安徽省淮北市三校2026届高三上学期第一次联合诊断性考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省淮北市三校2026届高三上学期第一次联合诊断性考试数学试题一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.每小题只有一个答案符合题目要求）1.已知复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意有：，所以.故选：B.2.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】或，，.故选：C.3.已知，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以在方向上的投影向量为.故选：D.4.若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则的解集为（）A. B.或C.或 D.或【答案】C【解析】由是奇函数，且定义域为，则，，则，又因为其在内是增函数，则有：当或时，，当或时，，的解集为或，故选：C.5.已知为正实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由为正实数，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.6.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=，∴，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴．7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，所以．故选：A．8.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，且，，则的面积是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】∵，∴．①当时，为直角三角形，且．∵，，∴．∴．②当时，则有，由正弦定理得．由余弦定理得，即，解得．∴．综上可得的面积是或．故选：D．二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分.）9.已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（）A.对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C.若，，则D.若所在直线两两共面，则共面【答案】ACD【解析】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，即，A错；若是空间的一个基底，则不共面，若共面，则，，显然无解，即不共面，故也是空间的一个基底，B对；若，，在空间中不一定平行，C错；若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即不一定共面，D错.故选：ACD.10.已知为等差数列的前项和，若，，则（）A.为递增数列 B.为递减数列C.当时，的值最大 D.当时，的值最大【答案】BCD【解析】由，得，即，所以，又，所以，设的公差为，所以，所以，所以为递减数列，故A错误，B正确；由上知，，所以，所以与均是的最大值，故C，D均正确.故选：BCD.11.下列结论中正确的是（）A.若，，则B.函数的零点所在区间是C.函数且的图象过定点D.函数的定义域为，则的定义域为【答案】CD【解析】对于A选项，因为，，则，无法判断的符号，故无法判断的符号，A错；对于B选项，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，故函数在区间上无零点，B错；对于C选项，对于函数且，，即函数的图象恒过定点，C对；对于D选项，因为函数的定义域为，则对于函数，有，解得，故函数的定义域为，D对.故选：CD.三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.设等比数列的前项和为，公比，若，则______．【答案】【解析】因为数列是等比数列，所以，，所以是方程的两根，所以或，所以公比或，所以或，又，所以，所以，所以.故答案为：.13.已知，为锐角，，，则_____.【答案】【解析】因为，为锐角，所以，，所以，所以.因为，所以，，因为，所以，，所以..，故答案为：.14.已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是______.【答案】【解析】因为在上连续，又，所以要使无零点，需使在其定义域上恒成立．于是原问题转化为，求的取值范围．当时，，不合题意；当时，，，，，，当时，恒成立，下面讨论的情况，令，所以在上单调递增，又由式得，所以，即恒成立．令，令得．因为当时，，所以在上单调递增；因为当时，，所以在上单调递减，所以是的极大值点，，所以，即．综上所述，的取值范围为．故答案为：.四、解答题（本题共5个小题，共77分）15.已知．（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）已知的内角C满足，且点D在线段AB上，，求CD的长．解：（1）由，得，所以的最小正周期为，由，得，所以图象的对称轴为.（2）在中，由，得，即，而，即，则，，由，得，而，所以.16.设正项数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和，求证：.（1）解：当时，由，得，，得，又，，且，作差得，所以，，则且，故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为；（2）证明：，∴.又，所以.17.已知分别为锐角三个内角的对边，满足.（1）求角的大小；（2）若的面积，求的取值范围.解：（1）,由正弦定理得：，因为在中，，所以，又因为，可得，即，又因为在锐角中,可得；（2）因为，可得，由正弦定理得，又，所以，在锐角中，所以,，，所以的取值范围为.18.如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点M为的重心，AM的延长线交BC于点N，连接．设，，．（1）用，，表示；（2）证明：．（1）解：因为为正三角形，点M为的重心，所以N为BC的中点，所以，，所以．（2）证明：设三棱柱的棱长为m，则，所以．19.已知函数的图象关于坐标原点对称．（1）求方程的解；（2）若对任意的，都存在，使得成立，求的取值范围；（3）若函数在区间上的最大值为，求的值．解：（1）因为函数的图象关于坐标原点对称，所以，即，整理得，所以，解得，所以，由，则，令，得，解得或（舍），所以，解得.（2）若对任意的，都存在，使得成立，则，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以，当时，，解得；当时，，不符合题意；当