．(1)求这个函数的解析式；(2)若点是该函数图象上的一点，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，已知自变量值求函数值，已知函数值求自变量值，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）由待定系数法即可求解；（2）点代入函数解析式得到关于m的方程，即可求解．【详解】（1）解：∵y是x的正比例函数，∴设∵当时，∴，解得：，∴这个函数的解析式为；（2）解：∵点是该函数图象上的一点，∴，解得：．题型二、已知一点求一次函数中K值或b值5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（，k为常数）的图象经过点．(1)求k的值．(2)若点，都在该函数图象上，比较，的大小．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式是关键．（1）利用待定系数法即可求出k的值；（2）根据一次函数的增减性进行解答即可．【详解】（1）解：∵一次函数（，k为常数）的图象经过点．∴，解得（2）解：由（1）可知，一次函数解析式为，∵，∴一次函数上的点的纵坐标随着横坐标的增大而增大，∵，∴6．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与轴交于点，点的坐标是．(1)求关于的函数表达式．(2)当时，求自变量的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式及一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．（1）当点代入求出的值即可；（2）结合（1）中关于的函数表达式，当时，求得，再根据一次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：∵一次函数的图像与轴相交于点，∴，∴，∴关于的函数表达式为；（2）解：∵关于的函数表达式为，当时，，得：，又∵中一次项系数，∴随的增大而增大，∴当时，自变量的取值范围为．7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知关于的一次函数（为常数，）的图象过点(1)求的值：(2)当时，求的最大值．【答案】(1)(2)10【分析】本题考查了图象过点，一次函数的增减性，求最值，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．（1）根据一次函数的图象经过点，得到，得到答案；（2）根据函数增减性质，当时，y取得最大值，解答即可．【详解】（1）解：∵关于的一次函数（为常数，）的图象过点，∴，解得，故的值为；（2）解：由（1）知，，∴函数解析式为，∵，∴y随x的增大而减小，∵，故当时，y取得最大值，故的最大值为10．8．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图像经过点，(1)求这个一次函数的表达式；(2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由；(3)若图像上有两点，，比较，的大小．（用两种不同的方法）【答案】(1)(2)不在，理由见解析(3)【分析】（）利用待定系数法解答即可；（）求出时的值即可判断求解；（）方法一：利用一次函数的性质解答即可；方法二：求出，再利用作差法比较即可；本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点，∴，解得，∴这个一次函数的表达式为；（2）解：点不在这个函数图像上，理由如下：当时，，∴点不在这个函数图像上；（3）解：方法一：∵，∴的值随着的增大而减小，∵，∴；方法二：当时，；当时，，∵，∴．题型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知与成正比例，当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若点在该函数图象上，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设函数关系式为，把，代入求出k，即可求出结果；（2）将点代入，计算求解即可．【详解】（1）解：设函数关系式为，∵当时，，∴，所以，把代入得，，故函数关系式为．（2）解：将点代入，得，解得．10．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知与成正比例，且当时，．(1)求关于的函数表达式；(2)判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由．【答案】(1)(2)点是上述函数图象上的点，理由见解析【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正比例函数的定义，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．（1）根据正比例函数的定义可设，再利用待定系数法求解即可；（2）求出时的函数值即可得到结论．【详解】（1）解：设，∵当时，，∴，解得，∴，∴；（2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下：在中，当时，，∴点是上述函数图象上的点．11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知与成正比例，当时，．(1)求与的函数关系式；(2)当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及一元一次不等式的解法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．（1）根据与成正比例，设，将，，代入解析式求解，即可解题；（2）根据建立一元一次不等式求解，即可解题．【详解】（1）解：与成正比例，设，当时，，，解得，，整理得：；（2）解：，，解得．12．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：与成正比例，当时，．