1.3.2算法案例-秦九韶算法

算法案例

----秦九韶算法

ks5u精品课件ks5u精品课件秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，自称鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是含有世界意义的重要奉献。ks5u精品课件在数学的发展史上，从公元前2、3世纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮，也有过低落，但始终走在世界的前列，是世界数学的中心。中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的奉献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。ks5u精品课件（1）设计求多项式当x=5时的值的算法，并写出程序。（2）有无更高效的算法？能否探求更加好的算法，来解决任意多项式的求解问题？ks5u精品课件T引导学生把多项式变形为：思考：从内到外，如果把每一种括号都当作一种常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？ks5u精品课件（3）若将x的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是如何的？将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一种新的系数；将此系数继续乘以x的值，再加上变形前的第3个系数，又得到一种新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一种系数相加，得到一种新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。这种算法即是“秦九韶算法”ks5u精品课件（4）用秦九韶算法求多项式的值，与多项式构成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？计算只与多项式的系数有关，

ks5u精品课件《数书九章》——秦九韶算法

设是一个n次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：思考：当懂得了x的值后该如何求多项式的值？这是如何的一种改写方式？最后的成果是什么？ks5u精品课件规定多项式的值，应当先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内到外逐级计算一次多项式的值，即最后的一项是什么？这种将求一种n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的办法，称为秦九韶算法。思考：在求多项式的值上，这是如何的一种转化？ks5u精品课件通过一次式的重复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一种n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。秦九韶算法的特点：ks5u精品课件算法环节：第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.第三步：输入i次项的系数ai.第四步：v=vx+ai,i=i-1.第五步：判断i与否不大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。ks5u精品课件程序框图：这是一种在秦九韶算法中重复执行的环节，因此可用循环构造来实现。输入ai开始输入n,an,xi>=0?输出v结束v=vx+aii=i-1YNi=n-1V=anks5u精品课件（3）程序：INPUT“n=”；nINPUT“an=“;aINPUT“x=“;xv=ai=n-1WHILEi>=0PRINT“i=“;iINPUT“ai=“;av=v*x+ai=i-1WENDPRINTvENDks5u精品课件小结：（1）算法含有通用的特点，能够解决一类问题；（2）解决同一类问题，能够有不同的算法