第四章数列习题课教学设计- 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列习题课---教学设计一、教学内容及其解析1.内容：本单元小结部分教学包含2课时.数列复习课，数列习题课．2.内容解析：数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本工具．本单元的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前项和公式；并能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用；了解等差数列与线性函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性；提升逻辑推理、数学运算和数学建模素养．数列的通项公式的求法在数列这部分知识中占有了非常重要的作用．基于此，本人关于数列这部分知识对学生进行了调查问卷分析，以及题目的前测分析．得到相关反馈之后，设计了数列通项公式的求法这节课．根据反馈，诊断出学生的困难在于深入理解等差、等比数列的概念、性质、公式之间的关系．通过对等差数列通项公式形成过程的复习回顾及拓展加深，感知等差数列概念的统领作用，通过对公式特征的分析与运用，进一步体会类比化归的思想方法．所以课堂上聚焦这个难点，从等差数列通项公式的推导方法---叠加法，到巧变递推公式的形式构造出叠加，最后到让学生采用类比的方法活用等比数列通项公式的推导方法---叠乘．在本节课的探究过程中，教师引导学生进行分析与练习，帮助学生突破难点，最终提升能力．蕴含的数学思想和方法：通过学生积极主动地参与、探索，发现等差、等比数列的规律并进行实际应用，提升发现问题和解决问题的能力，类比等差数列的学习路径与经验探索等比数列的规律，发展数学建模、逻辑推理等数学核心素养。感受等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的共性与差异，体会数学的整体性，体现了用函数的观点看数列，强调数学的整体性.知识上下位关系：学生已经学习完了数列本章的所有内容，对于数列这部分的基本题型已经有了一定的练习，本节课旨在总结数列常考题型，提升学生利用递推关系解决数列相关问题的能力.育人价值：提升学生数学抽象，逻辑推理，数学运算的核心素养.二、学情分析学生已经复习了等差数列、等比数列的通项公式，复习了推导等差数列与等比数列通项公式的两种方法—累加法和叠乘法.学生能掌握以上方法求数列的通项公式，但对于复杂的递推关系求通项公式，学生没有办法解决．更没有意识采用构造等差数列或等比数列来求解通项公式.当前学生处于高二，在学习探究的过程中已经具备一定的独立思考能力和团队协作意识。经过前面各阶段的学习，学生已经积累了一些研究数学对象的基本经验，为数列的学习做好了必要的准备，可以在教师的引导下开展数列学习。三、教学目标及其解析目标达成目标的标志1.经历用叠加法，叠乘法求数列的通项公式的过程，发展学生逻辑推理的数学核心素养；通过对例题1以及几个追问问题的解决让学生灵活得处理数列通项公式的求法问题.2.体会类比与转化的数学思想方法，及数列通项公式在数列问题中的重要地位提高学生数学运算能力以及逻辑思维能力．借助变式一让学生在解决复杂递推关系的过程中形成灵活处理问题的能力．进一步发展学生的逻辑推理数学核心素养.3.在数学史的背景下探究数列递推公式呈现出的规律，发展学生数学抽象，数学建模，逻辑推理的核心素养。通过例题2对实际问题的分析以及建立合适的数学模型解决问题的过程,进而提升学生数学建模的数学核心素养.教学问题诊断分析认知基础与将要达到水平的差异难点解决办法学生已经学习完了数列这一章节的全部内容；对本章的基本知识有了一定的了解.学生对于本章内容中的两个特殊数列的推导方法掌握得还有一定的差距。引导学生思考分析，逐步深入了解等差、等比数列的推导过程，进而掌握叠加，叠乘法.通过课前测了解学生对于知识的掌握程度，借助流程图，数轴，表格等多种形式，协助学生完成本章知识的建构.会解决一些数列的递推关系的常见问题,对等差数列，等比数列掌握得很好.在学习数列这部分内容时，对于递推关系，解决抽象性，综合性的问题由递推关系发现数列特征.通过对例3的分析让学生了解数列递推公式的应用，进而学会分析问题，解决问题.五、教学支持条件分析主要采用引导发现的教学方式，借助多媒体教学辅助，引导学生通过主动探索、小组合作、共同分享的方式参与到数学知识的探索中，让学生体验知识的产生发展的完整过程．第2课时数列习题课（一）课时教学内容：数列习题课．（二）课时教学目标：1．经历用叠加法，叠乘法求数列的通项公式的过程，发展学生逻辑推理的数学核心素养；2．体会类比与转化的数学思想方法，及数列通项公式在数列问题中的重要地位提高学生数学运算能力以及逻辑思维能力．3．在数学史的背景下探究数列递推公式呈现出的规律，发展学生数学抽象，数学建模，逻辑推理的核心素养。（三）教学重点与难点1.教学重点：会用叠加法，叠乘法求数列的通项公式．2.教学难点：对于比较复杂的递推关系，如何转化成已学过求数列通项的方法去解决问题.（四）教学过程第一阶段：测一测.