(1)求y关于x的函数表达式；(2)将该函数图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的图象经过点，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，函数平移的规律，解题的关键在于熟练掌握相关知识．（1）设，将，代入解析式求解，即可解题；（2）根据平移的规律得到平移后的解析式为，再将代入解析式求解，即可解题．【详解】（1）解：设，将，代入中，有，解得，∴，即；（2）解：∵向下平移3个单位，∴平移后的解析式为，将，代入中，有解得．题型四、两直线平移，求直线的表达式13．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知一次函数．(1)若函数图象在y轴上的截距是正数，求k的取值范围；(2)若函数图象平行于直线，求这个函数的表达式．【答案】(1)且(2)【分析】（1）根据题意，得且，解答即可；（2）根据函数图象平行于直线，得，解答即可．本题考查了一次函数图象平行的条件，截距的意义，熟练掌握条件是解题的关键．【详解】（1）解因为函数图象在y轴上的截距是正数，所以，且解得且．（2）解：因为一次函数的图象与直线平行，所以，解得．所以变形得，所以这个函数的表达式为．14．将直线向下平移2个单位长度后得到直线．(1)写出直线的函数解析式；(2)判断点是否在直线上．【答案】(1)；(2)不在，理由见解析．【分析】（1）根据上加下减的规律求解即可；（2）把代入求出函数值即可判断．【详解】（1）直线向下平移2个单位长度得到的直线的函数解析式为；（2）当时，，∴点不在直线上．15.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到．(1)求这个一次函数的表达式；(2)直线上存在两点，求的面积；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据“左加右减，上加下减”下减原则即可得答案．（2）根据是直线上两点，确定两点的坐标，后计算的面积．本题考查了一次函数的平移，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握平移规律是解题的关键．【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到，∴，，∴一次函数的表达式．（2）∵是直线上两点，∴，，解得：，∴，．16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点．(1)确定这个一次函数表达式；(2)若点，在这个一次函数的图象上，试比较y1与y2的大小．【答案】(1)这个一次函数的表达式为(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．（1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，∴，又∵一次函数的图象过点，∴，∴这个一次函数的表达式为．（2）解：∵，∴一次函数y随x的增大而增大，∵，∴．题型五、已知两点求一次函数的表达式17．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时，．(1)求该一次函数的表达式；(2)当时，求自变量x的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．一次函数图象上点的坐标特征．（1）设一次函数的表达式为．把、的值分别代入函数解析式，利用待定系数法即可求得、的值；（2）把代入函数解析式求得相应的的值．【详解】（1）设，将，；，代入，得：，解得：，∴一次函数的表达式为；（2）令，则，解得：，∴自变量x的值为．18．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求：(1)这个一次函数的表达式．(2)当时，函数y的值．(3)当时，自变量x的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质．（1）设，利用待定系数法求解即可；（2）将代入一次函数解析式，即可求解；（3）根据的值，可知随的增大而减小，分别求出和对应的的取值，即可求解．【详解】（1）解：设，∵当时，；当时，，∴，解得，函数解析式为；（2）解：将代入得，；（3）解：∵，∴y随x的增大而减小，把代入得，，解得：，∴当时，，∴当时，自变量x的取值范围为．19．（25-26九年级上·广东茂名·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和．(1)求函数的解析式；(2)已知函数为，，若函数值满足，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、解一元一次不等式组．(1)用待定系数法求出一次函数的解析式；(2)由，，可得，由，可得不等式组，解不等式组即可求出的取值范围．【详解】（1）解：函数的图象过点和，可得：，解得：，函数的解析式为；（2）解：，，，当，，整理可得：，解得：．20．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知一次函数的图象经过点．(1)求k，b的值．(2)已知一次函数的图象与直线交于点，将点下方的图象沿着直线向上翻折，得到“V”字形图象，其对应的函数记为．①求函数的表达式，并写出自变量的取值范围；②当时，已知函数的最大值和最小值的差为3，求的值．【答案】(1)，(2)①；②或2【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）①根据（1）可求出点H的坐标为；在中，y随x的增大而减小，则当时，函数解析式保持不变，即当时，函数的表达式为；当时，函数的表达式为；②分三种情况：当，即时；当时；当，即时；根据一次函数的增减性可确定函数T的最小值，进而确定函数T的最大值，再根据取得最大值的情形建立方程求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，∴，∴；（2）解：①由（1）得，一次函数的解析式为在中，当时，，∴点H的坐标为；∵在中，，∴y随x的增大而减小，∵将点下方的图象沿着直线向上翻折，得到“V”字形图象，其对应的函数记为，∴当时，函数解析式保持不变，即当时，函数的表达式为；当时，函数的表达式为；综上所述，；②当，即时，则当时，函数的表达式为，∴此时函数T的函数值随x的增大而减小，∴当时，函数T有最大