浙江金华十校2025-2026学年第一学期期末质量检测高二数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江金华十校2025-2026学年第一学期期末质量检测高二数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角是（）A.0 B.C. D.不存在【答案】C【解析】因为直线与轴垂直，因此直线的倾斜角是．故选：C．2.已知空间向量，则（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】因为空间向量，所以.故选：B.3.火箭发射后，其高度（单位：m）为，则发射后第10s时，火箭爬高瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，所以，所以火箭发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度为.故选：B.4.已知直线和直线，若，则（）A. B.2或 C. D.2【答案】D【解析】若，则，解得或，当时，直线，即和直线重合舍去，当时，直线和直线，此时符合题意.综上，.故选：D.5.已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前7项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为是首项为1，公差为2的等差数列，所以，.所以.所以数列的前7项和为：.故选：C.6.已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，又，则，在定义域上单调递增，对于A，在时，函数的图像一直在图像的下方，故，又与的距离越来越大，此时单调递减，故A错误，对于B，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方；交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小，此时单调递增，故B正确，对于C，函数的图像一直在图像的上方且与的距离越来越大，此时单调递增，故C正确，对于D，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方；交点之前函数图像一直在图像的下方且与的距离越来越小，此时单调递增，故D正确，故选：A.7.已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，则，因为，不妨令在第一象限，则，所以直线的方程为，由，解得，所以，则轴，所以.故选：B.8.正方体的棱长为1，点为直线与平面的交点，则点到正方体各顶点的距离的不同取值有（）A.6个 B.5个 C.4个 D.3个【答案】C【解析】因为底面为正方形，所以，又平面，平面，，，所以面，面，所以，同理，，所以平面，由正方体的对称性易知，平面，点为正三角形的中心，与平面的交点也是正三角形的中心，故，，，，故点到正方体各顶点的距离的不同取值有4个．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前4项为，则数列的通项公式可以是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对于A，，不符合；对于B，，符合；对于C，，不符合；对于D，，符合，故选：BD10.已知三棱锥中，，，且两两垂直，点是底面内的一个动点．则以下说法正确的有（）A.B.三棱锥的外接球的体积为定值C.若，则直线与平面所成角的大小为D.若点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是一条线段【答案】ABD【解析】对于A：因为两两垂直，所以，因，，，由线面垂直的判定定理可知，因为，由线面垂直的性质定理可知，所以A正确；对于B：因为两两垂直，所以问题可转化为求分别以为长、宽、高的长方体外接球的体积，记长方体外接球的半径为，则，因为长方体外接球半径为定值，所以长方体外接球体积为定值，即三棱锥外接球体积为定值，所以B正确；对于C：因为，所以在直角三角形中，，由选项A知，同理可得，所以即为直线与平面所成角，在直角三角形中，，因为，所以，所以C错误；对于D：设点到三个侧面的距离依次为，且，因为，，，，且，，，为定值，所以为定值，即点到平面的距离为定值，所以点的运动轨迹是一条线段，所以D正确.故选：ABD.11.在平面直角坐标系中，曲线，则下列说法正确的有（）A.曲线关于原点对称B.对于任意的实数，直线与曲线总有公共点C.曲线上存在四个点，使得四边形是正方形D.若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是【答案】AC【解析】设曲线上任意一点，其关于原点的对称点为，将其代入曲线方程左边可得，所以曲线关于原点对称，A选项正确；对于选项B，联立直线与曲线的方程，得，即，进一步变形，当时，方程变为，方程无解，即直线与曲线无公共点，B选项错误；对于选项C，曲线的方程可化为，即，也就是，这两条曲线关于原点对称，如图以原点为圆心作圆，当时，根据对称性，四边形为正方形．故选项C正确；对于选项D，当圆与相切时，最小，由，得；当圆与曲线相切时，最大，由，得，即，令，得，由，得，结合图象知圆与曲线恰有4个公共点，则.故选项D错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在正方体中，异面直线与所成角的大小为__________.【答案】【解析】连接，设四边形为平行四边形，即即为异面直线与所成角故答案为：.13.在等差数列中，，是函数的两个极值点，则___________．【答案】3【解析】函数，，由题意得，是的两个根，则，又为等差数列，，所以，.故答案为：3.14.已知点分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线位于第一象限的点，且．则该双曲线的离心率为___________．【答案】【解析】已知，，作，垂直于轴，轴于，两点，设交轴于，连接，为的角平分线，由角平分线定理和相似可知，．由双曲线定义可知．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，满足．等比数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）由题意得，，又，，公差，，又公比，；（2）记数列的前项和为，16.已知圆，直线．（1）判断直线与圆的位置关系，试说明理由；（2）若是圆上任意一点，求的取值范围．解：（1）直线，令，则，故直线恒过定点，而，所以定点在圆的内部，从而直线与圆相交.（2）设，则，消去并整理得，，又直线与圆有交点，由，解得．所以的取值范围为.17.如图，四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三角形，且平面平面，是棱的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；（3）过直线作平面与棱，分别交于，两点，其中，求四棱锥的体积．解：（1）取线段AD的中点，连接，平面平面，是交线，为正三角形，所以，进一步可得平面，又因为，底面为菱形，易知，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，所以，所以，又，平面，所以平面．（2）平面的一个法向量，可知，设平面的一个法向量，，令，则，设平面与平面所成夹角为，则．（3）如图所示，,由题意可知，，又由（1）可知，设平面的一个法向量，，令，则，设，又四点共面，所以，解得，因为，所以，，四棱锥的体积．18.已知椭圆过点．过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若的面积为，求直线方程；（3）点在射线上，若椭圆上存在点使四边形OANM为平行四边形，求的范围．解：（1）由题意，得，解得，则椭圆的标准方程为.（2）易知直线斜率存在，故设直线，联立方程组，消去得，.显然，且则，解得，所以直线的方程为.（3）设，即，而均在椭圆上，则，化简得到①，由（2）得，，则，代入①式得到，则，所以的取值范围是.19.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）记函数．（i）若，存在两个相异的正实数满足，求证：；（ii）若不等式对于任意正实数都成立，求实数的取值范围．（1）解：当时，．所以，切线的方程是即；（2）（i）解：可得．令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减．不妨设，令，则所以函数在上单调递增，从而即时，恒成立．而，从而，又，，函数在上单调递减．，得．令，则，当时单调递增；当时单