问卷调查一、单项选择题1.对于数列中的错题，你出错的原因是什么（）A.公式没记B.公式用错C.计算出错D.没思路2.当你出现错题时，你的第一反应是（）。A.直接对答案B.请教老师或同学C.独立思考，找出错因D.置之不理3.对于曾经做错的题目，你能保证下次不再出错吗（）A.完全能B.基本能C.偶尔能D.完全不能4.对于做错的题目，你有分析出错的原因吗（）A.每次都有分析B.经常分析C.偶尔分析D.从不分析二、解答题根据你的理解，绘制一张数列知识的框架结构图，总结数列通项公式的求法有几种？第二阶段理一理问题1：等差数列、等比数列是我们学习的最常见的两个特殊的数列。他们的通项公式都是什么？你知道这两类数列的通项公式是用什么问题的方法推导出来的吗？叠加法：回忆等差数列定义及通项公式的推导过程，引出“叠加求通项”，引导学生分析条件，应用叠加方法．对于数列，若有，则取=1，2，3，……，－1时得到－1个式子，将它们相加，如果可以求出，即可得到通项公式；特别地，当为常数时，结果就是等差数列的通项公式．（2）叠乘法：回忆等比数列的定义以及推导方法，引出“叠乘求通项”利用类比方法引导学生总结叠乘法求通项的结构类型．对数列，若有，则取=1，2，3，…，-1时得到-1个式子，将它们相乘，如果可以求出，即可得到通项公式；特别地，当为常数时，结果就是等比数列的通项公式．例1.在数列中，，求数列的通项公式.分析引导，求和的过程，学会拆分结构检验：当时合题意追问1：若递推关系为，如何求数列的通项公式.由递推关系知所以作差发现规律：叠加得所以追问2：若递推关系为，如何求数列的通项公式.作差发现规律：叠加得所以问题2：通过解题，你的感受是什么?关注的结构小结:在形如的递推公式中，=1\*GB3①若是常数，则数列为等差数列；=2\*GB3②若是一次函数，叠加后可转化为等差数列求和；=3\*GB3③若是指数函数，叠加后可转化为等比数列求和；=4\*GB3④若是一次函数+指数函数，叠加后可分组求和;=5\*GB3⑤若是分式形，裂项求和.问题3：如果递推关系中的其中一项出现了系数，我们应该怎么处理？变式一：已知数列中，（1）证明数列为等比数列；（2）求出数列的通项公式.（1）追问1：如何证明一个数列为等比数列？追问2：证明数列为等比数列应该证明哪个式子成立？追问1：你能根据数列的递推公式列出数列的前几项吗？追问2：你发现了什么规律？预设1：部分学生可能会想到构造法．构造辅助的等比数列.难点是中的是如何确定的．用待定系数法确定．求通项公式方法：形如(,为非零常数)的递推公式，可变形为：，从而构造出了等比数列，对于可以通过待定系数法求其大小,此法叫做构造法.学生想不到的话，教师引导出来．所以是首项为2，公比为2的等比数列所以所以追问3：你还有别的思路吗？第一问的证明有没有给你什么启发？预设2：基于观察以及证明出数列为等比数列后，学生会想到利用的数列通项公式，再采用叠加法求出数列的通项公式．追问4：还有同学有其他的想法吗？预设3：迭代，利用递推关系进行迭代.写等式竖着写具体项之间的关系追问5：咱同学关于迭代还有没有别的方法呢？将以上个式子相加，得追问6：经过了以上的分析过程我们还可以把递推式变成进行怎样的变换去解决数列的通项公式呢？预设:4：提问：还有别的方法吗？把递推式变成，问：能用叠加法来做吗？为什么？引导学生转化，除以2可以达到目的吗？不能！再试着要除以一个2带的一个数或式子．让学生思考回答．即左右两边同时除以，得，叠加法求出的通项，进一步求得．叠加得问题4：通过解决以上问题，你觉得我们该如何解决形如(且为常数)的递推公式求通项公式？.方法一：利用递推公式写出几项得出规律，直接写出数列通项公式；方法二：变形为，构造出等比数列，对于可以通过待定系数法求其大小．方法三：变形为，构造出了等比数列然后再用叠加法求通项；方法四：迭代观察规律；方法五：变形为，用叠加法求解；第三阶段验一验问题5：通过以上问题的学习与思考，你能解决以下问题吗？变式二：已知数列满足，，求．追问1：这道题的递推关系是什么？（简单处理）追问2：你发现什么规律了吗？由递推关系写出前项：叠乘得所以小结：形如的递推公式均可采用叠乘法求．注意：应可求积.设计意图：通过例题培养学生发现问题，总结规律的能力，利用对比方式提高学生举一反三的能力，通过练习巩固结论，从而达到培养学生“实践--认识--再实践”的观点．问题6：通过了以上探究过程，你能解决以下综合问题吗？（2022北京高考题15）已知数列的各项均为正数，其前项和，满足给出下列四个结论：①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项。其中所有正确结论的序号是_______．初步分析可知单调递增，进而推出数列是递减数列，又再由可知可以判断出.这样就能很快判断出①③是正确的，但是无法判断②④是否正确.对于②方法一：如果为等比数列，由可以求出则公比计算得，此时；另由题意，得得出矛盾！所以不是等比数列.即②结论错误.方法二：对任意，由及得同理，故，即若为等比数列，则为常数，即为常数，故从第二项起为常数.另一方面，计算可知.矛盾！所以不是等比数列.即②结论错误.对于结论④尽管是单调递减的正数数列，但也不能说明一定存在小于的项，比如数列.可以用反证法证明：假设中不存在小于的项，即对于任意的，都有.由结论③知是递减数列，所以至多存在一个，使得所以,此时这与已知中对于任意的，都有矛盾.故假设不成立.问题7：通过本节课的学习，你有哪些收获？1.学习了哪些新的求数列通项的方法及题型？（1）叠加法：；（2）题型：；叠乘法.2.应用了哪些数学思想方法：转化与化归、从特殊到一般、类比、函数与方程的思想．拓展提升任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3，再加上1，若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算。经过有限次步骤后，必进入1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”，（又称“角谷猜想”等）。如取正整数，根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，（简称为七步“雹程”）.请给出冰雹猜想的递推公式；当时，请确定使最少需要多少步雹程；若，求所有可能的取值集合.追问1：根