河南省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（A卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（A卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是（）A.2 B.4 C.8 D.80【答案】B【解析】因为，所以．而，，所以4不是数列的项.故选：B．2.已知点，若直线与互相垂直，则实数的值为（）A.8 B.10 C.6 D.4【答案】C【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率；因为，所以，即，解得.故选：C．3.在等差数列中，为其前项和．若，则（）A.205 B.410 C.230 D.460【答案】A【解析】因为，所以，由等差数列的性质得，所以．故选：A．4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）．若，则焦点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：由抛物线的对称性，不妨设点在轴上方．设抛物线的准线与轴的交点为，则．过点作轴于点，作准线于点，则四边形是矩形.因为，所以．在Rt中，因为，所以.所以．因为焦点的坐标为，所以焦点的坐标为．方法二：过点作轴于点，在Rt中，因为，所以，.所以点的坐标为，代入抛物线方程得，整理得.因为，所以，所以焦点的坐标为．故选：C．5.已知椭圆的左、右焦点分别为．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，由椭圆的定义，得．因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以．在中，，即．所以离心率．故选A．6.已知点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以点在以为直径的圆上，记为圆．因为，所以，圆的半径．因为点在直线上，所以直线与圆有公共点，所以圆心到直线距离，即，化简得，解得，即实数的取值范围是．故选：B.7.在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则,，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为点在平面内，所以，解得，所以平面,由题意得平面的一个法向量为．因为，所以，设直线与平面所成的角为，则，故选：C.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为6，离心率为．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，所以，所以，所以双曲线的方程为．因为，直线过点且倾斜角为，所以直线的方程为．与双曲线的方程联立，消去，整理得．解得，所以．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则当时最小D.若，则【答案】BCD【解析】因为，所以，解得，故A错误．因为，所以，所以．故B正确．因为，所以当时，，当时，，所以当时最小．故C正确．由等差数列的性质，得是公差为的等差数列，即是等差数列．因为，所以成等差数列，即，解得．故D正确．故选：BCD．10.已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（）A. B.C.数列是递减数列 D.【答案】ABD【解析】对于AB，由题意得且，，由得，由得，所以，化简得，解得或（舍），将2代入，解得，故AB正确；对于C，由AB选项可知，，所以数列是递增数列，故C错误；对于D，法一：由等比数列的性质，得，因为，所以；法二：因为，所以，所以；故D正确．故选：ABD．11.已知菱形的边长为，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，是棱上靠近的三等分点，是的中点，且，则下列结论正确的有（）A.B.C.棱的长为D.异面直线与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】因为是棱上靠近的三等分点，是的中点，所以．因为，所以．因为，所以，故A正确．因为菱形的边长为，所以．因为，所以，解得，故B正确．因为，所以．在三棱锥的侧面中，由余弦定理得，所以，故C错误．因为，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，则___________．【答案】729【解析】设等比数列的公比为．因为，所以，所以．所以故答案为：.13.已知点在双曲线的一条渐近线上,则双曲线的离心率为___________．【答案】【解析】因双曲线的渐近线方程为，由点在渐近线上，即，所以，所以离心率．故答案为：.14.设数列的前项和为，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】因为，所以，所以数列是常数列，因为，所以，所以，故数列为等差数列，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的公差，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：．（1）解：由题意，得且，解得所以.（2）证明：由（1）得，因为，所以.则因为，所以，所以.16.已知动点与定点距离和到定直线的距离的比是常数．（1）设动点的轨迹是曲线，求曲线的方程并指出曲线是什么曲线；（2）已知点为曲线上任意一点，是圆的直径，求的取值范围．解：（1）因为，所以由题意得.两边平方并化简，得，所以.所以曲线的方程为，曲线是椭圆.（2）由圆的方程知，圆的圆心为，半径为2.设，则，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为，所以.因为，所以，即的取值范围是.17.已知数列满足．设，数列的前项和分别为．（1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求和．（1）证明：由得，因为，所以，所以.等式两边取倒数，整理得，所以，即.因为，所以数列是首项为，公比为等比数列.所以，即，所以.（2）解：由（1）可知.所以，两式作差，得.所以.18.已知圆的半径为2，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为4，直线与圆交于两点．（1）求圆标准方程；（2）弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长；（3）直线过点，且，直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值．解：（1）因为圆的半径，且被轴截得的弦长为4，所以圆心在轴上，又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心，所以圆的标准方程为．（2）由直线方程知，若直线的斜率存在，则；直线恒过定点，且此定点在圆内，如图所示，当弦为圆的直径时，弦最长，即的值最大，此时直线为轴，斜率，又直线的斜率，所以弦长没有最大值；当直线轴时，弦长最短，此时直线的方程为，此时圆心到直线的距离为1，所以最短弦长．（3）由（2）知，直线恒过点，如图所示，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线的方程为，由（2）知，，弦是圆的直径，所以，所以四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则直线的方程为，因为圆心到直线的距离，所以，同理得，所以四边形的面积，令，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，由，解得，即；因为，所以四边形面积的最大值为7．19.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）．（1）求证：平面．（2）当时，求证：平面．（3）是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．（1）证明：如图，连接交于点，连接.因为四边形是矩形，所以为的中点．又因为为的中点，所以在中，.因为平面平面，所以平面.（2