小学数学第八章　章末复习课

章末复习课一、几何体的表面积与体积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的材料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧.这需要学生的直观想象和数学运算素养.例1已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为多少？跟踪训练1正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A.20+123 B.282C.563 D.二、空间中的平行关系立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行.这需要学生的逻辑推理素养.例2在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，H，E，F分别为PA，AH，HO的中点，点M在棱PD上，且PM=3MD.(1)证明：HO∥平面PCD；(2)证明：平面EFM∥平面ABCD.跟踪训练2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，MA∥PB，PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.三、空间中的垂直关系1.判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；(4)利用面面垂直的性质.2.判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.3.判定面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.需要学生的逻辑推理素养.例3如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于点E.(1)求证：AP⊥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面BDF；(3)若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比.反思感悟线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化跟踪训练3如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)平面BEF⊥平面PCD.四、空间角的求法空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题.求空间角角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证明该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角.这需要学生的逻辑推理和数学运算素养.例4已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都是2，则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正切值为；直线CB1与直线A1B所成角的余弦值为.

跟踪训练4如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO=2，⊙O的直径AB=2，C是AB的中点，D为AC的中点.(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B-PA-C的平面角的余弦值.答案精析例1解∵V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-OAB，且S△AOB为定值，∴当点C到平面OAB的距离最大时，V三棱锥O-ABC最大，即当点C位于垂直于球O的最大圆面OAB的直径顶端时，三棱锥O-ABC的体积最大.如图所示，设球O的半径为R，此时V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-OAB=13×12R2·R=R∴R=6.∴球O的表面积S=4πR2=144π.跟踪训练1D例2证明(1)连接AC，在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，则O为AC的中点，又H为PA的中点，则有HO∥PC，又HO⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以HO∥平面PCD.(2)因为E，F分别为AH，HO的中点，则有EF∥AO，又EF⊄平面ABCD，AO⊂平面ABCD，则有EF∥平面ABCD，H，E分别为PA，AH的中点，有PE=3EA，又PM=3MD，则有EM∥AD，又EM⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则有EM∥平面ABCD，因为EF，EM⊂平面EFM，EF∩EM=E，所以平面EFM∥平面ABCD.跟踪训练2解当F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又F是PB的中点，∴在△PBD中，OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA∥PB且MA=12PB∴PF∥MA且PF=MA，∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F，AF，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.例3(1)证明∵PC⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，∴PC⊥BD.∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.又AP⊂平面PAC，∴BD⊥AP.又DE⊥AP，DE∩BD=D，DE，BD⊂平面BDE，∴AP⊥平面BDE.(2)证明∵D，F分别为AC，PC的中点，∴DF∥AP.又AP⊥平面BDE，∴DF⊥平面BDE，又DF⊂平面BDF，∴平面BDE⊥平面BDF.(3)解设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2，则h1∶h2=EP∶AP=2∶3，又F为PC的中点，∴S△PBC=2S△PBF，∴V三棱锥P=1313h1故截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积之比为1∶2.跟踪训练3证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.因为AB⊥AD，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA=A，AD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE=E，EF，BE⊂平面BEF，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.例4155跟踪训练4(1)证明如图，连接OC.∵PO⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PO.∵OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又OD∩PO=O，OD，PO⊂平面POD，∴AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC.(2)解在平面POD中，过点O作OH⊥PD于点H.由(1)知，平面POD⊥平面PAC，平面POD∩平面PAC=PD，OH⊂平面POD，∴OH⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，∴PA⊥OH.在平面PAO中，过点O作OG⊥PA于点G，连接HG，∵OG∩OH=O，OG，OH⊂平面OGH，则PA⊥平面OGH，又HG⊂平面OGH，∴PA⊥HG.故∠OGH为二面角B-PA-C的平面角.∵C是AB的中点，AB是直径，∴OC⊥AB，又OA=OC，∴∠OAC=45°.在Rt△OD